高中数学常见的知识类比

专题高中数学常见的知识类比

一、⑴类比的定义：由两类对象具有某些类似特征，和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）．

简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．

⑵类比推理的一般步骤：

⑴找出两类事物之间的相似性或一致性；

⑵用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）；

⑶一般地，事物之间的各个性质之间并不是孤立存在的，而是相互制约的。如果两个事物在某些性质上相同或类似，那么它们在另一些性质上也可能相同或类似，类比的结论可能是真的；

⑷在一般情况下，如果类比的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的命题就越可靠。

⑶类比推理的特点：

①类比是人们已经掌握了事物的属性，推测正在研究的事物的属性，它以已有认识作基础，类比出新的结果；

②类比是从一种事物的特殊属性推测出另一种事物的特殊属性；

③类比的结果是猜测性的，不一定可靠，但它却具有发现的功能．

二、常见的几种类比：

代数方面：加→乘，减→除，乘→乘方，除→开方，实数与向量.数与式（分数对分式、整数对整式、有理数对有理式）.等式→不等式，等差数列→等比数列等等。

几何方面：平面（二维）→立体（三维），线段→面，面积→体积，平面角→二面角.

解析几何方面：圆→椭圆，椭圆→双曲线

(1) a=b⇒a+c=b+c; (1) a＞b⇒a+c＞b+c;

(2) a=b⇒ ac=bc; (2) a＞b⇒ ac＞bc;

(3) a=b⇒a2=b2;等等。(3) a＞b⇒a2＞b2;等等

【3】实数系与向量系的类比：

实数系向量系

实数0、单位1

数a的相反数－a

实数a的绝对值| a | 零向量0

→

、单位向量e

→向量a

→

的相反向量－a

→向量a

→

的模|a

→

|

运算规律：

①交换律：a＋b＝b＋a

②结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)，

(ab)c＝a(bc)

③分配律：a(b＋c)＝ab＋ac

④消去律：若ab＝ac，a≠0，则b＝c

⑤若ab＝0，则a＝0，或b＝0

⑥公式：(a＋b)(a－b)=a2－b2

(a±b)2＝a2±2ab＋b2

⑦| a·b |＝| a |·| b | 运算规律：

①交换律：a

→

＋b

→

＝b

→

＋a

→

②结合律：(a

→

＋b

→

)＋c

→

＝a

→

＋(b

→

＋c

→

)

(a

→

·b

→

)c

→

≠a

→

(b

→

·c

→

)（乘法不满足）③分配律：a

→

·(b

→

＋c

→

)＝a

→

·b

→

＋a

→

·c

→

④不满足消去律：若a

→

·b

→

＝a

→

·c

→

，那么b

→

与c

→不一定相等.

⑤若a

→

·b

→

＝0，那么不一定a

→

＝0

→

或b

→

＝0

→

.

⑥公式：(a

→

＋b

→

)·(a

→

－b

→

)＝a

→

2－b

→

2

(a

→

±b

→

)2＝a

→

2±2a

→

·b

→

＋b

→

2

⑦|a

→

·b

→

|≤|a

→

|·|b

→

|

|| a |－| b ||≤| a±b |≤| a |＋| b | ||a→|－|b→||≤|a→±b→|≤|a→|＋|b→| 【4】利用平面向量的性质类比空间向量的性质

【5】平面几何与立体几何的类比：

【6】试将平面上的圆与空间的球进行类比.

圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合. 球的定义：到一个定点的距离等于定长的点的集合.

圆 球 弦←→截面圆 直径←→大圆 周长←→表面积 面积←→体积

引申：试通过圆与球的类比，由“半径为

R 的圆的内接矩形中，以正方形的面积为最大，最大值为2R ”，

猜测关于球的相应命题为_______________________ 【7】三角形与四面体的性质类比：

【8】直角三角形与直角四面体的类比：

【9】等差数列与等比数列的类比：

【10】椭圆与双曲线的类比：