结构力学(龙驭球)第7章_位移法解析
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第 7章
位移法
§7-1 位移法的基本概念
1、关于位移法的简例
FN1FNi
i
1 2 34
FN 5
B
Fp
B
B
FP
5
A i
Ai ,li
B
B
ui FNi
B
ui sini
i B
B
选择 基本 未知
量
FNi
EAi li
ui
物理条件
ui sini
几何条件
FNi sin i FP
平衡条件
变形条件
FNi
EAi li
sin i
FNi
EAi li
sin i
EAi li
sin 2
i
FP
EAi li
sin 2
i
FP
FP
EAi li
sin2 i
aa aa
FP
i
EAi li
sin2 i
2a
1 2 34 5
B Fp
FNi
EAi li
sin i
EAi li
sin 2
i
FP
将图中尺寸代入，设各杆 EA 相同，可得
0.637 FPa
6i l
6i l
12i l2
θ=1 A A
θ=1 A
B
B 1
B
3i 3i l
i
0
3i l
0
3i l2
-i
0
二、由荷载求固端弯矩和剪力
单跨超静定杆在荷载作用下的杆端弯矩和剪力称为固端弯矩和固端剪力， 因为它们是只与常数有关的常数，又称为载常数。P230表7-1。
单跨超静定梁简图
q
A
l
B
l 2
FP
A
BLeabharlann Baidu
q
A
B
l 2
FP
A
B
q
A
B
MAFB
ql2 12
FPl 8
ql2 8
3FPl 16
ql2 3
MBFA
ql 2 12 FPl 8
0
0
ql2 6
FQFAB
ql 2
FP 2 5ql 8 11FP 16
ql
FQFBA
ql 2
FP 2
3ql 8
5FP 16
0
三、在已知荷载及杆端位移的共同作用下的杆端力一般公式：
12
1 EI
l 2
1 3
l 6EI
21
1C
l
2C
l 3EI
X1
l 6EI
X2
l
A
l 6EI
X1
l 3EI
X2
l
B
令 i EI l
Δ
θA
X1
θB
X2
Δ
X1=1
1
M1
1/l
1
M2
X2=1 1/l
X1
4i
A
2i
B
6i l
X
2
2i
A
4i B
6i l
几种不同远端支座的刚度方程
⑴ 远端为固定支座
MAB
§7-2 等截面杆件的刚度方程
一、由杆端位移求杆端弯矩
MAB
FF QAB
A
MAB
如图示等截面杆件AB，EI=常数。
EI
已知端点A和B的角位移分别θA ,θB ，两
端垂直杆轴的相对位移为Δ。 拟求
B
MBA
杆端弯矩MAB 和MBA 。
l
FF QBA
杆端力和杆端位移的正负规定：
' B
MBA
① 杆端转角θA ,θB ，以顺时针为正。 ② 杆端弯矩 MAB 和 MBA ，对杆端以顺时
将上式写成 矩阵形式：
M
AB
4i
M
BA
2i
2i 4i
6i l
6i l
A
B
FQAB
6i
l
6i l
12i
l 2
(7 7)
用力法求解单跨超静定梁
11X1 12 X 2 1C A
21X1 22 X 2 2C B
11
1 EI
l 2
2 3
l 3EI
22
⑴ 两端为固定的杆件
（转角位移方程）
MAB
q
引用前述的刚度方程：
FQAB
A
M’AB
F' QAB
A
M
F AB
FF QAB
M M
AB BA
4i A 2i A
2i B 4i B
6i 6i
l l
(1)
FQAB
FQBA
6i l
A
6i l
B
12i l2
(2)
FQAB
M AB
l
M BA
6i l
A
6i l
B
12i l2
刚度矩阵中的系数称为刚度系数，刚 度系数是只与杆件尺寸和材料性质有 关的常数，又称为形常数。
弯曲杆件刚度矩阵
A
EI
l
因B 0, FQAB FQBA 0
MBA
代入（2）式可得
l
1 2
A
FQAB
FMMQBBAAABi6ilAi A A
6i l
(B711l202i)
(2)
单跨超静定梁由单位杆端位移引起的杆端力称为形常数。
单跨超静定梁简图
MAB
MBA
FQAB = FQBA
θ=1 A
B
4i
2i
6i l
A
B1
⑷ 杆件分析是结构分析的基础，杆件刚度方程是位移法基本方程的基础。
2、位移法计算刚架的基本思路
A
A
FP C
M AB
M AB
A
FP
C
A
A
A
q
q
B
B
用位移法计算刚架，结点位移仍是处于关键地位的未知量。
位移法的基本作法：先拆散，后组装。
① 把结构拆成杆件，进行杆件分析－－杆件在巳知端点位移和巳知荷载 作用下的计算。 ② 把杆件组装成刚架，进行整体分析－－利用刚架平衡条件，建立位移 法基本方程，解方程求出基本未知量。
M AB
1 3i
M BA
l
要由杆端位移求杆端力，变换 上面的式子可得：
M M
AB BA
4i A 2i A
2i B 4i B
6i 6i
l
(1)
l
MAB
由平衡条件求杆端剪力FQAB 和FQBA ：
EI
MB 0, FQABl M AB MBA 0
FF QAB
A
B
MBA
l
FF QBA
' A
2 3
M
AB
1 3
M
BA
针方向为正，对结点或支座以逆时针方
向为正。
MBA
⑴ 由杆端弯矩 MAB 和 MBA 引起的
" A
MAB 1
" B
1
θA和θB 。
利用单位荷载法可求得
' A
1 EI
1 l 2
2 3
M AB
1 3
M BA
l EI
1 3
M AB
1 6
M BA
MBA
' A
l EI
EA
位移法的要点如下：
FN1 FN 5 0.159FP FN 2 FN 4 0.255FP
FN3 0.319FP
⑴ 位移法的基本未知量 是结构的独立结点位移（B 结点的竖向位移）。
⑵ 位移法的基本方程 是用位移表示的平衡方程（B 结点的竖向投影平衡 方程式）。
⑶ 建立基本方程的过程分两步： 第一步，把结构拆散成杆件，进行杆件分析，得到杆件的刚度方程。 第二步，再把杆件集合成结构，进行整体分析，得出基本方程。
1 3
M AB
1 6
M BA
设: EI i
l
MAB
" A
MAB
A
1 1
" B
' A
1 3i
M AB
1 6i
M BA
利用单位荷载法同理可求得
' B
1 6i
M AB
1 3i
M BA
⑵ 由于相对线位移引起的A和B
" A
" B
l
以上两过程的叠加
EI
A
1 3i
M
AB
1 6i
M BA
l
B
l
MBA
B
1 6i
A
MBA
EI
l
⑵ 远端为固定铰支座
MAB
A
EI
l
M AB
4i A
2iB
6i
l
M BA
2i A
4iB
6i
l
(1)
因B = 0，代入(1)式可得
M AB
4i A
6i
l
M
BA
2i A
6i
l
(7 8)
因MBA = 0，代入(1)式可得
M AB
3i A
3i
l
(7 9)
⑶ 远端为滑动支座 MAB
位移法
§7-1 位移法的基本概念
1、关于位移法的简例
FN1FNi
i
1 2 34
FN 5
B
Fp
B
B
FP
5
A i
Ai ,li
B
B
ui FNi
B
ui sini
i B
B
选择 基本 未知
量
FNi
EAi li
ui
物理条件
ui sini
几何条件
FNi sin i FP
平衡条件
变形条件
FNi
EAi li
sin i
FNi
EAi li
sin i
EAi li
sin 2
i
FP
EAi li
sin 2
i
FP
FP
EAi li
sin2 i
aa aa
FP
i
EAi li
sin2 i
2a
1 2 34 5
B Fp
FNi
EAi li
sin i
EAi li
sin 2
i
FP
将图中尺寸代入，设各杆 EA 相同，可得
0.637 FPa
6i l
6i l
12i l2
θ=1 A A
θ=1 A
B
B 1
B
3i 3i l
i
0
3i l
0
3i l2
-i
0
二、由荷载求固端弯矩和剪力
单跨超静定杆在荷载作用下的杆端弯矩和剪力称为固端弯矩和固端剪力， 因为它们是只与常数有关的常数，又称为载常数。P230表7-1。
单跨超静定梁简图
q
A
l
B
l 2
FP
A
BLeabharlann Baidu
q
A
B
l 2
FP
A
B
q
A
B
MAFB
ql2 12
FPl 8
ql2 8
3FPl 16
ql2 3
MBFA
ql 2 12 FPl 8
0
0
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FQFAB
ql 2
FP 2 5ql 8 11FP 16
ql
FQFBA
ql 2
FP 2
3ql 8
5FP 16
0
三、在已知荷载及杆端位移的共同作用下的杆端力一般公式：
12
1 EI
l 2
1 3
l 6EI
21
1C
l
2C
l 3EI
X1
l 6EI
X2
l
A
l 6EI
X1
l 3EI
X2
l
B
令 i EI l
Δ
θA
X1
θB
X2
Δ
X1=1
1
M1
1/l
1
M2
X2=1 1/l
X1
4i
A
2i
B
6i l
X
2
2i
A
4i B
6i l
几种不同远端支座的刚度方程
⑴ 远端为固定支座
MAB
§7-2 等截面杆件的刚度方程
一、由杆端位移求杆端弯矩
MAB
FF QAB
A
MAB
如图示等截面杆件AB，EI=常数。
EI
已知端点A和B的角位移分别θA ,θB ，两
端垂直杆轴的相对位移为Δ。 拟求
B
MBA
杆端弯矩MAB 和MBA 。
l
FF QBA
杆端力和杆端位移的正负规定：
' B
MBA
① 杆端转角θA ,θB ，以顺时针为正。 ② 杆端弯矩 MAB 和 MBA ，对杆端以顺时
将上式写成 矩阵形式：
M
AB
4i
M
BA
2i
2i 4i
6i l
6i l
A
B
FQAB
6i
l
6i l
12i
l 2
(7 7)
用力法求解单跨超静定梁
11X1 12 X 2 1C A
21X1 22 X 2 2C B
11
1 EI
l 2
2 3
l 3EI
22
⑴ 两端为固定的杆件
（转角位移方程）
MAB
q
引用前述的刚度方程：
FQAB
A
M’AB
F' QAB
A
M
F AB
FF QAB
M M
AB BA
4i A 2i A
2i B 4i B
6i 6i
l l
(1)
FQAB
FQBA
6i l
A
6i l
B
12i l2
(2)
FQAB
M AB
l
M BA
6i l
A
6i l
B
12i l2
刚度矩阵中的系数称为刚度系数，刚 度系数是只与杆件尺寸和材料性质有 关的常数，又称为形常数。
弯曲杆件刚度矩阵
A
EI
l
因B 0, FQAB FQBA 0
MBA
代入（2）式可得
l
1 2
A
FQAB
FMMQBBAAABi6ilAi A A
6i l
(B711l202i)
(2)
单跨超静定梁由单位杆端位移引起的杆端力称为形常数。
单跨超静定梁简图
MAB
MBA
FQAB = FQBA
θ=1 A
B
4i
2i
6i l
A
B1
⑷ 杆件分析是结构分析的基础，杆件刚度方程是位移法基本方程的基础。
2、位移法计算刚架的基本思路
A
A
FP C
M AB
M AB
A
FP
C
A
A
A
q
q
B
B
用位移法计算刚架，结点位移仍是处于关键地位的未知量。
位移法的基本作法：先拆散，后组装。
① 把结构拆成杆件，进行杆件分析－－杆件在巳知端点位移和巳知荷载 作用下的计算。 ② 把杆件组装成刚架，进行整体分析－－利用刚架平衡条件，建立位移 法基本方程，解方程求出基本未知量。
M AB
1 3i
M BA
l
要由杆端位移求杆端力，变换 上面的式子可得：
M M
AB BA
4i A 2i A
2i B 4i B
6i 6i
l
(1)
l
MAB
由平衡条件求杆端剪力FQAB 和FQBA ：
EI
MB 0, FQABl M AB MBA 0
FF QAB
A
B
MBA
l
FF QBA
' A
2 3
M
AB
1 3
M
BA
针方向为正，对结点或支座以逆时针方
向为正。
MBA
⑴ 由杆端弯矩 MAB 和 MBA 引起的
" A
MAB 1
" B
1
θA和θB 。
利用单位荷载法可求得
' A
1 EI
1 l 2
2 3
M AB
1 3
M BA
l EI
1 3
M AB
1 6
M BA
MBA
' A
l EI
EA
位移法的要点如下：
FN1 FN 5 0.159FP FN 2 FN 4 0.255FP
FN3 0.319FP
⑴ 位移法的基本未知量 是结构的独立结点位移（B 结点的竖向位移）。
⑵ 位移法的基本方程 是用位移表示的平衡方程（B 结点的竖向投影平衡 方程式）。
⑶ 建立基本方程的过程分两步： 第一步，把结构拆散成杆件，进行杆件分析，得到杆件的刚度方程。 第二步，再把杆件集合成结构，进行整体分析，得出基本方程。
1 3
M AB
1 6
M BA
设: EI i
l
MAB
" A
MAB
A
1 1
" B
' A
1 3i
M AB
1 6i
M BA
利用单位荷载法同理可求得
' B
1 6i
M AB
1 3i
M BA
⑵ 由于相对线位移引起的A和B
" A
" B
l
以上两过程的叠加
EI
A
1 3i
M
AB
1 6i
M BA
l
B
l
MBA
B
1 6i
A
MBA
EI
l
⑵ 远端为固定铰支座
MAB
A
EI
l
M AB
4i A
2iB
6i
l
M BA
2i A
4iB
6i
l
(1)
因B = 0，代入(1)式可得
M AB
4i A
6i
l
M
BA
2i A
6i
l
(7 8)
因MBA = 0，代入(1)式可得
M AB
3i A
3i
l
(7 9)
⑶ 远端为滑动支座 MAB