第二讲证明不等式的基本方法(1)

第二讲 证明不等式的基本方法（1）
2.1 比较法
A 级 基础巩固
一、选择题
1．若a ＜0，b ＜0，则p ＝b 2a ＋a 2b
与q ＝a ＋b 的大小关系为( ) A ．p ＜q B ．p ≤q C ．p ＞q D ．p ≥q
2．已知a ，b 都是正数，P ＝a ＋b 2
，Q ＝a ＋b ，则P ，Q 的大小关系是( ) A ．P ＞Q B ．P ＜Q C ．P ≥Q D ．P ≤Q
3．已知a ，b ，c 均大于1，且log a c ·log b c ＝4，则下列一定正确的是( )
A ．ac ≥b
B ．ab ≥c
C ．bc ≥a
D ．ab ≤c
4．在等比数列{a n }和等差数列{b n }中，a 1＝b 1＞0，a 3＝b 3＞0，a 1≠a 3，则a 5与b 5的大小关系为( )
A ．a 5＞b 5
B ．a 5＜b 5
C ．a 5＝b 5
D ．不确定
5．已知a ＞0且a ≠1，P ＝log a (a 3＋1)，Q ＝log a (a 2＋1)，则P ，Q 的大小关系是( )
A ．P ＞Q
B ．P ＜Q
C ．P ＝Q
D ．大小不确定
二、填空题
6．若－1＜a ＜b ＜0，则1a ，1b
，a 2，b 2中最小的是________． 7．设x ＝a 2b 2＋5，y ＝2ab －a 2－4a ，若x ＞y ，则实数a ，b 应满足的条件是________．
8．若0＜a ＜b ＜1，P ＝log 12⎝⎛
⎭⎫a ＋b 2，Q ＝12(log 12a ＋log 12b )，M ＝log 12
(a ＋b )，则P ，Q ，M 的大小关系是________．
三、解答题
9．已知a ∈R ，求证：3(1＋a 2＋a 4)≥(1＋a ＋a 2)2．
10．已知a ，b ，c ∈R ＋，求证：a a b b c c ≥(abc )a ＋b ＋c
3．
B 级 能力提升
1．已知a ＞b ＞0，c ＞d ＞0，m ＝ac －bd ，n ＝（a －b ）（c －d ），则m 与n 的大小关系是( )
A ．m ＜n
B ．m ＞n
C ．m ≥n
D ．m ≤n
2．已知a ＞0，对于大于1的自然数n ，总有n －1a n ＜n a n ＋
1，则a 的取值范围是________．
3．(1)设x≥1，y≥1，证明x＋y＋1
xy≤1
x＋
1
y＋xy；
(2)设1＜a≤b≤c，证明log a b＋log b c＋log c a≤log b a＋log c b＋log a c．
第二讲 证明不等式的基本方法（2）
2.2 综合法与分析法
A 级 基础巩固
一、选择题
1．若a ＞0，b ＞0，则必有( )
A ．b 2a ＞2b －a
B ．b 2a ＜2b －a
C ．b 2a ≥2b －a
D ．b 2a
≤2b －a 2．设x ，y ＞0，且xy －(x ＋y )＝1，则( )
A ．x ＋y ≥2(2＋1)
B ．xy ≤2＋1
C ．x ＋y ≤2(2＋1)2
D ．xy ≥2(2＋1)
3．若a ＞b ＞0，下列各式中恒成立的是( )
A ．2a ＋b a ＋2b ＞a b
B ．b 2＋1a 2＋1＞b 2a 2
C ．a ＋1a ＞b －1b
D ．a a ＞a b 4．若a ，b ，c ∈R ，且ab ＋bc ＋ac ＝1，则下列不等式成立的是( )
A ．a 2＋b 2＋c 2≥2
B ．(a ＋b ＋c )2≥3
C ．1a ＋1b ＋1c ≥2 3
D ．abc (a ＋b ＋c )≤13
5．已知a ，b ∈R ，则“a ＋b ＞2，ab ＞1”是“a ＞1，b ＞1”成立的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
二、填空题
6．如果a a ＋b b ＞a b ＋b a ，则实数a ，b 应满足的条件是________．
7．若1a ＜1b
＜0，已知下列不等式： ①a ＋b ＜ab ；
②|a |＞|b |；
③a ＜b ；
④b a ＋a b
＞2． 其中正确的不等式的序号为________．
8．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，c 为斜边，则a ＋b c
的取值范围是________． 三、解答题
9．求证：7＜25－3．
10．已知：a ，b 是不相等的正数，且a 3－b 3＝a 2－b 2，求证：1＜a ＋b ＜43
． B 级 能力提升
1．设a ＞0，b ＞0，则以下不等式中不恒成立的是( )
A ．(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥4
B ．a 3＋b 3≥2ab 2
C ．a 2＋b 2＋2≥2a ＋2b
D ．|a －b |≥a －
b
2．若n 为正整数，则2n ＋1与2n ＋1n
的大小关系是________． 3．(2015·课标全国Ⅱ卷)设a ，b ，c ，d 均为正数，且a ＋b ＝c ＋d ．证明：
(1)若ab ＞cd ，则a ＋b ＞c ＋d ； (2)a ＋b ＞c ＋d 是|a －b |＜|c －d |的充要条件．
第二讲 证明不等式的基本方法（3）
2.3 反证法与放缩法
A 级 基础巩固
一、选择题
1．用反证法证明命题“如果a ＞b ，那么3a ＞3
b ”时，假设的内容是( )
A ．3a ＝3b
B ． 3a ＜3b
C ． 3a ＝3b ，且3a ＜3b
D ． 3a ＝3b 或3a ＜3b
2．实数a ，b ，c 不全为0的等价命题为( )
A ．a ，b ，c 均不为0
B ．a ，b ，c 中至多有一个为0
C ．a ，b ，c 中至少有一个为0
D ．a ，b ，c 中至少有一个不为0
3．用反证法证明：若整系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有有理根，那么a ，b ，c 中至少有一个偶数，下列假设中正确的是( )
A ．假设a ，b ，c 都是偶数
B ．假设a ，b ，c 都不是偶数
C ．假设a ，b ，c 至多有一个偶数
D ．假设a ，b ，c 至多有两个偶数
4．设x ，y ，z 都是正实数，a ＝x ＋1y ，b ＝y ＋1z ，c ＝z ＋1x
，则a ，b ，c 三个数( ) A ．至少有一个不大于2 B ．都小于2 C ．至少有一个不小于2 D ．都大于2
5．若不等式x 2－2ax ＋a ＞0对一切实数x ∈R 恒成立，则关于t 的不等式at 2＋2t －3＜1的解集为
( )
A ．(－3，1)
B ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
C ．∅
D ．(0，1)
二、填空题
6．某同学准备用反证法证明如下一个问题，函数f (x )在[0，1]上有意义，且f (0)＝f (1)，如果对于
不同的x 1，x 2∈[0，1]，都有|f (x 1)－f (x 2)|＜|x 1－x 2|，求证：|f (x 1)－f (x 2)|＜12
，那么它的假设应该是________．
7．lg 9·lg 11与1的大小关系是________．
8．设a ，b ，c 均为正数，P ＝a ＋b －c ，Q ＝b ＋c －a ，R ＝c ＋a －b ，则“PQR ＞0”是“P ，Q ，R 同时大于零”的________条件．
三、解答题
9．已知x ，y ＞0，且x ＋y ＞2．求证：1＋x y ，1＋y x 中至少有一个小于2．
10．设a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1a ＋1b
．证明： (1)a ＋b ≥2；
(2)a 2＋a ＜2与b 2＋b ＜2不可能同时成立．
B 级 能力提升
1．若a ＞0，b ＞0，满足ab ≥1＋a ＋b ，那么( )
A ．a ＋b 有最小值2＋2 2
B ．a ＋b 有最大值(2＋1)2
C ．ab 有最大值2＋1
D ．ab 有最小值2＋2 2
2．设x ，y ，z ，t 满足1≤x ≤y ≤z ≤t ≤100，则x y ＋z t
的最小值为________． 3．若数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2，n ∈N *，求证：对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n <74
．
复习课
[整合·网络构建]
[警示·易错提醒]
1．比较法的一个易错点．
忽略讨论导致错误，当作差所得的结果“正负不明”时，应注意分类讨论．
2．分析法和综合法的易错点．
对证明方法不理解导致证明错误，在不等式的证明过程中，常因对分析法与综合法的证明思想不理解而导致错误．
3．反证法与放缩法的注意点．
(1)反证法中对结论否定不全．
(2)应用放缩法时放缩不恰当．
专题一 比较法证明不等式
比较法证明不等式的大致步骤是：作差(或商)—恒等变形—判断差的符号(或商与1的大小)，其中，恒等变形是关键，目的在于判断差的符号或商与1的大小．
[例1] 已知a ≥b >0，求证：2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b ．
归纳升华
变形所用的方法要具体情况具体分析，可以配方、因式分解，可运用一切恒等变形的方法．
[变式训练] 已知a ＞0，b ＞0，a ≠b ，求证：a 6＋b 6＞a 4b 2＋a 2b 4．
专题二 综合法证明不等式
综合法证明不等式的思维方式是“顺推”，即由已知的不等式出发，逐步推出其必要条件(由因导果)，最后推导出所要证明的不等式成立．
证明时要注意的是：作为依据和出发点的几个重要不等式(已知或已证)成立的条件往往不同，应用时要先考虑是否具备应有的条件，避免错误．
[例2] 设a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：a 2b ＋b 2c ＋c 2a
≥1．
归纳升华
用综合法证明不等式，可利用已经证过的不等式作为基础，再运用不等式的性质推导出所要证的不等式．
[变式训练] 设a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，求证：1a ＋1b ＋1ab
≥8． 专题三 用分析法证明不等式
分析法证明不等式的思维方法是“逆推”，即由待证的不等式出发，逐步逆求它要成立的充分条件(执果索因)，最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式．
当要证的不等式不知从何入手时，可考虑用分析法去证明，特别是对于条件简单而结论复杂的题目，往往更为有效．
[例3] 求证：3＋6＜4＋5．
归纳升华
1．分析法的格式是固定的，但是必须注意推演过程中的每一步都是寻求相应结论成立的充分条件．
2．分析法是“执果索因”，逐步寻求上一步成立的充分条件，而综合法是“由因导果”，逐步推
导出不等式成立的必要条件，两者是对立统一的．一般来说，对于较复杂的不等式，直接用综合法往往不易入手，因此通常用分析法探索证题途径，然后用综合法加以证明，所以分析法和综合法可结合使用．
[变式训练] 已知a ＞b ＞0，求证：a －b ＜a －b ．
专题四 用反证法证明不等式
反证法常用于直接证明困难或结论以否定形式出现的命题，涉及“都是”“都不是”“至少”“至多”等形式的命题．
[例4] 若a 3＋b 3＝2，求证：a ＋b ≤2．
归纳升华
反证法是从否定结论出发，经过推理论证，得出矛盾，从而肯定原命题正确的证明方法，其步骤为：
(1)分清命题的条件和结论，作出与命题结论相矛盾的假定命题(否定结论)．
(2)从假定和条件出发，应用正确的推理方法，推出矛盾．
(3)断定产生矛盾的原因在于开始所作的假设不正确，于是原命题成立，从而间接证明了原命
题为真命题．
[变式训练] 若a ，b ，c 均为实数，且a ＝x 2－2y ＋π2，b ＝y 2－2z ＋π3，c ＝z 2－2x ＋π6
，求证：a ，b ，c 中至少有一个大于0．
专题五 用放缩法证明不等式
在证明不等式时，有时需要舍去或添加一些项，有时需要拆项、添项，使不等式的一边放大或缩小，然后利用不等式的传递性达到证明的目的．运用放缩法证明的关键是放缩要适当，既不能太大，也不能太小．
[例5] 设a ，b ，c ∈R ＋且abc ＝1，求证：11＋a ＋b ＋11＋b ＋c ＋11＋c ＋a
≤1． 归纳升华
用放缩法证明不等式时，常见的放缩依据或技巧是不等式的传递性．缩小分母，扩大分子，分式值增大；缩小分子，扩大分母，分式值减小；全量不小于部分；每次缩小其和变小，但需大于所求；每一次扩大其和变大，但需小于所求，即不能放缩不够或放缩过头．同时，放缩有时需便于求和． [变式训练] 若n 是大于1的自然数，求证112＋122＋132＋ (1)
2＜2． 专题六 函数与方程思想
函数与方程思想是先构造辅助函数，将所给问题转化为函数的性质(如单调性、奇偶性、最值等)问题．运用此方法要能够根据问题的结构特征恰当地构造函数，准确地利用函数的性质解决问题．
[例6] 已知a ，b 是正实数，且a ＋b ＝1，求证1ab ＋ab ≥174
． [变式训练] 已知a ，b ，c 为三角形的三条边，求证a 1＋a ，b 1＋b ，c 1＋c
也可以构成一个三角形．
评估验收卷(二)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．设t ＝a ＋2b ，S ＝a ＋b 2＋1，则下列t 与S 的大小关系中正确的是( )
A ．t ＞S
B ．t ≥S
C ．t ＜S
D ．t ≤S
2．已知a ，b ，c ，d 都是正数，且bc ＞ad ，则a b ，a ＋c b ＋d ，a ＋2c b ＋2d ，c d
中最大的是( ) A ．a b B ．a ＋c b ＋d C ．a ＋2c b ＋2d
D ．c d 3．已知a ＝6＋7，b ＝5＋8，c ＝5，则a ，b ，c 的大小关系排列为( )
A ．a ＞b ＞c
B ．a ＞c ＞b
C ．b ＞a ＞c
D ．c ＞a ＞b
4．若1a ＜1b
＜0，则下列结论不正确的是( ) A ．a 2＜b 2 B ．ab ＜b 2 C ．b a ＋a b
＞2 D ．|a |＋|b |＞|a ＋b | 5．若q ＞0，且q ≠1，m ，n ∈N ＋，则1＋q m
＋n 与q m ＋q n 的大小关系是( ) A ．1＋q m ＋n ＞q m ＋q n B ．1＋q m ＋n ＜q m ＋q n C ．1＋q m ＋n ＝q m ＋q n D ．不能确定
6．已知非零实数a ，b 满足a ＞b ，则下列不等式成立的是( )
A ．a 2＞b 2
B ．1a ＜1b
C ．a 2b ＞ab 2
D ．a b 2＞b a 2 7．否定“自然数a ，b ，c 中恰有一个为偶数”时，正确假设为( )
A ．a ，b ，c 都是奇数
B ．a ，b ，c 都是偶数
C ．a ，b ，c 中至少有两个偶数
D ．a ，b ，c 中至少有两个偶数或都是奇数
8．对于x ∈[0，1]的任意值，不等式ax ＋2b ＞0恒成立，则代数式a ＋3b 的值( )
A ．恒为正值
B ．恒为非负值
C ．恒为负值
D ．不确定
9．使不等式3＋8＞1＋a 成立的正整数a 的最大值为( )
A ．10
B ．11
C ．12
D ．13
10．(2015·湖南卷)若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为( ) A ． 2 B ．2 C ．2 2 D ．4
11．M ＝11×2＋12×3＋13×4＋…＋1n （n ＋1）
与1的大小关系是( ) A ．M ＞1 B ．M ＜1 C ．M ＝1 D ．不确定
12．设a ＞b ＞c ，n ∈N ，且1a －b ＋1b －c ≥n a －c ，则n 的最大值为( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．用反证法证明命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”时的假设是________．
14．用分析法证明：若a ，b ，m 都是正数，且a ＜b ，则a ＋m b ＋m ＞a b
．完成下列证明过程． 因为b ＋m ＞0，b ＞0，
所以要证原不等式成立，只需证明
b (a ＋m )＞a (b ＋m )，
即只需证明________．
因为m ＞0，所以只需证明b ＞a ，
由已知显然成立，所以原不等式成立．
15．不等式log 3(|x －4|＋|x ＋5|)＞a 对于一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围________．
16．用放缩法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2
＋…＋12n ＜1(n ∈N ＋)时，关键是要用下列不等式进行有效放缩，它们是________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)，比较a 2＋b 2与ab ＋a ＋b －1的大小．
18．(12分)已知a ＋b ＋c ＞0，abc ＞0，ab ＋bc ＋ca ＞0，求证：a ＞0，b ＞0，c ＞0．
19．(12分)求证：若n ≥3，n ∈N ，则133＋143＋153＋…＋1n 3＜112
． 20．(12分)设a ＋b ＝2，b ＞0，当12|a |＋|a |b
取得最小值时，求a 的值． 21．(12分)设a ，b ，c 是不全相等的正实数．求证：lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg c ＋a 2
＞lg a ＋lg b ＋lg c ． 22．(12分)等差数列{a n }各项均为正整数，a 1＝3，前n 项和为S n ．等比数列{b n }中，b 1＝1，且b 2S 2
＝64，{ba n }是公比为64的等比数列．
(1)求a n 与b n ；
(2)证明：1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n ＜34．。