蝴蝶定理的一个证明及其在圆锥曲线上的推广

蝴蝶定理的一个证明及其在圆锥曲线上的推广
摘要从蝴蝶定理及其证明的过程中，发现禁锢“蝴蝶”的条件，适当地变换条件，拓广适用范围，将圆内的蝴蝶飞出圆外.最后将蝴蝶定理在圆锥曲线上进行推广，并给出简洁证明.
关键词蝴蝶定理；圆锥曲线；衍变推广
The Proof and Promotion in Conical Curve
of Butterfly Theorem
Abstract Finding constraint condition of the Butterfly Theorem application basing the course of this proof, has properly transformed condition and spread applicable scope. Providing concise proof and applying the theorem to Conical Curve, one can reach a new level which widens its scope of application. Abstract
Key words the Butterfly Theorem;Conical Curve; Development and generalization
蝴蝶定理的一个证明及其在
圆锥曲线上的推广
一 引言
蝴蝶定理最先是作为一个征求证明的问题，刊载于1815年的一份通俗杂志《男士
日记》上。

由于其几何图形形象奇特、貌似蝴蝶，便以此命名，定理内容是：
蝴蝶定理 过圆O 的AB 弦中点M 引任意两弦CD 和EF ，连结CF 和ED ，交AB 弦于P 、
Q 两点，则有：PM=MQ. （如图一）
1944年2月《美国数学月刊》，直接以“蝴蝶定理”的美名进行征解，随后“蝴蝶
定理”的名称广为流传.蝴蝶定理(Butterfly theorem)出现过许多优美奇特的解法，其中最早的，应首推霍纳在职1815年所给出的证法.蝴蝶定理出现在《美国数学月刊》、《中学数理》、《数学难题》、《找到了》等等,至今它仍在遍布全球的数学百花园中.
1946年蝴蝶定理曾成为美国普特南大学数学竞赛的试题.由于蝴蝶定理想象洵美，
蕴理深刻，近两百年来，关于蝴蝶定理的研究成果不断，引起了许多中外数学家的兴趣.在20世纪20年代时，蝴蝶定理作为一道几何题传到我国中学数学界，严济慈教授在《几何证题法》中有构思奇巧的证明.1985年, 在我国河南省《数学教师》创刊号上, 杜锡录同志以《平面几何中的名题及其妙解》为题, 载文向国内介绍蝴蝶定理, 从此蝴蝶定理在国内广泛传开，证法不枚胜举.
二 蝴蝶定理的一个证明
下面提供一个不添助线且较简单的直接证法]1[. 证明：由图二易见，有四对相等的角，分别用字母,αβ,,γδ表示(如图二).
如图二，不妨设
题目的图形酷似一只蝴蝶，因此被后人称为“蝴蝶定理”.蝴蝶定理是平面几何中构图最优美、引起的关注也最多的定理之一. 据说后来有一不知名的诗人数学家发现这个问题的图形像蝴蝶的翅膀，于是称之为
“蝴蝶定理”.当时是为寻求解答而设制的、一直以来，
始终吸引着人们去探求新的更优美简捷的证法，探求她
的多种形式的推广.
（图一）
MQ PM ≤ (1)
则
22)()(MQ PM ≤
由相交弦定理得CP ·PF ≥DQ ·QE QB AQ PA PB ⋅≥⋅
由相交弦定理得
QE DQ PF CP ⋅≥⋅ (2)
又由正弦定理得
PM CP *=
αδsin sin , PM PF *=βγsin sin ; MQ DQ *=βδsin sin , MQ QE *=α
γsin sin . 将它们代入（2）式，即有
22)()(MQ PM ≥,
∴MQ PM ≥ (3)
由(1)、（3），得
MQ PM =.
三 蝴蝶定理的推广
蝴蝶定理及其证明的过程中，发现禁锢 “蝴蝶”的条件，解除枷锁，从而得到蝴蝶定理的几个推广.
由图一所示，我们可以看到蝴蝶的两个翅膀被封锁在圆中，我们发现“蝴蝶定理”的内容要求CF 与ED 与弦AB 在圆内要有交点，这就限制了弦CD 与EF 的范围，为了把“蝴蝶定理”进行推广，就必须打开限制，让蝴蝶飞出圆外.不但如此,如果弦AB 变成圆外的一条直线,这只蝴蝶将可以飞到圆外去,而且仍然保证等量关系不变.而基于蝴蝶定理的推广与演变，能得到很多有趣与漂亮的结果.如可将蝴蝶定理中的圆“压缩变换”为椭圆，甚至变为双曲线、抛物线、筝形、凸四边形、两直线，都依然成立]3[.
所以 2222)()()()(MQ BM PM AM -≥- ))((PM AM PM AM -+
))((MQ BM MQ BM -+≥ 即 （图二）
解除了“蝴蝶”身上的枷锁，使蝴蝶真正地飞上了天空. 四
蝴蝶定理在圆锥曲线上的推广]4[
我们都知道圆与椭圆、双曲线等圆锥曲线有一定的联系，我开始有了将蝴蝶定理推广到圆锥曲线上的想法.圆锥曲线与圆的联系非常紧密，
所以我们将“蝴蝶定理”在圆锥曲线上进行推广，则蝴蝶定理在圆锥曲线上仍然成立.
那么，蝴蝶定理在抛物线上又是什么样子呢？
即有Q O P O .证明跟下面图七的证明相似. 关于蝴蝶定理在圆锥曲线上的证明方法有很多种，下面给蝴蝶定理在双曲线上的推广给出一个证明.
“设L 圆外的是定直线，自定圆中心O 作OM ⊥L 于M ，过M 任作两条直线分别交圆O 于C 、
D ，
E 、
F ，再连DE 、CF 并延长交直线L 于P 、Q ，
则M 是PQ 的中点.”（ 如图四）
显然，当直线L 于圆相交时，正是原先的
蝴蝶定理；当L 与圆不相交时，如图四所示，所得结论又何其相似. (图四)
“经弦AB 的中点M 的两条弦CD 、EF 分别交
圆O
于C 、D 、E 、F ，再连接DF 、CE,并延长交弦AB 的延长线于P 、Q ，则有MP=MQ.”（如图三）
适当地变换条件，拓广适用范围将原来已
知的中点M 改成等价的垂足.
（图三） 如图五，将前面蝴蝶定理的图一中的圆变成椭圆，
我们会发现蝴蝶定理依然成立，即MP=MQ.证明同前
面蝴蝶定理的证明极其相似. 蝴蝶定理在椭圆上的推
广,其中△MEC 与△MDF 很像蝴蝶的两个翅膀，并且和圆
上的蝴蝶定理有相似的性质.
如图六，将原来的圆换成不封闭的曲线抛物线，
将蝴蝶定理做进一步的推广。

如图六所示过中点O 的
两条直线CD 、EF 分别交抛物线于点C 、D 与E 、F ，
连接CF
、DE ，交X 轴于P 、Q. （图六） （图五）
定理:设O 是双曲线的对称轴上的一点,过O 点作该对称轴的垂线L,若过O 点的两直线分别与双曲线交于点C 、D 与E 、F(C 、E 分别在D 、F 上方),则直线CF 、DE 与直线L 的交点P 、Q 到O 点的距离相等,即Q O P O =.（如图七）
2222221221()()()0y y x y x b x a a b k k λλ=-----
令0y =，则点P 和Q 的横坐标满足方程 222221121()0x b a b k k λλλ-=- （*）
由（*）式可以看出，方程的一次项系数为零，则两根之和1
20x x +=.
即 12x
x =- 故点P 和Q 的横坐标大小相等，纵坐标为零.
即 Q O P O =. 证毕
在上述证明中，若连接直线CG,HD 并延长交X 轴分别于M 、N ，则由120x x +=，可知N O M O =.
在上述证明中，双曲线的方程也可换成椭圆、抛物线等圆锥曲线方程，从而可将蝴蝶定理推广到二次曲线中去. 蝴蝶定理在一般圆锥曲线上的推广，具有高等数学知识背景，沟通着高等数学与中学数学的联系，这为数学研究性学习提供了良好的平台.
蝴蝶定理从提出到证明再到推广，经历了数百年的时间，而这一过程得到的数学成果背后的故事值得学生了解，能大大增强学生的文化素养.学生通过了解这个历程，不仅能拓宽学生的数学视野、了解数学成果的创造过程、体会数学家们钻研数学的酸甜苦辣、另外当学生了解到自己正在接触的问题，曾经被某著名数学家探索过，甚至还把一些数
证明：以O 为原点，以垂线L 为x 轴，双
曲线的对称轴为y 轴建立直角坐标系.设双曲
线的一般方程为：222222y b x a a b -= ，
直线EF,CD 的方程分别为：1y k x =, 2y k x =，于是双曲线和两相交直线组成的二次曲线系为: （图七）
学家给难住，学生会感到这是一种智力挑战，会产生好奇心与学习动力.
数学名题总能因其数学美而激发研究者、学习者的兴趣，就如蝴蝶定理，其图形有如一只蝴蝶，容易吸引学生的眼球，激起学习的兴趣，让学生感觉到几何证明不再是抽象，而是自己的一种内心需求，在兴趣的指引下，经历一次次的成功，最终建立起对几何的热爱.
五结论
蝴蝶定理这一古老的命题，已经繁衍出了一系列结论，成为一个庞大的蝴蝶家族.蝴蝶定理把平面图形中的圆与蝴蝶和谐统一在一起. 蝴蝶定理的这一衍变推广不仅发展了蝴蝶定理在一般情况下成立,而且更重要的是丰富了内容,意义是非常重大的,那么在特殊圆锥曲线中成立的蝴蝶定理，经变换到一般常态的二次曲线上是否仍然成立呢？由蝴蝶定理的这一衍变推广，我们猜想凡是与圆有关的特殊命题都可以衍变推广到更广泛的空间几何上.要回答这个问题,还须我们做进一步的研究.
致谢
在本次毕业论文设计过程中，冯老师对该论文从选题、构思、资料收集到最后定稿的各个环节给予悉心指导与教导，使我最终得以完成毕业设计，在此表示衷心感谢，冯老师严谨的治学态度、丰富渊博的专业知识、敏锐的学术思维、精益求精的工作态度、积极进取的科研精神以及诲人不倦的师者风范是我终生学习的楷模.在四年的大学生涯中，我得到众多老师的关心和帮助，在此，谨向老师们致以衷心的感谢和崇高的敬意！
时间的仓促及自身专业水平的不足，整篇论文肯定存在尚未发现的缺点和错误。

恳请阅读此篇论文的老师、同学，多予指正，不胜感激！
参考文献
[1] 冯伟. 蝴蝶定理的一个直接证法[J].教案研究，2003.
[2] 周春荔.蝴蝶定理[J].数学通报,2004,(1):16-20.
[3] 周春荔.蝴蝶定理--研究性学习的一个好课题[J].数学通报,2004,1
[4] 沈红兵.圆锥曲线上的蝴蝶定理[J].教案研究，2005年第5期.
[5] 单墫.平面几何中的小花[M].上海:上海教育出版社,2002,5
[6] 潘俊文.蝴蝶定理的向量证法[J].数学通报,2005,(1)41.
[7] 赵临龙.蝴蝶定理的最终形式[J].数学教师,1995,4-27.
[8] 朱德祥.高等几何[M].北京:高等教育出版社,1983.9.
[9] 赵临龙.蝴蝶定理研究综述[J].玉溪师专学报,1994,3-4:23-26.。