几何Levy模型中鞅测度的均值修正法及应用

第２卷第３ ５ 期
Leabharlann Baidu
件． 具体 来说， 设股票价格 的对 数收益率 是具有特征三元 组（ ， 的Ｌ ｖ 过程， ， ） ６ｙ 对ｍ ∈Ｒ， 记Ｙ ｔ： Ｘｔ —ｍｔ 择适 当的 参数ｍ０ 使得 在某 个 与市场 概率 测度Ｐ等价 的概 率 测度Ｑ ｏ ． 选 ， ｍ 下， 股 票 的贴现 价格 过 程为Ｑｍ 鞅．相 应 的概 率测 度Ｑ ｏ 为均 值修 正 鞅测 度 ｍｅ ｎｃ ｒｅｔ ｇ ｏ ｍ称 ａ ｏｒｃｉ ｎ
了如下两个 问题： ） １证明 Ｑ ｏ ｍ 为等价鞅测度 的充要条件是 具 有Ｂ ｏ ｉｎ 动部分， ｒｗｎａ 运 并且给 出了此 时Ｑｍ 关于 市场概 率测度 的导数表 达式． ） ｏ ２如果 是纯跳 过程， 明 了必存在一个 等价 证
鞅测度Ｑ ， 使得在Ｑ 与Ｑ 下计算 的欧式看涨期权 的价格一致， ｏ 即尽管Ｑ ｏ ｍ 不是等价鞅测度， 但
在几何Ｌｖ 过程模型中， ６ｙ 均值修正方法【】 ｅｎｃｒ ｃ ｎ ｒｎｆ ｍ） 如 （ ａ ｏｒ ｔ ｇｔ ｓ ｒ 是得到等价鞅测 ｍ ｅｉ ａ ｏ
度 的常 用方 法．均 值 修 正方 法 的基 本 思想 是 修 ｔＬ ｖ 过程 的 均值 ， ６ｙ 使得 满 足某 个 特定 的条
收 稿 日期 ： ０ ８ １— ３ ２ ０ － １０
基金项 目： 国家 自 然科学￣
（０７０ ４； １８ １６） 湖南省社会科学基金（８ Ｂ ８ ）湖 南省教 育厅一般项 目（９ ５５ ０ Ｙ Ｂ１７； ０Ｃ ６）
通信作 者， － ｉ ａ ４ ７ ＿ｎ ｉａｔ ｍ Ｅ ｍａｌ ｏ １ ２ｃ ＠ｓｎ ． ：ｙ ｏ
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高 校 应 用 数 学 学 报
高校应用数学学报
２ １ ， ５３： ７－７ ０ ０ ２ （） ２３２ ８
几 何ＬＶ 模 型 中鞅 测度 的均值 修 正法 及 应用 ６ｙ
姚落根 ， 肖晴初 杨 向群 ，
（． 南师 范大学 数学 与计算机科学学院，湖南长沙 ４ ０ ８ １湖 １０ １
２ ．湖南商学院 信息 系， 南长沙 ４ ０ ０ ） 湖 １ ２ ５
摘
要 ：在 几何Ｌ ｖ 过程模 型 中， 用均值修 正 方法构 造 了一个 鞅测 度Ｑ ．证 明 Ｓｙ 利
了Ｑｍ 为等价鞅 测度 的充要条件是Ｌ ｖ 过程 具 有Ｂ ｏ ｉｎ ｏ ＠ｙ ｒｗｎａ ￣动部 分．对 于纯跳过程，
证 明 了欧 式看 涨期 权 在 Ｑｍ 下 的价 格 仍 然 无套 利 ． ｏ
ｍ ｒｎ ａ ｅｓｒ） 显然， ａｔ ｇｌ ｍ ａ ｅ． ｉ ｅ ｕ 均值修正鞅测度是等价鞅测度．
如果 不要 求 与 市场概 率 测度 等 价， 均值 修 正方 法， 按 我们 总 是 可 以求 出 唯一 的概 率 测 度Ｑ ， 下文可 以得 出， 从 在 为纯 跳过 程时 ， ｍ 不 可 能与市 场概 率测 度等价 ， ｏ 因此 ， 时 此 把Ｑ ｏ 作为定价测 度， 计算 出来的价 格可能有套利 ．然而， 绝大多数文献， 甚至包括 ｆ １ １ 都忽视 ０ 了这个 问题， 直接 把Ｑ 作为定价测 度， ｏ 而不管Ｑｍ 是否与市场概 率测度 等价．本 文主要解 决 ｏ
等价于存在唯一 的等价鞅测度 ． 从而， 对于完全市场中的任何未定权 益， 都有唯一的无套利价格． 然而， 在不完全市场 中（ 例如几何Ｌ ｖ 过程模型） 存在许 多等价鞅测度 ， ６ｙ ， 对不 可复制的未定权益，
也就有许多无套 利价格 ． 大量 实证结果表 明， 际市场是不完全的． 实 因此， 研究不完全市场中未 定
关键词 ： ６ｙ Ｌ ｖ 过程 ； 期权定价； 等价鞅 测度 ； 均值修 正 中图分类号： １ ． Ｏ２ １ ６
文献标识码： Ａ
文章编号： ００４２（０００—２３０ １０—４４２１）３０７—６
§ 引 言 １
Ｂ ａｋ ｃ ｏｅ［提 出的经典 的Ｂ Ｓ ｌ 和Ｓ ｈ ｌ １ ｃ ｓ］ — 模型和定价 公式是数学金融学 中最重要 的成果之一 ． 后 来 许 多研 究 者利用 一 些复杂 的数 学工 具， 例如 随机 微积分 和偏 微分 方程 ， 该理 论推 广到 了 将 很 多方 面．其 中最重 要 的是Ｃ ｘ ｏｓ ｊ ｏ 和Ｒ ｓ［首次 提 出的风 险 中性 定价 原 则． ａｒ ｏ ￣Ｋｒｐ ［， ０ Ｈ ｒｉ ｎ ｓ ｅｓ 引 Ｈ ｒｉ ｎ ｌ ｌｋ ［进一步发展 了风险中性定价原则， ａｒ ｏ ￣ Ｐ ｉ ａ 】 ｓ ｓ 提出了等 价鞅测度 的概念 ． 略的讲 ， 粗 该理 论表 明市场无套利假 设等 价于存在等价鞅测度． 更进一步说， 如果市场是完全 的， 则无套利假 设
相对熵鞅测度（ ｉｉ ｌｅｅ ｅ ｅ ｔ ｅ ｎｒｐ ｒｎ ａ ｅ ｕｅ的概念： ｅ ｅ和Ｓ ｉ９ ｍ ｎ ｖｒ ｌ ｉ ｔ ｙ ｔ ｇｌｍ ａ ｒ） ｍａ ｒ ｓ ｒ ａ ｖ ｅ ｏ ｍａ ｉ ｅ ｓ Ｇ ｒ ｒ ｈ ［首 ｂ ｕＪ
次将Ｅ ｓｈ ｒ ｓｃｅ变换应用到期权定价 中， 得到 了Ｅ ｓｈ ｒ ｓｃｅ鞅测度．
权 益 的 定 价 更加 具 有 实 际 意义 ． 不完 全 市场 中期 权 的 定 价 ， 先 要 选 择 一 个 特 定 的 等 价 鞅测 度 作 首
为定价测度 ． Ｓｌ ｒｌｃｗ ｉ ｒ】 议把极 小鞅测度（ ｎｍａ ｒｉｇ ｌｍｅｓｒ） Ｆ ｌ ￣Ｓｈ ｅｚ ［建 ｍｅ ｅ５ ｍｉｉ ｌ ｔ ａ ａｕｅ作为定价测 ｍａ ｎ ｅ 度 ：ｃｗ ｉ ｒ】 Ｓｈ ｅ ｅ［采用方差最优鞅 测度 （ａｉ ｃ—ｐｉ ｌ ｒｉｇｌｍｅ ｕｅ； ｒ ｔｌ［详细讨论 ｚ ６ ｖｒ ｎｅｏ ｔ ｔ ａｅ ａ ｒ）Ｐｉｅｌ７ ａ ｍａ ｍａ ｎ ｓ ｔ ｉ】 了最小熵鞅测度 （ ｎｍａｅｔｏｙｍａｔ ｇｌｍｅｓｒ） ｍｉｉ ｌｎｒｐ ｒｎ ａ ａｕｅ的存在 性； ｌ ｅ和Ｒ ｂ ｌｄ ［给 出了逆 ｉ ｅ Ｐａ ｎ ｅ ｏｅｏ 】 ｔ ｌ