第二章 习题课 - 精品课程一览表汇总

求导(微分) 法则

基本公式

导数x y x ∆∆→∆0lim 微分x

y dy ∆'=关系)(x o dy y dx y dy y dx

dy ∆+=∆⇔'=⇔'=高阶导数

高阶微分

1、导数的定义

即

或记为处的导数在点并称这个极限为函数处可导在点则称函数时的极限存在之比当与如果取得增量相应地函数时内仍在该邻域点处取得增量在当自变量的某个邻域内有定义在点设函数,)(,,)

(,)(,0);()(,)(,)(0000000000x x x x x x dx x df dx dy y x x f y x x f y x x y x f x x f y y x x x x x x x f y ==='==→∆∆∆-∆+=∆∆+∆=定义.)()(lim lim 00000x

x f x x f x y y x x x x ∆-∆+=∆∆='→∆→∆=

2.右导数:

单侧导数

1.左导数:

;)()(lim )()(lim )(00000000x

x f x x f x x x f x f x f x x x ∆-∆+=--='-→∆-→-;)()(lim )()(lim )(00000000x

x f x x f x x x f x f x f x x x ∆-∆+=--='+→∆+→+函数)(x f 在点0x 处可导⇔左导数)(0x f -'和右导数)(0x f +'都存在且相等.

2、基本导数公式22211)(arctan 11)(arcsin ln 1)(log ln )(sec )(sec sec )(tan cos )(sin 0

)(x x x

x a

x x a

a a xtgx

x x

x x

x C a x x +='-='='='='='='='（常数和基本初等函数的导数公式）

222111)cot (11)(arccos 1)(ln )(csc )(csc csc )(cot sin )(cos )(x

x x x x x e e xctgx x x x x x x x x x +-='--='='='-='-='-='μ='-μμarc

3、求导法则

设)(),(x v v x u u ==可导，则

（1）v u v u '±'='±)(, （2）u c cu '=')((

c 是常数),（3）v u v u uv '+'=')(, （4）)0()(2≠'-'='v v

v u v u v u .(1) 函数的和、差、积、商的求导法则

(2) 反函数的求导法则

.)

(1)(),()(y x f x f y y x ϕ'='=ϕ=则有

的反函数为如果函数

(3) 复合函数的求导法则

).

()()()]([)(),(x u f x y dx du du dy dx dy x f y x u u f y ϕ'⋅'='⋅=ϕ=ϕ==或的导数为

则复合函数而设(4) 对数求导法

先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求出导数.

适用范围:

.

)()(的情形数多个函数相乘和幂指函x v x u

(5) 隐函数求导法则

用复合函数求导法则直接对方程两边求导.

(),()

x t y x y t ϕψ=⎧⎨=⎩若参数方程确定与间的函数关系则;)()(t t dt

dx dt dy

dx dy ϕψ''==.)()()()()(322t t t t t dx y d ϕϕψϕψ''''-'''=(6) 参变量函数的求导法则

4、高阶导数0()()[()])lim ,x f x x f x f x x

∆→''+∆-'=∆二阶导数记作.)(,),(2222dx x f d dx y d y x f 或''''.,),(33

dx y d y x f ''''''二阶导数的导数称为三阶导数,记作

阶导数的函数阶导数的导数称为的函数一般地,)(1)(,n x f n x f -.)(,),()()(n n

n n n n dx x f d dx y d y x f 或(二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数)

5、微分的定义定义.),(,)(,)(),()

()()(,,)(000000000x A dy x df dy

x x x f y x A x x f y x A x o x A x f x x f y x x x x f y x x x x ∆⋅=∆=∆⋅=∆∆+∆⋅=-∆+=∆∆+===即或记作的微分于自变量增量相应在点为函数并且称可微在点则称函数无关的常数是与其中成立如果

在这区间内及在某区间内有定义设函数.的线性主部叫做函数增量微分y dy ∆(微分的实质)

6、导数与微分的关系

).

(,)

()(000x f A x x f x x f '=且处可导在点可微的充要条件是函数在点函数定理7、微分的求法

dx

x f dy )('=求法:计算函数的导数,乘以自变量的微分.