第二讲证明不等式的基本方法(1)

第二讲 证明不等式的基本方法（1）

2.1 比较法

A 级 基础巩固

一、选择题

1．若a ＜0，b ＜0，则p ＝b 2a ＋a 2b

与q ＝a ＋b 的大小关系为( ) A ．p ＜q B ．p ≤q C ．p ＞q D ．p ≥q

2．已知a ，b 都是正数，P ＝a ＋b 2

，Q ＝a ＋b ，则P ，Q 的大小关系是( ) A ．P ＞Q B ．P ＜Q C ．P ≥Q D ．P ≤Q

3．已知a ，b ，c 均大于1，且log a c ·log b c ＝4，则下列一定正确的是( )

A ．ac ≥b

B ．ab ≥c

C ．bc ≥a

D ．ab ≤c

4．在等比数列{a n }和等差数列{b n }中，a 1＝b 1＞0，a 3＝b 3＞0，a 1≠a 3，则a 5与b 5的大小关系为( )

A ．a 5＞b 5

B ．a 5＜b 5

C ．a 5＝b 5

D ．不确定

5．已知a ＞0且a ≠1，P ＝log a (a 3＋1)，Q ＝log a (a 2＋1)，则P ，Q 的大小关系是( )

A ．P ＞Q

B ．P ＜Q

C ．P ＝Q

D ．大小不确定

二、填空题

6．若－1＜a ＜b ＜0，则1a ，1b

，a 2，b 2中最小的是________． 7．设x ＝a 2b 2＋5，y ＝2ab －a 2－4a ，若x ＞y ，则实数a ，b 应满足的条件是________．

8．若0＜a ＜b ＜1，P ＝log 12⎝⎛

⎭⎫a ＋b 2，Q ＝12(log 12a ＋log 12b )，M ＝log 12

(a ＋b )，则P ，Q ，M 的大小关系是________．

三、解答题

9．已知a ∈R ，求证：3(1＋a 2＋a 4)≥(1＋a ＋a 2)2．

10．已知a ，b ，c ∈R ＋，求证：a a b b c c ≥(abc )a ＋b ＋c

3．

B 级 能力提升

1．已知a ＞b ＞0，c ＞d ＞0，m ＝ac －bd ，n ＝（a －b ）（c －d ），则m 与n 的大小关系是( )

A ．m ＜n

B ．m ＞n

C ．m ≥n

D ．m ≤n

2．已知a ＞0，对于大于1的自然数n ，总有n －1a n ＜n a n ＋

1，则a 的取值范围是________．

3．(1)设x≥1，y≥1，证明x＋y＋1

xy≤1

x＋

1

y＋xy；

(2)设1＜a≤b≤c，证明log a b＋log b c＋log c a≤log b a＋log c b＋log a c．

第二讲 证明不等式的基本方法（2）

2.2 综合法与分析法

A 级 基础巩固

一、选择题

1．若a ＞0，b ＞0，则必有( )

A ．b 2a ＞2b －a

B ．b 2a ＜2b －a

C ．b 2a ≥2b －a

D ．b 2a

≤2b －a 2．设x ，y ＞0，且xy －(x ＋y )＝1，则( )

A ．x ＋y ≥2(2＋1)

B ．xy ≤2＋1

C ．x ＋y ≤2(2＋1)2

D ．xy ≥2(2＋1)

3．若a ＞b ＞0，下列各式中恒成立的是( )

A ．2a ＋b a ＋2b ＞a b

B ．b 2＋1a 2＋1＞b 2a 2

C ．a ＋1a ＞b －1b

D ．a a ＞a b 4．若a ，b ，c ∈R ，且ab ＋bc ＋ac ＝1，则下列不等式成立的是( )

A ．a 2＋b 2＋c 2≥2

B ．(a ＋b ＋c )2≥3

C ．1a ＋1b ＋1c ≥2 3

D ．abc (a ＋b ＋c )≤13

5．已知a ，b ∈R ，则“a ＋b ＞2，ab ＞1”是“a ＞1，b ＞1”成立的( )

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

二、填空题

6．如果a a ＋b b ＞a b ＋b a ，则实数a ，b 应满足的条件是________．

7．若1a ＜1b

＜0，已知下列不等式： ①a ＋b ＜ab ；

②|a |＞|b |；

③a ＜b ；

④b a ＋a b

＞2． 其中正确的不等式的序号为________．

8．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，c 为斜边，则a ＋b c

的取值范围是________． 三、解答题

9．求证：7＜25－3．

10．已知：a ，b 是不相等的正数，且a 3－b 3＝a 2－b 2，求证：1＜a ＋b ＜43

． B 级 能力提升

1．设a ＞0，b ＞0，则以下不等式中不恒成立的是( )

A ．(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥4

B ．a 3＋b 3≥2ab 2

C ．a 2＋b 2＋2≥2a ＋2b

D ．|a －b |≥a －

b

2．若n 为正整数，则2n ＋1与2n ＋1n

的大小关系是________． 3．(2015·课标全国Ⅱ卷)设a ，b ，c ，d 均为正数，且a ＋b ＝c ＋d ．证明：

(1)若ab ＞cd ，则a ＋b ＞c ＋d ； (2)a ＋b ＞c ＋d 是|a －b |＜|c －d |的充要条件．