43、2018年西南大学高等代数考研试题

西南大学2018年研究生入学考试高等代数真题

一、填空题

1.若有理数域上多项式在上可约，则c=

2.设为1,2n的一个n级排列，则与有

相同的奇偶性的条件是n

3.设=是3阶非0矩阵，为的行列式，为的代数余子式，若

，则=。

4.设，为4阶单位矩阵，且，则

5.设为2阶矩阵，为线性无关的2维列向量，则

的非0特征值为。

二、判断题

1.设为数域上的多项式，已知c为的根，若c是的3重根，

则c是的5重根。

2.两个n阶实对称矩阵与相似的充要条件是与的特征多项式相同。

3.设向量组，线性相关，其中任意个向量线性无关，则存在

不全为0的数

4.设是数域上n维线性空间的线性变换，若则。

5.有限维欧式空间的正交变换在非标准正交基下的矩阵一定不是正交矩阵。

三、单项选择题

1.设矩阵，，若集合=，则线性方程组

有无穷多解的充要条件是

，，d

d

2.设是矩阵，是矩阵，则

当时，必有当时，必有

当时，必有当时，必有

3.设A，为的伴随矩阵。若是方程

组的基础解系，则的基础解系可为

4.设矩阵的特征多项式均为，若

两两不相似，则的最大值为

8

1012

5.设是一个n阶方阵，=，则的维数

的特征多项式的次数的最小多项式的次数

四、（15分）计算n阶行列式

五、（20分）设实矩阵，为的转置矩阵，，已知

，且

⑴求

⑵将正交线性替换将一次型化为标准型

六、（15分）设为n维欧式空间，为中非零向量，对，定义

⑴证明：为的正交变换

⑵证明：若的子空间是的不变子空间，且，则与正交。七、（15分）设是数域上n阶方阵，是n阶单位矩阵，表示的秩。证

明：的充要条件是

八、（10分）设n是正整数，是n个互异整数，，

研究在有理数的可约性，给出结论并加以论证。