正态分布的抽样方法
正态分布下产品可靠性抽样检验方案—方差未知综合双侧情形
Sampling Inspection Plans for Normal Distribution Items- In the Case of Double Combined
Specification Limits
作者： 吕建华;吴启光
作者机构： 中国科学院数学与系统科学研究院,北京100080
出版物刊名： 系统工程理论与实践
页码： 63-69页
主题词： 正态分布;产品可靠性;抽样检验;方差未知综合双侧情形;极大似然估计
摘要：在综合双侧规格限下研究方差未知的正态分布产品可靠性抽样检验方法.检验统计量取为不可靠度p 的极大似然估计.当p小时,的分布基本上仅依赖于p,对p分解为下侧不可靠度和上侧不可靠度的依赖轻微.因此,利用单侧规格限下的抽样检验方案近似地导出综合双侧规格限下的抽样检验方案.随机模拟结果表明,给出的近似方法是有效的,抽样检验方案是合理的.此外,检验统计量的表达式较简单.。
统计推断中的抽样分布近似方法
统计推断中的抽样分布近似方法统计推断是统计学的重要分支，用于对总体进行估计和假设检验。
在统计推断过程中，抽样分布近似方法是一种常用的技术，可以通过近似方法进行总体参数的估计和假设检验。
本文将重点介绍统计推断中的抽样分布近似方法。
一、抽样分布统计推断的基础是抽样分布，即在总体中随机选取样本，通过样本的统计量来推断总体的参数。
抽样分布是样本统计量的分布，它反映了样本统计量的变异情况。
二、抽样分布近似方法抽样分布近似方法是一种利用已知的分布函数近似推断抽样分布的方法。
常用的抽样分布近似方法包括正态分布近似、t分布近似和卡方分布近似。
1. 正态分布近似正态分布近似是一种常用的抽样分布近似方法，适用于大样本情况。
根据中心极限定理，当样本容量足够大时，样本均值的抽样分布近似服从正态分布，且均值为总体均值，标准差为总体标准差除以样本容量的平方根。
2. t分布近似t分布近似是一种常用的抽样分布近似方法，适用于小样本情况。
当总体服从正态分布且样本容量较小时，使用t分布进行推断更为准确。
t分布的形状与样本容量有关，容量越小，t分布的尖峰越高、厚尾越短。
3. 卡方分布近似卡方分布近似是一种常用的抽样分布近似方法，适用于样本容量较大且总体服从正态分布的情况。
卡方分布近似可以用于对总体方差的估计和假设检验。
三、抽样分布近似方法的应用抽样分布近似方法在统计推断中有广泛的应用。
例如，在进行均值差异的假设检验时，可以利用抽样分布近似方法计算出均值差异的置信区间和p值。
在进行参数的点估计时，也可以利用抽样分布近似方法求出参数的估计值及其置信区间。
此外，抽样分布近似方法还可以应用于总体比例的估计和假设检验、总体方差的估计和假设检验等问题，具有广泛的适用性。
总结：本文主要介绍了统计推断中的抽样分布近似方法。
抽样分布近似方法是统计推断的基础，通过利用已知的分布函数对样本统计量的分布进行近似，从而进行总体参数的估计和假设检验。
常用的抽样分布近似方法包括正态分布近似、t分布近似和卡方分布近似。
常用的典型抽样分布法
常用的典型抽样分布法引言在数据分析中，抽样是一个常用的技术，它允许我们从总体中选择一个样本，以获取关于总体的信息。
抽样分布是指当我们从总体中进行多次抽样时，某个统计量的分布。
常用的典型抽样分布法是一种通过特定的方式进行抽样，从而得到特定的抽样分布。
本文将介绍几种常用的典型抽样分布法，包括正态分布、t分布、卡方分布和F分布。
正态分布抽样正态分布（也称为高斯分布）是一个常见的连续概率分布，它在各个领域中都有广泛的应用。
当样本容量足够大时，根据中心极限定理，抽样分布将近似为正态分布。
因此，当我们使用大样本进行统计推断时，可以采用正态分布进行抽样。
在使用正态分布进行抽样时，我们需要知道总体的均值和标准差。
根据这些参数，我们可以使用随机数生成器从正态分布中抽取样本。
抽取样本的过程可以通过以下代码实现：import numpy as np# 设置总体均值和标准差mu = 0sigma = 1# 生成100个符合正态分布的随机数sample = np.random.normal(mu, sigma, 100)t分布抽样t分布是一种常用的概率分布，它在小样本情况下更为适用。
当样本容量较小时，样本的抽样分布会呈现出较大的偏差。
t分布考虑了样本容量的影响，使得在小样本情况下抽样分布更为准确。
在使用t分布进行抽样时，我们需要知道总体的均值和标准差，以及样本容量。
根据这些参数，我们可以使用随机数生成器从t分布中抽取样本。
使用Python中的scipy库进行抽样的示例代码如下：from scipy.stats import t# 设置总体均值和标准差mu = 0sigma = 1# 设置样本容量n = 20# 生成100个符合t分布的随机数sample = t.rvs(df=n-1, loc=mu, scale=sigma, size=100)卡方分布抽样卡方分布是一种常见的概率分布，常用于处理正态分布总体方差的问题。
在使用卡方分布进行抽样时，我们需要知道总体的方差和自由度。
正态总体的常用抽样分布
特点
卡方分布在正态分布两侧有更多的面 积，即其尾部比正态分布更重。随着 自由度n的增加，卡方分布趋近于正 态分布。
04
抽样分布的应用
参数估计
1 2
参数估计
通过抽样分布，我们可以估计总体参数，如均值 和方差。常用的估计方法有矩估计和最大似然估 计。
置信区间
基于抽样分布，我们可以构建总体参数的置信区 间，从而对总体参数进行区间估计。
03
样本方差的数学期望等于总体方差，其方差随 着样本量的增加而减小。
样本偏度与峰度
样本偏度是总体偏度的无偏估计，用于衡量数据的对称性。 样本峰度是总体峰度的无偏估计，用于衡量数据分布的尖锐程度。 在正态分布中，偏度和峰度均为0，但在非正态分布中，偏度和峰度可能不为0。
03
其他常用抽样分布
t分布
中心极限定理
中心极限定理的基本思想
中心极限定理表明，无论总体分布是什么类型，只要样本量足够大，从该总体中随机抽取的样本均值将趋近于正 态分布。这意味着我们可以利用正态分布的性质来分析和推断样本均值。
中心极限定理的应用
中心极限定理在统计学中具有广泛的应用价值。例如，在制定置信区间、假设检验和回归分析等统计方法时，都 需要利用中心极限定理来处理样本数据和推断总体参数。因此，正确理解和应用中心极限定理对于统计推断的准 确性和可靠性至关重要。
THANKS
样本量大小的影响
样本量大小
样本量的大小对抽样分布的形状和稳 定性有显著影响。随着样本量增加， 抽样分布的形状逐渐接近正态分布， 且分布的离散程度逐渐减小。
样本量与精度
样本量越大，估计的精度越高，即估 计的参数值越接近真实值。因此，在 制定抽样计划时，应充分考虑样本量 的大小，以确保估计的精度满足要求。
第54讲随机抽样正态分布
则新数据的平均数x是-3.1 ,方差s是2 .
设=
1 n
(x1+x2+…+xn),
则
x?=
1［(x
n
1-3.1)+(x
2-3.1)+…+(x
n-3.1)］
=-3.1.
s′ 2=
? 1
n
n
(xi′-
i?1
)2x?
? 1 n
新课标高中一轮总复习
理数
第七单元 计算原理、概率与统计
第54讲
随机抽样、正态分布
1.了解分布的意义和作用，会列频 率分布表，会画频率分布直方图、频率 折线图、茎叶图，理解它们各自的特点 .
2.理解样本数据标准差的意义和作 用，会计算数据标准差.
3.能从样本数据中提取基本的数字 特征（如平均数、标准差），并做出合 理的解释.
(4)总体密度曲线：随着样本容量的增加 , 作频率分布折线图时所分的组数增加 ,组距减 小,相应的频率折线图会越来越接近于一条光 滑曲线,则称这条光滑曲线为总体密度曲线.
(5)茎叶图：中间的数字表示数据的十位 数字，旁边的数字分别表示两组数据中各个 数据的个位数字.
3.抽样方法
(1)简单随机抽样：从含有 N个个体的总 体中逐个不放回地抽取 n 个个体作为样本 (n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体 被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫 做③ 简单随机抽样 .有两种常用方法：
点评求此概率需将问题化为正态随机变
量的几种特殊值的概率形式，然后利用 对称性求解.
题型三 频率分布表与频率分布直方图
例3在生产过程中，测得纤维产品的纤度
§5.4三大抽样分布
所以 Y ( y1 ,, yn )T 的各分量相互独立.
n 1 由于 x y1 , ( n 1) s 2 yi2 . x与s 2相互独立. n i 2
1 n 1 21 1 A 3 2 1 n( n 1)
n
( n 1) s 2 yi2，
i2
yi N (0, ), i 2,3, , n.
2
y2 ,, yn相互独立.
( n 1)
2
yi 2 s ~ (n 1). i 2
n
2
2
15
定理2：设( X 1 , X 2 ,, X n )是来自正态总体N ( , )的
1 n 1 21 1 3 2 1 n( n 1)
1 n 0
1 3 2 1 n( n 1)
0 0 1 n( n 1) 1 n
14
(3)
( n 1)
2
s 2 ~ 2 ( n 1).
2 i 1 2 i 2 1 2 2 n 2 n
服从自由度为n的 2分布， 记作 2 ~ 2 (n) . 注：服从 2分布的随机变量取值非负，其密度函数为 n x 1 1 x2 e 2 , x 0 n 2 n 2 ( x; n) 2 ( ) Γ ( s ) x s1e x dx , s 0, 2 0 0, x0
4
n=4
2 分布的性质：
n=6 n=10
1、随n的增大，其偏度越来越小。
2、 2分布表——P425 附表三
2
即是分布函数数值表.
2
n 1 3、 分布是Ga分布的特例，即有 ( n) Ga( , ) . 2 2 4、 2分布具有可加性：
随机抽样用样本估计总体正态分布.ppt
各自特点
从总体中逐个 抽取
将总体分成几 层进行抽取
将总体均分成 几部分，按事 先确定的规则 在各部分抽取
相互联 系
最基本 的抽样 方法
各层抽 样时采 用简单 随机抽
样
在起始 部分抽 样时采 用简单 随机抽
样
23
适用范 围
总体中 的个体 数较少
总体由 差异明 显的几 部分组
成
总体中 的个体 数较多
2.频率分布直方图会使样本的一些数字特征更明显，
9
(2)依题意，ξ 的可能取值为 0,1,2,3，则 P(ξ＝0)＝CC31382＝1545，P(ξ＝1)＝CC14C31228＝2585， P(ξ＝2)＝CC24C31218＝1525，P(ξ＝3)＝CC31342＝515. 因此，ξ 的分布列如下：
所以 Eξ＝0×1545＋1×2585＋2×1525＋3×515＝1.
体的方差最小，0
21
1．统计的基本思想方法是用样本估计总体，即用局 部推断整体，这就要求样本应具有很好的代表性， 而样本良好客观的代表性，完全依赖抽样方法． 三种抽样方法的比较：
22
类别 简单随机抽样
分层抽样
系统抽样
共同点
①抽样过程中 每个个体被抽 取的概率是相 等的；②均属 于不放回抽样
在区间(68,75)中的概率．
7
素材1
设矩形的长为 a，宽为 b，其比满足 b∶a＝
5－1 2
≈0.618，这种矩形给人以美感，称为黄金矩形．黄金矩
形常应用于工艺品设计中．下面是某工艺品厂随机抽取
两个批次的初加工矩形宽度与长度的比值样本：
甲批次：0.598 0.625 0.628 0.595 0.639
抽样分布-正态分布
总体分布：总体内个体数值的次数分布 样本分布：样本内个体数值的频数分布 抽样分布：某一种统计量的
1 ～ 13 号 81 99 66 98 55 92 100 84 69 74 77 66 100 14 ～ 25 号 84 100 68 59 71 60 94 91 92 95 78 84 一共可以抽取 255 = 9765625 个样本，每个样本都有一个平均 数，了解样本平均数的次数分布规律，以便更好地对总体均值 进行估计或推断。
[例]
为方便举一很小的总体：1 1 1 1 2 2 2 3 3 4，这是一个 正偏态分布，其均值为2，方差为1。我们从这一总体里抽 取出容量为 2 的所有样本， 则有（下页）。
作业：
24，25，28，30
抽样分布--本节简介
抽样误差：由于抽样随机性而导致样本统计量和总体参数 不一致，即样本对总体的代表性误差。
抽样分布－－示例
区分三种不同性质的分布
本节主要内容： 样本平均数服从什么分布？ 两个样本平均数之差服从什么分布？ 样本方差服从什么分布？ 两样本方差之比服从什么分布？ 等
区分三种不同性质的分布
一、正态分布及渐进正态分布
⑴总体正态分布，且方差（σ2）已知，则一切可能样本平 均数的分布也呈正态分布，且有：
X
X
2 2 X n
X X Z X n
( X 标准误，或SE)
2
n
n
⑵方差（σ2）已知，总体不呈正态分布，样本容量n够大 （n>30），则一切可能样本的平均数趋近正态分布，同上。 示例
第3节 正态总体下的抽样分布定理
(4) X和S2相互独立.
数理统计
n取不同值时 (n 1)S 2 的分布
2
数理统计
n取不同值时样本均值 X 的分布
数理统计
推论 设X1,X2,…,Xn是取自正态总体 N (, 2 )
的样本, 则有
X和S2 分别为样本均值和样本方差,
X ~ t(n 1)
Sn
X ~ N (0,1), / n
证
(1)
由定理2,
X
~
N (1
,
2 1
n1
)，
Y
~
N (2
,
2 2
n2
)，
且 X 与Y 相互独立，由正态分布的可加性,可得
X
Y
~
N (1
2
,
2 1
n1
2 2
)
.
n2
标准化,即得
U ( X Y ) (1 2 ) ~ N (0,1) .
2 1
2 2
n1 n2
10
数理统计
(2) 由定理2,
(n1
数理统计
第三节 正态总体下的抽样 分布定理
数理统计
定理1 设总体 X 的均值和方差均存在,EX ,
DX 2 ,对样本 ( X1, X2 ,, Xn ) 及其样本均值 X 和样本
方差 S2 ,
有 E(X) ,
2
D( X )
，
E(S2) 2
.
n
证 X1, X 2 ,, X n 相互独立,且与总体 X 同分布,故有
8
定理3
设两个正态总体 X
~
N
(
1
,
2 1
)
,Y
~
随机抽样、用样本估计总体、正态分布
11.6 随机抽样 用样本估计总体 正态分布教材细梳理—-知识点 一.随机抽样 1.简单随机抽样(1).定义：一个总体含有N 个个体，从中逐个①_____地抽取n 个个体作为样本(n ≤N )，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会_②_____，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．(2). 最常用的简单随机抽样方法有两种___③__法和_④_________法． (3). 适用于 ⑤ 的情况. 2.系统抽样(1).定义：将总体分成 ⑥ 的若干部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分中抽取一个个体，得到所需要的样本，这样的抽样方法称为系统抽样 . (2).系统抽样步骤：假设要从容量为N 的总体中抽取容量为n 的样本. a. 先将总体的N 个个体⑧ ．有时可直接利用个体自身所带的号码，如学号、准考证号、门牌号等；（编号的位数要一样） b. 确定⑨ ，对编号进行分段．当N n (n 是样本容量)是整数时，取k ＝N n；c. 在第1段用_⑩_________确定第一个个体编号l (l ≤k )；d. 按照一定的规则抽取样本．通常是将l ⑪ 得到第2个个体编号(l ＋k )，再加k 得到第3个个体编号(l ＋2k ) 依次进行下去，直到获取整个样本． (3).系统抽样适用于⑫ 的情况. 3.分层抽样(1).定义：当总体由⑬ 组成时，为了使抽取的样本更好地反映总体的情况，可将总体中各个个体按某种特征分成若干个互不重叠的几部分，每一部分叫做层，在各层中按层在总体中所占⑭ 进行简单随机抽样或系统抽样，这种抽样方法叫做分层抽样.(2).分层抽样适用于总体由差别明显的几部分组成的情况. 二.样本估计总体有关概念和知识点1．通常我们对总体作出的估计一般分成两种．一种是用样本的①__________估计总体的分布．另一种是用样本的② 估计总体的数字特征. 2.频率分布直方图画法(1)．求极差（最大值-最小值=极差）. (2)．决定组距与组数.(3)．确定分点，将数据分组.5.茎叶图以数据的高位为茎，放中间，低位为叶放两边，它的优点是： （1）保留了原始数据，没有损失样本信息.（2）数据可以随时记录、添加或修改. (n x x ++-2(n x x ++-受极值影响较大。
正态分布查表方法
正态分布查表方法
正态分布查表法是一种常用的概率统计方法，其核心思想是通过对正态分布概率进行抽样的方式来推断样本的概率分布。
正态分布查表法，也就是采用定量方法，来使用标准正态分布查表法，估计特定变量的概率密度函数。
正态分布查表法，首先要选择一个正态分布查表，这里有不同查表，分别使用不同的区间和概率精度。
然后，对正态分布中的每一个给定值，在查表中找到响应的区间，以及在该区间内的概率值。
最后，累积所有这些概率值，得到特征值的总概率。
正态分布查表法的优势在于，可以根据查表的精度，推算出各种概率。
此外，它也可以帮助我们比较和缩小现有数据中发现的不同特征变量间的差异。
正态分布查表法可以用在多种统计任务上，比如正态性检验，频率分布检验和缺失值推断等，可以帮助统计学家获得综合评价的数据。
总之，正态分布查表法是一种简单而有效的抽样算法，可以帮助统计学家广泛领域的统计任务，是统计学家们不可多得的工具和方法。
抽样分布公式的详细整理
抽样分布公式的详细整理抽样分布是统计学中的一个重要概念，它描述的是在特定条件下，从总体中抽取的样本所形成的样本统计量的分布情况。
在实际应用中，我们常常需要根据已知的总体参数来估计未知的总体参数。
此时，抽样分布公式能够帮助我们进行相应的推断统计。
以下是常见的抽样分布公式的详细整理：1. 抽样分布公式在统计学中，常见的抽样分布公式有以下几种：1.1. 正态分布如果总体近似服从正态分布，那么从中抽取的样本均值就近似服从正态分布。
抽样分布公式如下所示：\[ \bar{X} \sim N(\mu, \frac{\sigma}{\sqrt{n}}) \]其中，\(\bar{X}\) 表示样本均值，\(\mu\) 表示总体均值，\(\sigma\)表示总体标准差，\(n\) 表示样本量。
1.2. t分布在实际应用中，当总体近似服从正态分布但总体标准差未知时，我们使用t分布进行推断统计。
抽样分布公式如下所示：\[ t = \frac{\bar{X} - \mu}{\frac{s}{\sqrt{n}}} \]其中，\(\bar{X}\) 表示样本均值，\(\mu\) 表示总体均值，\(s\) 表示样本标准差，\(n\) 表示样本量。
1.3. 卡方分布在某些情况下，我们需要估计总体方差或总体标准差，此时可以使用卡方分布进行推断统计。
抽样分布公式如下所示：\[ \chi^2 = \frac{(n-1)s^2}{\sigma^2} \]其中，\(\chi^2\) 表示卡方统计量，\(s\) 表示样本标准差，\(\sigma^2\) 表示总体方差，\(n\) 表示样本量。
1.4. F分布在某些情况下，我们需要进行总体方差比较或回归分析，此时可以使用F分布进行推断统计。
抽样分布公式如下所示：\[ F = \frac{MSB}{MSW} \]其中，\(MSB\) 表示组间平均平方和，\(MSW\) 表示组内平均平方和。
2. 应用案例为了更好地理解抽样分布公式的应用，以下是一个具体的案例：假设我们从一批电子产品中随机抽取了20个样品，测得平均寿命为3000小时，样本标准差为200小时。
正态总体下的抽样分布
中心极限定理是抽样分布的理论基础， 它表明无论总体分布是什么，只要样 本量足够大，样本均值的分布近似正 态分布。
样本均值的性质
无偏性
样本均值的数学期望等于总体均值， 即$text{E}(bar{x}) = mu$。
最小方差性
在所有可能的样本统计量中，样本均 值具有最小的方差，即 $text{Var}(bar{x}) = frac{sigma^2}{n}$。
数学表达式
正态分布的数学表达式为$f(x) = frac{1}{sqrt{2pisigma^2}} e^{-frac{(x-mu)^2}{2sigma^2}}$，其中$mu$是均值， $sigma$是标准差。
抽样分布的概念
抽样分布
抽样分布描述的是从某一总体中随机 抽取一定数量的样本后，这些样本统 计量（如均值、方差等）的分布情况。
大样本下样本方差的分布
卡方分布
在大样本下，样本方差通常呈现卡方分布。
方差的无偏估计
在大样本下，样本方差是总体方差的无偏估计。
方差的同方差性
在大样本下，来自不同总体的样本方差通常具有同方差性，即它们具有相同的 方差。
04
小样本下的抽样分布
小样本的定义
小样本是指从总体中随机抽取的样本 量较小，通常在30个样本以下。
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正态分布的性质
Байду номын сангаас01
02
03
集中性
正态分布的曲线关于均值 所在直线对称，数据值主 要集中在均值附近。
均匀性
正态分布的曲线在均值两 侧均匀下降，且下降速度 逐渐减缓。
平坦性
正态分布的曲线在均值的 两侧逐渐接近水平线，表 现出平坦的趋势。
第三章 正态分布与抽样分布
图3-5 正态分布的概率
关于正态分布，有几个概率应记住： 关于正态分布，有几个概率应记住： 一般正态分布： 一般正态分布：
P（µ－1.96σ≤x＜µ+1.96σ）＝0.95 1.96σ≤x＜µ+1.96σ）＝ ）＝0.95 P（µ－2.58σ≤x＜µ+2.58σ）＝0.99 2.58σ≤x＜µ+2.58σ）＝ ）＝0.99 P（µ－σ≤x＜µ+σ）＝0.6826 σ≤x＜µ+σ）＝ ）＝0.6826 P（µ－2σ≤x＜µ+2σ）＝0.9545 2σ≤x＜µ+2σ）＝ ）＝0.9545 P（µ－3σ≤x＜µ+3σ）＝0.9973 3σ≤x＜µ+3σ）＝ ）＝0.9973
对于大样本资料，常将样本标准差S 对于大样本资料，常将样本标准差S 与样本均数配合使用，记为 X ± S ，用 与样本均数配合使用， 以说明所考察性状或指标的优良性与稳 定性。对于小样本资料， 定性。对于小样本资料，常将样本标准 误 SX 与样本均数 X 配合使用，记 配合使用， 为 X ± S ，用以表示所考察性状或指 标的优良性与抽样误差的大小。 标的优良性与抽样误差的大小。
学上已证明 总体的两个参数与x总体的两 总体的两个参数与x 个参数有如下关系： 个参数有如下关系：
µx = µ
σx =
σ
n
表 X 的抽样分布形式与原总体X分布形式的关系 的抽样分布形式与原总体X
2.2 均数标准误
均数标准误 σx = 的大小反映样本均数 X n 抽样误差的大小 标准误大， 的大小。 的抽样误差的大小。标准误大，说明各样本均 间差异程度大；反之，亦然。 数 X 间差异程度大；反之，亦然。 在实际工作中，总体标准差σ往往是未知的， 在实际工作中，总体标准差σ往往是未知的， σx 此时，可用样本标准差S 因而无法求得 。此时，可用样本标准差S估 S 于是， 计σ 。于是，以 估计 n 。记σx 为 n， S SX 称作样本标准误或均数标准误。 称作样本标准误或均数标准误。 是均数抽样 SX 误差的估计值。 误差的估计值。
审计师如何进行采样和测试程序设计
审计师如何进行采样和测试程序设计审计师在进行审计工作时，需要对企业的财务状况和业务运营情况进行评估和核实。
采样和测试程序设计是审计工作中的重要环节，有助于确保审计程序的可靠性和有效性。
本文将介绍审计师在采样和测试程序设计中的一些方法和技巧。
一、采样方法1. 无偏随机抽样无偏随机抽样是指在样本选择过程中，每个项目或交易有相等的机会被选中，从而避免了主观性和个别性的影响。
审计师可以使用随机数表或计算机程序来进行无偏随机抽样，确保样本的代表性。
2. 正态抽样正态抽样是一种基于正态分布的抽样方法，适用于样本量较大且明确符合正态分布的情况。
审计师可以根据样本数据的均值和标准差，计算出正态抽样的样本量，并从总体中随机选取样本。
3. 非抽样方法除了抽样方法外，审计师还可以使用非抽样方法进行测试程序设计。
非抽样方法是指通过对数据的全面检查和系统测试来获得有关总体的有关结论。
这种方法适用于样本量较小或数据集较为规范的情况。
二、测试程序设计1. 内部控制测试内部控制测试是审计师对企业内部控制制度的有效性进行评估的过程。
审计师可以通过检查企业的财务条款、会计记录和相关文件，以验证内部控制是否执行有效，并且是否能够发现和防止潜在的错误或欺诈行为。
2. 存在性与产权验证审计师需要验证企业报表中的各种资产、负债和权益是否存在，并确认其产权归属是否符合现有法规和合同约定。
通过检查相关文件、凭证和证明，审计师可以对企业的资产和负债进行验证，并核实其所有权和价值。
3. 流程与程序测试流程与程序测试是审计师对企业财务和业务流程的测试过程。
审计师可以选择一系列具有代表性的交易进行测试，并评估相关流程和程序的有效性和合规性。
通过检查相关记录和文件，审计师可以识别潜在的风险和问题，并提出相应的改进建议。
4. 反映性测试反映性测试是对企业报表中数字正确性和准确性进行测试的过程。
审计师可以选择一部分数据或样本进行反映性测试，以核实其准确性，并与其他独立的数据进行比对。
抽样分布公式总结从样本到总体的推断基础
抽样分布公式总结从样本到总体的推断基础引言在统计学中，抽样是一种常用的研究方法，通过从总体中选取一部分个体来代表整体，从而进行总体特征的估计和假设的推断。
抽样分布则是在给定样本量和总体分布情况下，研究抽样统计量的分布情况。
本文将总结抽样分布的基本公式，从样本到总体的推断基础。
一、样本均值的抽样分布当样本容量n足够大时，样本均值的抽样分布近似服从正态分布，其中：1. 点估计的抽样分布公式样本均值的期望值E(ȳ)等于总体均值μ，即：E(ȳ) = μ样本均值的方差V(ȳ)等于总体方差σ^2除以样本容量n，即：V(ȳ) = σ^2/n其中，σ^2为总体方差。
2. 区间估计的抽样分布公式样本均值的标准差σ(ȳ)等于总体标准差σ除以样本容量n的平方根，即：σ(ȳ) = σ/√n根据正态分布的性质，样本均值与总体均值之间的差异服从一个以0为均值、σ(ȳ)为标准差的正态分布。
因此，我们可以利用样本均值与总体均值之间的差异来构建置信区间，从而进行总体均值的估计。
二、样本比例的抽样分布当样本容量n足够大时，样本比例的抽样分布近似服从正态分布，其中：1. 点估计的抽样分布公式样本比例的期望值E(p)等于总体比例π，即：E(p) = π样本比例的方差V(p)等于总体比例π(1-π)除以样本容量n，即：V(p) = π(1-π)/n其中，π为总体比例。
2. 区间估计的抽样分布公式样本比例的标准差σ(p)等于总体比例π(1-π)/n的平方根，即：σ(p) = √(π(1-π)/n)根据正态分布的性质，样本比例与总体比例之间的差异服从一个以0为均值、σ(p)为标准差的正态分布。
因此，我们可以利用样本比例与总体比例之间的差异来构建置信区间，从而进行总体比例的估计。
三、样本差异的抽样分布当两个样本容量n1和n2都足够大时，样本差异（两个样本均值之差或两个样本比例之差）的抽样分布近似服从正态分布，其中：1. 点估计的抽样分布公式样本差异的期望值E(ȳ1-ȳ2)等于总体均值之差μ1-μ2，即：E(ȳ1-ȳ2) = μ1-μ2样本差异的方差V(ȳ1-ȳ2)等于两个总体方差σ1^2/n1和σ2^2/n2之和，即：V(ȳ1-ȳ2) = σ1^2/n1 + σ2^2/n2其中，σ1^2和σ2^2为两个总体方差。
正态分布的抽样方法
2
x n ) 内的概率 。 于是可将分布 f
3
( x) 写成加分布的形式 : f
( x) =
n =1
6
12
pnf
n
3
( x) 。 这样一来 , 便可用加抽样方
法来实现类正态分布的随机抽样 , 其抽样效率 η = 01801 2 , 远比在矩形内的舍选抽样效率 η = 01250 7 高得 多。 其抽样框图如右下
2/ πexp ( - x 2 / 2 + | x | ) 。于是
( X f + 1) 2 ≤- 2lnξ 2 ? 1
( +)
(- )
X f = sign (ξ 3 - 0 15 ) X f
1
6 近似抽样方法
2 2 ( 1) 反函数近似 )≈a + b ξ+ c ξ ) 2 lnξ+ β ξ 文 [ 2 ]给出反函数近似的抽样公式 X F = F - 1 (ξ + α( 1 - ξ ln ( 1
495对于一种随机抽样方法可以从抽样费用速度简单容易实现精确性以及易于向量化等几项综合指标来考虑其优劣给出的是在微机486dos313操作系统tran环境下一些典型方法抽样结果的比较随机变量的抽样费用单位是微秒tran语句的行数和目标程序的字节数给出中可以看出极法是一种方便有效的抽样方法计算机模拟和蒙特卡罗方法
2 抽样方法的好坏 ,会影响别的分布 ,例如 χ 分布 、 T 分布等的抽样效率 。为此 , 本文概述若干实现正态分布的
随机抽样方法 , 并对各种抽样方法作了比较 , 以供在实际问题中选用 。
2 ) , 则 X = ( Y - a) / σ满足标准正态分布 N ( 0 , 1 ) 。因此 , 下面 因为若随机变量 Y 满足正态分布 N ( a ,σ
第54讲随机抽样正态分布
点评求此概率需将问题化为正态随机变
题型三 频率分布表与频率分布直方图
( 表示纤维粗细的一种量 ) 共有100 个数据， 数据分组如下表
分 组 [1.30, [1.34 [1.38 [1.42 [1.46 [1.50 合计 , , , , , 1.34) 1.38 1.42 1.46 1.50 1.54 ) ) ) ) ) 4 25 30 29 10 2 100
点评1. 解答本题时，第 (1) 问首先需计
题型三 样本的数字特征估计总体
行了6次测试，测得他们的最大速度(m/s)的数据 如下表：
甲 乙 27 33 38 29 30 38 37 34 35 28 31 36
例3 对甲、乙两名自行车赛手在相同条件下进
(1)画出茎叶图,由茎叶图你能获得哪些信息? (2) 分别求出甲、乙两名自行车赛手最大速 度 (m/s) 数据的平均数、中位数、标准差，并判 断选谁参加比赛更合适.
(3)正态曲线的性质
(ⅰ)曲线在x轴的上方，与x轴不相交；
(ⅱ)曲线关于直线x=μ对称；
（ⅲ）曲线在x=μ时位于最高点；
（ ⅳ ）当 x<μ 时，曲线上升；当 x>μ 时 , 曲线下降 , 并且当曲线向左、右两边无限延 伸时,以x轴为渐近线向它无限靠近；
（ⅴ）当μ一定时，曲线的形状由σ确定， σ 越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布 越分散； σ 越小，曲线越“瘦高”，表示总 体的分布越集中.
因为Eη=0,Dη=1,Eξ=-5,Dξ=4,
而Eη=E(aξ+b)=aEξ+b,Dη=D(aξ+b)=a2Dξ. 又a>0,所以 所以η=
1 ξ+ 2
-5a+b=0 4a2=1
常用的三种抽样分布
＝单侧t0.005，9 单侧t0.01，9＝2.821 双侧t0.05/2，∞＝1.96
＝单侧t0.025，∞ 单侧t0.05，∞ ＝1.64
三、 F 分布
令 2 (1) 和 2 ( 2 ) 分别为服从自由度为 1 和 2 的
独立变量的卡方分布，则称 F 2 (1) 1 服从分子自由度
• （1）随机变量、概率分布、抽样分布 是统计学推断的基础。
• （2） 二项分布描述二项分类变量两种 观察结果的出现规律。泊松分布是二项 分布的特例，常用于事件发生率很小， 样本含量很大的情况。
• （3）正态分布是其他分布的极限分布， 许多统计方法的理论基础。不少医学 现象也服从正态分布或近似服从正态 分布。
分布，且其均数为μ，标准差为 s
n
• 不论总体的分布形式如何，只要样本含
量n足够大时，样本均数的分布就近似正
态分布 ，此称为中心极限定理。 （下章通过抽样实验证实）
常用的三种抽样分布
• 一、 2 分布
• 二、t分布 • 三、F 分布
均为连续型随
机变量分布，分布 只与自由度，即样 本含量有关
2 0.05(1)
常用的抽样分布
如果总体服从正态分布N（m，s2），
则从该正态总体中抽取样本，得到的
样本均数也服从正态分布，但该分布
为N（m，s2/n ），此时的方差是总 体的1/n倍，即有
mx m,
sx
s
n
中心极限定理
• 如果总体不是正态总体，但其均数和标
准差分别为μ和σ，则当样本含量n不断
增大时，样本均数的分布也趋近于正态
自由度：n-1
f(t)
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矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。