用函数的对称性与周期性课件

一个解，求实数t的取值范围.
答案：
1.增函数2.当x7,5时，-2- x3,5, f x f 2 x 2
f
x
2
f
2
x
2
22 x
1 x 2 x
2
2x2
1 x x2
(a、b
R)的图象关于点
(1，0)对称，求a、b满足的关系.
3.若函数f ( x)的定义域为R，且对任意x R，有
f (2 x) f (2 x)，若f ( x) 0有51个根，求所
有这些根的和.
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解题指要：利用函数的对称性解题时关键在
于考查两个函数值，周期性反映了函数值重
复出现的特性.
6.作业
1.已知f ( x)是定义在R上的偶函数，又是以2为周 期的周期函数，若f ( x)在[1，0]上是减函数， 判断f ( x)在[2，3]上的单调性.
3
3. y |sin2x|；
4. y |sin x | |cos x |
解题指要：常见函数的周期性：
1. f ( x) Asin( x )( 0)的周期为2 ； ||
2. f ( x) Acos( x )( 0)的周期为2 ； ||
3. f ( x) Atg( x )( 0)的周期为 ； ||
8.若函数y2sin(k x3 )的最小正周期为T( 12，52)，
求实数k的取值范围. 9.函数y f ( x)是定义在R上周期为4的周期函数，
且当x[2，2)时，f ( x) | x3 |. (1)求f ( x)在R上的解析式； (2)若f ( x) tx在[4n 2，4n 2)(n N )上只有
2. 已知y f ( x 2)是偶函数，则y f ( x)的图象
关于
对称.
3. 已知y f ( x)是奇函数，则y f ( x 1) 2的图
象关于
对称.
解题指要： 函数图象经过平移后，对应的函数图象的对称
中心（或对称轴）也进行了相应的平移；
3.根据函数图象的对称性求函数的解析式
1. 已知f ( x)的图象关于直线x 2对称，且x(0，1]
2.已知f ( x)图象关于点(1，1)对称，且x[3，5]时 f ( x) 2x 2 x.x[7， 5]时，求f ( x)的解析式.
3.函数y log2 |2x a |的图象关于直线x 3对称， 解关于x的不等式x2 ax 5 0.
4.如果函数f ( x) bx 5的图象关于点(1，2)对称， ax 1
二、基本题型与解答方法——快速、准确、熟练
1.根据解析式判断函数图象的对称性
1. 函数f ( x) 2x 3的图像关于点 对称.
2. 函数f ( x)的3定x义1域为R，且f (1 2x) f (2x)，
则y f (2x)的图象关于
对称；
y f ( x)的图象关于
对称.
3. f ( x)是偶函数，f ( x 2)是奇函数，且f (0) 2008，
用函数的对称性与周期性
一、知识要点 函数图象的对称性
对称轴(中心) 特征表达式
实例
xa
f (a x) f (a x) f ( x) f (2a x)
y ( x a)2 1
( a，b)
f (a x) f (a x) 2b f ( x) f (2a x) 2b
y ( x a)3 b
时，f ( x) x2 1 ，求x[3，4)时，f ( x)的解析式. 2x
2. 已知f ( x)的图象关于点(2，0)对称，x(0，1]时，
f ( x) x2 1 ，求x[5， 4)时，f ( x)的解析式. 2x
3. 已知f ( x)的图象关于点(1， 2)对称，且x(0，1]
时，f ( x) x2 1 ，求x[1，2)时，f ( x)的解析式.
求函数f ( x)的单调区间.
5.若函数f ( x) 2sin( x )的对称轴和与它最近
4
的对称中心的距离为，求该函数的值域.
6.若函数y 3sin(2x )的图象关于y轴对称， 求的值.
7. 若定义在R上的函数g( x)，满足对任意实数x都有 g(1 x) g(2 x)成立，且g( x) 0有101个实数根， 求所有实根之和.
函数的周期性：f ( x T ) f ( x)(T 0)
重要结论：
1. 若f ( x)有两条(个)对称轴(中心)x a(a，0)，x b(b，0) (a b)，则f ( x)是以2|a b|为周期的周期函数；
2. 若f ( x)有一条对称轴x a和一个对称中心(b，0)(a b)， 则f ( x)是以4|a b|为周期的周期函数； 3.若f ( x)、g( x)都是周期函数，且a 0，b 0， 则af ( x) bg( x)是周期函数.
解题指要：
2x
此类问题的解法通常是在给定的区间内任取一个自变量，
找到它关于点(或直线)的横坐标对称的相应的自变量，
根据函数奇偶性的定义寻找这两个自变量间的函数值的
关系，进而求得结果. 其本质是代入法求轨迹方程.
4.求函数的周期
1. y 3cos(3x 5)； 2. y 2sin2x cos(2x )
求f (2010)的值.
解题指要：常见函数的对称性：
1. f ( x) ax b (c 0)的图像关于点( d ，a )对称； 2. f ( x) |cxxad|的图象关于x a对称；c c
3. f ( x) ax2 bx c(a 0)的图象关于x b 对称； 2a
4.奇(偶)函数的图象关于原点( y轴)对称.
4.通常先化简后再求其周期.
5.函数周期性和图象的对称性的应用 1.已知f ( x)、g( x)都是定义在R奇函数，f ( x) 0的
解集是(a2，b)，g( x) 0的解集是( a2 ，b )，a2 b，
22
2
则f ( x) g( x) 0的解集是
.
2.若函数f
(
x
)
a2 2x
x b 2
2.平移变换后，函数图象的对称性
1. 已知函数y f ( x)是偶函数，f ( x 2)在[0，2]上
单调递减，则
()
A. f (0) f (1) f (2) B. f (1) f (0) f (2)
C. f (1) f (2) f (0) D. f (2) f (1) f (0)