定积分课件

b
a < b, f ( x) < 0, ∫a f ( x )dx = − A
b
A1
Α1
A2Α 2
AΑ 3 0 3
A4 Α
4
∫a f ( x )dx = A1 − A2 + A3 −A4
b
几何意义： 几何意义：
它是由 x 轴、函数 f ( x) 的图形及两条 直线 x = a, x = b 所围的各部分面积的代数和． 在 x 轴上方的面积取正号；在 x 轴下方的面 积取负号．
λ→ i=1 0
n
o a x1
xi−1 xi
ξi
曲边梯形的面积
f (ξi) ξ y y=f (x) 1 化整为零 2 以直代曲 以常代变) (以常代变) ∆Ai ≈ f (ξi )∆xi 3 积零为整
A ≈ ∑ f (ξi )∆xi
i =1
.
n
分法越细， 分法越细，越接近精确值
o
a x1 x 2
x i ξ i x i +1
= lim ∑ f (ξ i )∆xi ± lim ∑ g (ξ i )∆xi
λ → 0 i =1
b
i =1 n n
λ → 0 i =1
= ∫a f ( x )dx ± ∫a g ( x )dx .
b
lim ∫a f (x)dx=λ→0∑f (ξi)∆xi .
i= 1
b
n
性质2 性质2
b
∫a kf ( x )dx = k ∫a f ( x )dx
∆si ≈ v(ξ i )∆t i
第i段某时刻的速度 段某时刻的速度
(i = 1,2,L, n )
第i段路程值 段路程值
个小段时间上的路程相加， （3）求和：把 n 个小段时间上的路程相加，就得到总 ）求和： 的近似值， 路程 S 的近似值，即
S = ∑∆Si ≈ ∑V(ξi )∆ti
i=1 i=1 n n
+ +
−
a
−
b
◆定积分几何意义的应用
(1) ∫ 3dx = 3 × (7 − 1) = 18 1
1 (2) ∫ 2xdx = (2 + 8) × 3 = 15 1 2
4
7
8 3 2 1 7 1 4
◆定积分几何意义的应用
(3) ∫
3
−3 2π
1 9π 2 9 − x dx = ⋅ π ⋅ 3 = 2 2
π
5π 4
所以
1
A = ∫ sin xdx − ∫ sin xdx
π
◆对称区间上的定积分
若f
( x) 是偶函数，则 是偶函数，
∫
a
−a
f ( x ) dx = 2 ∫ f ( x ) dx
a 0
-a 若f
a
( x)是奇函数，则 是奇函数，
∫
a
−a
f ( x ) dx = 0
a
-a
五、定积分的性质
a = x0 < x1 < x2 <L< xn−1 < xn = b 用直线 x = xi 将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形;
2) 近似 近似: 在第i 个窄曲边梯形上任取 ξi ∈[xi−1 , xi ] y 作以 [xi−1 , xi ] 为底 , f (ξi ) 为高的小矩形, 并以此小 矩形面积近似代替相应 窄曲边梯形面积
S = lim∑v(ξi )∆ti
λ→0
i=1
n
λ = max{∆ti }
1≤i≤n
（1）分割（2）近似 （3）求和（4）取极限
二、定积分的定义
设函数f(x)在区间[a, b]上有界. 在区间[a, b]内插入n-1 个分点: a=x0<x1<x2< ⋅⋅⋅ <xn−1<xn=b; 记∆xi=xi-xi−1 (i=1, ⋅⋅⋅, n),
λ→ i= 0 1
此时称 f ( x ) 在 [ a , b ] 上可积 . 可积
积分上限
∫a f ( x)dx = I = λ
被
b
lim∑ f (ξi )∆xi
→ 0 1 i=
n
积分和
积 分 变ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ量
[a , b] 积分区间
被
积
积
积分下限
表
函
达
数
式
读作“从a到b函数f(x)的定积分”
曲边梯形面积A： 曲边梯形面积 ：
定积分的概念
两个实例 定积分的定义 定积分的存在定理 定积分的几何意义 定积分的性质
一、两个实例
实例1 求曲边梯形的面积） 实例1 （求曲边梯形的面积）
y
y = f (x)
曲边梯形：由连续曲线 曲边梯形：
y = f ( x ) ( f ( x ) ≥ 0) 、
x 轴与两条直线 x = a 、
A=?
∫
1
0
x2dx.
(1)分割 (1)分割 (2)近似 (2)近似
y
[0,1] 等分
取
i n i ξi = xi = n xi =
2
∆xi =
1 n
i 1 矩形面积 ⋅ n n
o
i n
n
i +1 n
1
x
(3)求和 (3)求和
∑
i=1
n
i 1 ⋅ n n
2
∑
i=1
2 n i 1 = 1 i2 = 1 ⋅ 1 n(n +1)(2n +1) = 1 (1+ 1)(2 + 1) ⋅ ∑ n3 6 6 n n n3 i=1 n n
∑
i=1
n
i ⋅ 1 = 1 (1+ 1)(2 + 1) n n n n 6
2
(4)取极限
∫ x dx = lim∑
∆ti = ti −ti−1 (i =1 2,⋅⋅⋅, n) ,
O T1 =t0 t1 ti−1
ξi
ti
tn−1 tn= T
2
t
（2）近似：把每小段[ti−1,ti ]上的运动视为匀速，任取时 上的运动视为匀速， ）近似： 刻ξi ∈[ti−1,ti ]， 作乘积V(ξi )∆ti ， 显然这小段时间所走路程 ∆Si 可 近似表示为： 近似表示为：
o
a b x
x = b 所围成 所围成.
用矩形面积近似取代曲边梯形面积
y y
o
a
（四个小矩形） 四个小矩形）
b
x o
a
b
（九个小矩形） 九个小矩形）
x
显然，小矩形越多， 显然，小矩形越多，矩形总面积越接近 曲边梯形面积． 曲边梯形面积．
解决步骤 : 1) 分割 分割: 在区间 [a , b] 中任意插入 n –1 个分点
∆Ai ≈ f (ξi )∆xi
得
o a x1
xi−1 xi
(∆xi = xi − xi−1 i = 1,2,Ln)
ξi
3) 求和 求和:
A = ∑∆Ai ≈ ∑ f (ξi )∆xi
i= 1 i= 1
n
n
4) 取极限 令 取极限:
则曲边梯形面积
A = ∑∆Ai
i=1
n
y
= lim ∑ f (ξi )∆xi
• 思路：把整段时间分割成若干个小段，每 思路：把整段时间分割成若干个小段， 小段上速度看作不变。求出各小段的路程 小段上速度看作不变。 再相加，便得到路程的近似值。 再相加，便得到路程的近似值。最后通过 对时间的无限细分过程求得路程的精确值。 对时间的无限细分过程求得路程的精确值。
分割： 任取分点T = t0 < t1 < ⋅⋅⋅ < tn−1 < tn =T2 ， [T ,T2 ] （１） 分割： 把 1 1 个小区间， 分成 n个小区间，每个小区间长为
对定积分的补充规定 对定积分的补充规定: 补充规定
） （1）当a = b 时， ∫ f ( x )dx = 0 ；
a
b
（ 2）当 a > b 时， ∫ f ( x )dx = − ∫ f ( x )dx . ）
a b
b
a
说明 在下面的性质中，假定定积分都存 在下面的性质中， 在，且不考虑积分上下限的大小． 且不考虑积分上下限的大小．
∫a kf ( x )dx = lim ∑ kf (ξ i )∆xi λ → 0 i =1
n
b
b
为常数). ( k 为常数
证
= lim k ∑ f (ξ i )∆xi = k lim ∑ f (ξ i )∆xi
λ →0
i =1
n
n
λ → 0 i =1
= k ∫a f ( x )dx .
b
性质3 性质3
上可积. 则 f ( x ) 在区间[a , b]上可积.
上有界， 定理2 定理2 设函数 f ( x ) 在区间[a , b]上有界，
且最多只有有限个间段点， 且最多只有有限个间段点， 上可积. 则f (x)在 区间[a , b ]上可积.
四、定积分的几何意义
a < b, f ( x) > 0, ∫a f ( x )dx = A
.
b
令分法无限变细 . .
曲边梯形的面积
f (ξi) ξ y y=f (x) 1 化整为零 2 以直代曲 以常代变) (以常代变)
∆Ai ≈ f (ξi ) ∆xi
A
x
.
3 积零为整
A ≈ ∑ f (ξi )∆xi
i= 1
.
n
分法越细， 分法越细，越接近精确值
4 取极限 o a x i ξ i x i +1 b
λ=max{∆x1, ∆x2,⋅⋅⋅,∆xn}; 在小区间[xi−1, xi]上任取一点ξi n (i=1, 2,⋅⋅⋅, n), 作和 ∑ f (ξi)∆xi ;如果当λ→0时, 上述和式的
i=1
极限存在, 且极限值与区间[a, b]的分法和ξi的取法无关, 则称此极限为函数f(x)在区间[a, b]上的定积分, 记为 b ∫a f (x)dx , 即 b n ∫a f (x)dx=lim∑f (ξi)∆xi .
2
(4) ∫ sin xdx = 0
0
y
2π
0 -3 3
x
例2 用定积分表示下列图中阴影部分的面积
∫
1
0
2xdx
∫
1
−1
1− x dx
2
例3 用定积分表示由 y = sin x x =1, y = 0, x = 4 所围平面图形的面积。 所围平面图形的面积。
解：平面图形如右图所示
3π 4 1
3π
2 0
1
n
λ→0
i=1
n i ⋅1 = lim∑ n n n→∞ i=1
2
i 1 ⋅ n n
2
1 1 1 = lim (1+ )(2 + ) n→ 6 ∞ n n
1 = 3
三、定积分的存在定理
上连续时， 定理1 定理1 当函数 f ( x ) 在区间[a , b ]上连续时，
lim ∫a f (x)dx=λ→0∑f (ξi)∆xi .
b
n
性质1 性质1 证
∫a [ f ( x ) ± g ( x )]dx = ∫a f ( x )dx ± ∫a g ( x )dx .
b
b
b
i= 1 b
∫a [ f ( x ) ± g( x )]dx n = lim ∑ [ f (ξ i ) ± g (ξ i )]∆xi λ →0
d ∫ f (x)dx = f (x) dx
d b ∫a f (x)dx =0 dx
（２）定积分只与被积函数、积分上、下限有关，而与积 定积分只与被积函数、积分上、下限有关， 记号无关， 分变量的 记号无关，即
∫a f ( x)dx = ∫a f (t)dt = ∫ f (u)du;
b
b
b
a
例1 计算
o
1
3π 4
A = ∫ sin xdx
例4 用定积分表示由 y = sin x 平面图形的面积。 平面图形的面积。 解：平面图形如右图所示
5π x =1, y = 0, x = 4
所围
A1
由图可知
5π 4
A = A1 + A2
o
5π 4
1
A2
因为
A1 =
∫
π
1
sin xdx
π
A2 = − ∫ sin xdx
令分法无限变细
) A = lim ∑ f (ξi . ∆xi λ→0
i= 1
n
.
.
实例2 求变速直线运动的路程） 实例 （求变速直线运动的路程）
设某物体作直线运动， 设某物体作直线运动，已知速度v = v (t ) 是 时 间 间 隔 [T1 , T2 ] 上 t 的 一 个 连 续 函 数 ， 且 v ( t ) ≥ 0 ，求物体在这段时间内所经过的路程 求物体在这段时间内所经过的路程.
A = lim ∑ f (ξi )∆xi
λ →0
i =1
n
记为
∫ f ( x ) dx
b a
变速运动的路程 S： ：
S = lim ∑ v(ξi )∆ti
λ →0
i =1
n
记为
∫ v(t ) dt
T2 T1
关于定积分的说明： 关于定积分的说明：
（１）定积分表示一个数，而不定积分是一个函数族， 定积分表示一个数，而不定积分是一个函数族， 求导有如下的式子： 它们分别对 x 求导有如下的式子：
（4）取极限：当 λ = max{∆ti }→0时，上述总和的极限 ）取极限： 1≤i≤n 就是 S 的精确值，即 的精确值，
S = lim∑V(ξi )∆ti λ→ 0
i=1 n
曲边梯形的面积
A = lim∑ f (ξi )∆xi
λ→0
i=1
n
λ = max{∆xi }
1≤i≤n
变速直线运动的路程
x n −1 b
x
.
.
曲边梯形的面积
f (ξi) ξ y y=f (x) 1 化整为零 2 以直代曲 以常代变) (以常代变)
∆Ai ≈ f (ξi ) ∆xi
3 积零为整
A ≈ ∑ f (ξi )∆xi
i =1
.
n
分法越细， 分法越细，越接近精确值
4 取极限 o a x i ξ i x i +1 x