直线与圆锥曲线的面积问题

直线与圆锥曲线的面积问题
1、已知椭圆M ：)0(122
22>>=+b a b
y a x 的左右焦点分别为)0,2(1F ，)0,2(2F 。

在椭圆M 中有一内接三角形ABC ，其顶点C 的坐标为)1,3(，AB 所在直线的斜率为
3
3。

（1）求椭圆M 的方程；
（2）当△ABC 的面积最大时，求直线AB 的方程。

2、已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，左右焦点分别是1F ，2F ，且2||21=F F ，点)2
3,1(在椭圆C 上。

（1）求椭圆C 的方程；
（2）过1F 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，且B AF 2Δ的面积为
7
212，求以2F 为圆心且与直线l 相切的圆的方程。

3、如图所示，在平面直角坐标系中，点B 点A(-1,1)关于原点对称，P 是动点，且直线AP 与BP 的斜率之积等于3
1。

（1）求动点P 的轨迹方程；
（2）设直线AP 与BP 分布与直线3=x 交于点M ，N ，问：是否存在点P 使得△PAB 与△PMN 的面积相等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由。

4、如图所示，已知直线022=+y x 经过椭圆的左顶点A 和上顶点D 。

椭圆C 的右顶点
为B ，点S 是椭圆C 上位于x 轴上方的动点，直线AS ，BS 与直线l ：310=
x 分别交于M ，N 两点。

（1）求椭圆C 的方程；
（2）求线段MN 的长度的最小值；
（3）当线段MN 的长度最小时，在椭圆C 上是否存在这样的点T ，使得△TSB 的面积为5
1？若存在，确定点T 的个数；若不存在，说明理由。

5、已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a b
y a x 的短轴长为2，且与抛物线x y 342=有共同的焦点，椭圆C 的左顶点为A ，右顶点为B ，点P 是椭圆C 上位于x 轴上方的动点，直线AP ，BP 与直线3=y 分别交于G ，H 两点。

（1）求椭圆C 的方程式；
（2）求线段GH 的长度的最小值；
（3）在线段GH 的长度取得最小值时，椭圆C 上是否存在一点T ，使得△TPA 的面积为1，若存在求出点T 的坐标；若不存在，说明理由。

6、已知椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 经过点(0,1)，过右焦点F 且不与x 轴重合的动直线l 交椭圆于A ，C 两点，当动直线l 的斜率为2时，坐标原点O 到l 的距离为
552。

（1）求椭圆的方程；
（2）过F 的另一直线交椭圆于B ，D 两点，且AC ⊥BD ，当四边形ABCD 的面积9
16=S 时，求直线l 的方程。

7、设F 为抛物线C ：x y 32
=的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，求△OAB 的面积。

8、已知F 为抛物线C ：x y =2
的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，2=•，求△ABO 与△AFO 面积之和的最小值。

9、如图所示，已知两条抛物线1E ：)0(2112>=p x p y 和2E ：)0(2222>=p x p y ，过原点O 的两条直线1l 和2l ，1l 与1E ，2E 分别交于1A ，2A 两点，2l 与1E ，2E 分别交于1B ，2B 两点。

（1）证明：2211//B A B A ；
（2）过原点O 作直线l 与1E ，2E 分别交于1C ，2C 两点。

记111C B A Δ与222C B A Δ的面积分别为1S 与2S ，求2
1S S 的值。

10、已知椭圆122
2=+y x ，过原点的两条直线1l 和2l 分别与椭圆交于A ，B 和C ，D ，记得到的平行四边形ABCD 的面积为S 。

（1）设),(11y x A ，),(22y x C ，用A ，C 坐标表示点C 到直线1l 的距离，并证明||21221y x y x S =；
（2）设1l 与2l 的斜率之积为
21，求面积S 的值。

11、已知点A(0,-2)，椭圆E ：)0(122
22>>=+b a b
y a x 的离心率为23，F 是椭圆的右焦点，直线AF 的斜率为3
32，O 为坐标原点。

（1）求E 的方程；
（2）设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程。

12、已知椭圆12
22
=+y x 上两个不同的点A ，B 关于直线21+=mx y 对称。

（1）求实数m 的取值范围；
（2）求△AOB 面积的最大值。

13、已知椭圆W ：)0(122
22>>=+b a b
y a x 的焦距为2，过右焦点和短轴的一个端点的直线的斜率为-1，O 为坐标原点。

（1）求椭圆W 的方程；
（2）设斜率为k 的直线l 与W 相交于A ，B 两点，记△AOB 的面积最大值为k S ，证明：21S S =。

14、已知双曲线E ：)0,0(12
222
>>=b a b y a x 的两条渐近线分别为1l ：x y 2=，x y l 2:2=。

（1）求双曲线E 的离心率；
（2）如图所示，O 为坐标原点，动直线l 分别交直线21,l l 于A ，B 两点（A ，B 分别在第一，四象限），且△OAB 的面积恒为8，试探究是否存在总与直线l 有且只有一个公共点的双曲线E ？若存在，求出双曲线E 的方程；若不存在，说明理由。

15、已知椭圆C ：12432
2=+y x 。

（1）求椭圆C 的离心率；
（2）设椭圆C 上在第二象限的点P 的横坐标为-1，过点P 的直线21,l l 与椭圆C 的另一交点分别为A ，B ，且21,l l 的斜率互为相反数，A ，B 两点关于坐标原点O 的对称点分别为M ，N ，求四边形ABMN 的面积的最大值。

16、平面直角坐标系中，已知椭圆C ：)0(122
22>>=+b a b
y a x 的离心率为23，左、右焦点分别是1F ，2F 。

以1F 为圆心3为半径的圆与以2F 为圆心1为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上。

（1）求椭圆C 的方程；
（2）设椭圆E ：14422
22=+b
y a x ，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线m kx y +=交椭圆E 于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q 。

①求|
|||OP OQ 的值；②求△ABQ 面积的最大值。

17、已知椭圆C ：)0(122
22>>=+b a b
y a x 的焦点为)0,1(1F ，)0,1(2F ，点P 是椭圆C 上的一点，1PF 与y 轴的交点Q 恰为1PF 的中点，|OQ|=
4
3。

（1）求椭圆C 的方程；
（2）若点A 为椭圆的右顶点，过焦点1F 的直线与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，求△AMN 面积的取值范围。

18、如图所示，O 为坐标原点，椭圆1C ：)0(122
22>>=+b a b
y a x 的左右焦点分别为1F ，2F ，离心率为1e ；双曲线2C ：12222
=b
y a
x 的左右焦点分别为3F ，4F ，离心率为2e ，已知2321=•e e ，且13||42=F F （1）求1C ，2C 的方程；
（2）过1F 点的不垂直于y 轴的弦AB ，M 为AB 的中点，当直线OM 与2C 交于P ，Q 两点时，求四边形APBQ 面积的最小值。

19、一种作图工具如图（a ）所示，O 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处铰链与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，且DN=ON=1，MN=3，当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时，带动N 绕O 转动一周（D 不动时，N 也不动），M 处的笔尖画出的曲线记为C ，以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图（b ）所示的平面直角坐标系。

（1）求曲线C 的方程；
（2）设动直线l 与两定直线1l ：02=y x 和2l ：02=+y x 分别交于P ，Q 两点，若直线l 总与曲线C 有且只有一个公共点，试探究△OPQ 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由。