高等数学-二元函数积分学
二元函数的全微分
讲授
2
2
16
10-2数项级数的审敛法（二）
10-3幂级数
讲练
讲授
2
2
17
10-3幂级数的性质
10-4函数的幂级数展开（一）
讲练
讲授
2
2
18
10-4函数的幂级数展开（二）
第10章 习 题 课
讲练
讲练
2
2
19
总复习
辅导答疑
4
20
期末考试
教师签字教研室主任签字
系部主任签字
烟台职业学院
课程教学进度计划表
11
9-3二元函数的全微分
9-4二元复合函数求导法则
讲练
讲练
２
2
12
9-4二元隐函数求导法则
9-5二元函数的极值(9.5.1)
讲授
讲练
2
2
13
9-6二重积分的概念与性质
9-7二重积分的计算(利用直角坐标)
讲练
讲练
２
2
14
第9章 习 题 课
10-1数项级数的概念
讲练
讲练
2
2
15
10-1数项级数的性质
10-2数项级数的审敛法（一）
讲练
4
9
运动会“五一”节
10
9-2偏导数
9-2偏导数(续)
讲练
讲授
2
2
说明
1．本表由任课教师根据课程教学大纲的要求，在开课前填写，一式三份，经教研室主任签字、系部主任审批后，系部、教研室和任课教师各一份。
2．认真填写下列内容
周数17周课时4课时
课堂讲授课堂讨论４课时
实习课实训课
二元函数求极限的积分换元法综述
二元函数求极限的积分换元法综述在高等数学中，求二元函数的极限是一个非常重要的概念。
对于一些复杂的函数，直接求解其极限可能会比较困难。
而积分换元法是一种常用的有效方法，可以简化二元函数极限的求解过程。
本文将对积分换元法在求解二元函数的极限中的应用进行综述。
一、积分换元法简介积分换元法是一种常用的积分求解技巧，它通过引入新的变量替代原变量，从而将原积分转化为更加简单的形式。
在二元函数求极限中，我们可以借鉴积分换元法的思想，将原二元函数转化为与之等价的更容易求解的函数形式。
二、二元函数求极限的积分换元法步骤1. 确定变量替换对于给定的二元函数，我们首先需要确定合适的变量替换。
通常情况下，我们选择将二元函数中的一个自变量表示为另一个自变量的函数形式。
2. 进行变量替换根据确定的变量替换，我们将原二元函数中的自变量进行对应的替换。
这样可以将原二元函数转化为只含有一个变量的函数。
3. 求解极限通过变量替换，我们得到了一个只含有一个变量的函数。
接下来，我们可以使用常规的一元函数求极限的方法，对这个函数进行求解。
4. 还原变量在求解极限后，我们需要将之前引入的新变量还原为原二元函数的自变量。
这样可以得到最终的极限结果。
三、实例分析以求解二元函数 f(x,y) = sin(x^2 + y^2) / (x^2 + y^2) 在点 (0,0) 处的极限为例，综合使用积分换元法进行求解。
1. 确定变量替换我们可以将 x^2 + y^2 表示为 r^2，其中 r 表示点 (x, y) 到原点的距离。
2. 进行变量替换根据变量替换 r^2 = x^2 + y^2，我们将原二元函数中的自变量进行替换。
这样可以得到性质更简单的新的函数 f(r) = sin(r^2) / r^2。
3. 求解极限通过变量替换，我们将二元函数的极限转化为一元函数的极限。
对新函数 f(r) 使用一元函数求极限的方法，我们得到lim(r→0) f(r) = 1。
二重积分知识点
二重积分知识点一、引言二重积分是高等数学中的重要内容，是对二元函数在有限区域上的积分运算。
二重积分的概念与求解技巧是深入理解、掌握多元函数的必备工具，也为解决实际问题提供了数学方法。
本文将从二重积分的概念、性质、计算方法和应用等方面，全面详细地介绍二重积分的知识点。
二、概念1. 二重积分的定义设f (x,y )在闭区域D 上有定义，D 由有向闭曲线C 围成，且f (x,y )在D 上有界。
若存在数I ，对于任意给定的正数ε，都存在正数δ，使得对于D 内任意满足Δσ<δ的任意分割σ，对应的任意代点ξij ，总有|∑∑f mj=1n i=1(ξij )Δσij −I|<ε则称I 为函数f (x,y )在闭区域D 上的二重积分，记作I =∬f D(x,y )dσ其中，Δσij 表示第(i,j )个小区域的面积，Δσ表示整个区域D 的面积。
2. 二重积分的几何意义二重积分的几何意义是对二元函数在闭区域上的面积进行逐点求和，即将闭区域D 分割成无穷多个小面积区域，并对每个小面积区域上的函数值进行乘积再求和，最终得到二重积分。
三、性质1. 线性性质设闭区域D上有二重积分∬fD(x,y)dσ，若c为常数，则有∬(cf(x,y)) D dσ=c∬fD(x,y)dσ∬(f(x,y)±g(x,y)) D dσ=∬fD(x,y)dσ±∬gD(x,y)dσ2. 区域可加性设闭区域D可分为非重叠的两部分D1和D2，则有∬fD (x,y)dσ=∬fD1(x,y)dσ+∬fD2(x,y)dσ3. Fubini定理（累次积分）设函数f(x,y)在闭区域D上连续，则有∬f D (x,y)dσ=∫(∫fβ(x)α(x)(x,y)dy)badx=∫(∫fδ(y)γ(y)(x,y)dx)dcdy其中，(x,y)∈D,α(x)≤y≤β(x),γ(y)≤x≤δ(y)。
4. 值定理设函数f(x,y)在闭区域D上一致连续，则存在(ξ,η)∈D，使得∬fD (x,y)dσ=f(ξ,η)∬dDσ=f(ξ,η)σ(D)其中，σ(D)表示闭区域D的面积。
二元函数的概念
§7.1 二元函数的概念 二元函数的极限和连续性教学目的： 了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质。
教学重点： 求二元函数的极限，掌握二元函数极限与连续的关系。
1、二元函数的定义定义1的函数值，函数值的总体称为函数的值域。
例 1设（x2+y2≠0）， 求证。
因为，可见，对任何ε>0，取，则当时，总有成立，所以。
我们必须注意，所谓二重极限存在，是指P （x,y ）以任何方式趋于P 0（x 0,y 0）时，函数都无限接近于A 。
在某一给定如果当变量和设有三个变量y x z y x ,,,按照一定时，变量内任取一对值的二元有序实数对z y x D ),(yx z ,,叫做变量它们对应，则变量总有唯一确实的数值和的规律),(y x f z =的二元函数，记作称为函变化的范围为因变量，为自变量，其中D y x z y x ),(,),(),(,),(0000y x y x f z D y x 称为对应于则，数的定义域。
设点=∈定义 设函数f(x,y)在开区域（或闭区域）D 内有定义，P 0(x 0,y 0)是D 的内点或边界点且P 0∈D 。
如果则称函数f(x,y)在点P 0(x 0,y 0)连续。
性质1（最大值和最小值定理） 在有界闭区域D 上的多元连续函数，在D 上一定有最小值和最大值。
性质2（介值定理） 在有界闭区域D 上的多元连续函数，如果在D 上取得两个不同的函数值，则它在D 上取得介于这两个值之间的任何值至少一次。
性质３ （零点定理）性质４（有界性定理）例2 设 解 因此且上连续在有界闭区域若函数,),(D y x f 则至少数值数值和一个小于零的函它取得一个大于零的函,则上连续在有界闭区域若函数,),(D y x f .上有界它必在D ),(,23sin ),(21lim y x f xy e y x y x f y x xy→→++=求π,)2,1(,),(在其定义域内且点是初等函数由于y x f ,)2,1(),(处连续在点故y x f 232223sin )2,1(),(22221lim+=++==→→e e f y x f y x π§7.2 偏导数教学目的：了解偏导数的概念、几何意义以及与连续的关系。
第八章二元函数的定义
P0
( x, y) | ( x x0 )2 ( y y0 )2 .
微积分
（2）区域
设 E 是平面上的一个点集，P 是平面上的 一个点．如果存在点P 的某一邻域U(P) E ， 则称 P 为 E 的内点. E 的内点属于 E .
如果点集 E 的点都是内点，
2 x2 y2 4
x
y2
所求定义域为 D {(x, y) | 2 x2 y2 4, x y2}.
微积分
（6） 二元函数 z f ( x, y)的图形
设函数z f ( x, y)的定义域为D，对于任意 取定的 P( x, y) D，对应的函数值为 z f ( x, y)，这样，以 x为横坐标、 y 为纵坐 标、z为竖坐标在空间就确定一点 M( x, y, z)， 当 x取遍 D上一切点时，得一个空间点集 {( x, y, z) | z f ( x, y), ( x, y) D}，这个点集称
微积分
第八章 二元函数的定义
微积分
一、多元函数的概念
（1）邻域
设 P0 ( x0 , y0 )是 xoy平面上的一个点， 是某 一正数，与点 P0 ( x0 , y0 )距离小于 的点 P( x, y) 的全体，称为点 P0的 邻域，记为U(P0 , )，
U(P0, ) P | PP0 |
(x2
y2 )sin
x2
1
y2
0
原结论成立．
微积分
例3
求极限
lim
x0
sin( x x2
2 y) y2
.
y0
sin( x2 y)
高等数学二元函数的基本概念
称为定义
点集 D 称为函数的定义域 ;
数集 z z f ( x, y ) ,(x, y) D 称为函数的值域.
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例如, 二元函数 z 1 x2 y2
定义域为圆域 (x, y) x2 y2 1
图形为中心在原点的上半球面.
z
O x
1y
说明: 二元函数 z = f (x, y), (x, y) D
的图形一般为空间曲面 .
O
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三、二元函数的极限
定义2. 设二元函数 f (x, y)在点P0 (x0, y0) 的某个去心
邻域内有定义.若存在常数 A ,对任意正数 , 总存在正
数 , 使得当 P U (P0, δ) 时, 都有
边界点可能属于 E, 也可能不属于 E .
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(2) 聚点
若对任意给定的 , 点P 的去心
E
邻域
内总有E 中的点 , 则
称 P 是 E 的聚点.
聚点可以属于 E , 也可以不属于 E (因为聚点可以为
E 的边界点 )
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(3) 开区域及闭区域
• 若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集；
• E 的边界点的全体称为 E 的边界, 记作E ;
• 若集 D 中任意两点都可用一完全属于 D 的折线相连 ,
则称 D 是连通的 ; • 连通的开集称为开区域 ,简称区域 ; • 开区域连同它的边界一起称为闭区域.
D 。。
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例如，在平面上Leabharlann (x, y) x y 0
高等数学第九章多元函数微分学试题及答案
第九章 多元函数微分学§9.1 多元函数的概念、极限与连续性一、多元函数的概念1．二元函数的定义及其几何意义设D 是平面上的一个点集，如果对每个点()D y x P ∈,，按照某一对应规则f ，变量z 都有一个值与之对应，则称z 是变量x ，y 的二元函数，记以()y x f z ,=，D 称为定义域。
二元函数()y x f z ,=的图形为空间一卦曲面，它在xy 平面上的投影区域就是定义域D 。
例如 221y x z --=，1:22≤+y x D ， 此二元函数的图形为以原点为球心，半径为1的上半球面，其定义域D 就是 xy 平面上以原点为圆心，半径为1的闭圆。
2．三元函数与n 元函数()z y x f u ,,= ()Ω∈z y x ,,空间一个点集称为三元函数()n x x x f u ,,21 = 称为n 元函数它们的几何意义不再讨论，在偏导数和全微分中会用到三元函数。
条件极值中，可能会遇到超过三个自变量的多元函数。
二、二元函数的极限设函数),(y x f 在区域D 内有定义，),(000y x P 是D 的聚点，如果存在常数A ，对于任意给定的0>ε，总存在0>δ，当),(y x P 满足δ<-+-=<20200)()(0y y x x PP 时，恒有ε<-A y x f ),(成立。
则记以()A y x f y y x x =→→,lim 0或()()()A y x f y x y x =→,lim00,,。
称当()y x ,趋于()00,y x 时，()y x f ,的极限存在，极限值A ，否则称为极限不存在。
值得注意：这里()y x ,趋于()00,y x 是在平面范围内，可以按任何方式沿任意曲线趋于()00,y x ，所以二元函数的极限比一元函数的极限复杂；但考试大纲只要求知道基本概念和简单的讨论极限存在性和计算极限值，不像一元函数求极限要求掌握各种方法和技巧。
高等数学二元函数微分法
偏导数为
( y
)
nz xn1 y
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例5. 解:
求函数 z ex2 y z ex2y
的二阶偏导数及
z 2ex2y
3z yx2
.
x
y
2z x2
ex2 y
2z 2ex2y x y
2z 2ex2y y x
2 z y2
4 ex2 y
3z yx2
x
(
2z ) y x
在点 (x, y) 的全微分, 记作
dz d f Ax By
若函数在域 D 内各点都可微, 则称此函数在D 内可微.
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当函数可微时 :
lim z lim (Ax By ) o ( ) 0
x0
0
y0
得 lim f (x x, y y) f (x, y)
2z x y
fx y (x, y)
(z) 2z x y yx
f yx (x, y);
y
(z y
)
2 y
z
2
f y y (x, y)
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类似可以定义更高阶的偏导数. 例如，z = f (x , y) 关于 x 的三阶偏导数为
z = f (x , y) 关于 x 的 n –1 阶偏导数 , 再关于 y 的一阶
的偏导数，记为
f x
(x0 ,
y0
)
;
zx (x0 , y0 ) ;
f1(x0, y0 ) .
注意: f x f (x0 )
(x0 , y0 ) lim f
x 0
lim f (x0 x, (x0x0x) f (x0 )
高等数学2专升本教材目录
高等数学2专升本教材目录一、导数与微分1.1 函数的定义及性质1.2 无穷小与无穷大1.3 极限与连续1.4 导数的定义与性质1.5 高阶导数与复合函数的求导法则1.6 隐函数与参数方程的导数1.7 微分的定义与性质二、微分中值定理与导数的应用2.1 罗尔中值定理2.2 拉格朗日中值定理2.3 克莱罗中值定理2.4 泰勒公式及应用2.5 霍尔德定理2.6 函数的极值与最值2.7 函数图形的描绘三、不定积分与定积分3.1 不定积分的定义与性质3.2 微元法与换元法3.3 分部积分法及辅助函数法 3.4 定积分的定义与性质3.5 定积分的计算方法3.6 营养与生物量的计算3.7 定积分的应用四、多元函数微分学4.1 二元函数与偏导数的定义 4.2 偏导数的计算与性质4.3 隐函数的求导与高阶导数 4.4 李氏条件及其应用4.5 多元函数的极值与最值4.6 多元函数的泰勒公式与应用4.7 多元函数的积分五、常微分方程5.1 常微分方程的基本概念及解的存在唯一性定理 5.2 一阶线性微分方程5.3 可降阶的高阶微分方程5.4 齐次线性微分方程与非齐次线性微分方程5.5 可分离变量型微分方程5.6 常系数线性微分方程5.7 变量可分离微分方程六、二元函数积分学6.1 二重积分的定义与性质6.2 二重积分的计算方法6.3 二重积分的应用6.4 三重积分的定义与性质6.5 三重积分的计算方法6.6 三重积分的应用七、曲线积分与曲面积分7.1 第一类曲线积分7.2 第二类曲线积分7.3 曲线积分的应用7.4 第一类曲面积分7.5 第二类曲面积分7.6 曲面积分的应用7.7 广义积分与负积分八、向量场与散度8.1 向量场的概念与运算8.2 散度与无源场8.3 散度的计算方法与应用8.4 散度定理九、旋度与斯托克斯公式9.1 旋度的定义与性质9.2 旋度定理9.3 梯度、散度与旋度的关系9.4 斯托克斯公式及其应用十、拉普拉斯方程与调和函数10.1 拉普拉斯方程与调和函数的概念10.2 边界上的泊松问题10.3 球坐标系与柱坐标系中的拉普拉斯方程10.4 调和函数的展开与应用十一、傅里叶级数与傅里叶变换11.1 傅里叶级数的定义与性质11.2 奇偶函数的傅里叶级数展开11.3 傅里叶级数的收敛性11.4 傅里叶级数的应用与展开函数的逼近11.5 傅里叶变换的定义与性质11.6 傅里叶变换的逆变换11.7 傅里叶变换的应用与卷积定理十二、偏微分方程与特殊函数12.1 偏微分方程的基本概念及解的存在唯一性定理 12.2 热传导方程12.3 波动方程12.4 拉普拉斯方程12.5 结束语以上是《高等数学2专升本教材》的目录，涵盖了导数与微分、微分中值定理与导数的应用、不定积分与定积分、多元函数微分学、常微分方程、二元函数积分学、曲线积分与曲面积分、向量场与散度、旋度与斯托克斯公式、拉普拉斯方程与调和函数、傅里叶级数与傅里叶变换、偏微分方程与特殊函数等内容。
大三高数知识点
大三高数知识点高等数学是一门具有重要理论和应用价值的学科，对于大学理工类专业的学生来说，尤为重要。
在大三学年，高等数学进入到了一个更深入和复杂的阶段，涉及到了更多的知识点和概念。
本文将为你详细介绍大三高数的几个重要知识点。
1. 极限与连续极限与连续是高等数学的基础概念，也是大三高数课程的重点内容。
在极限的学习中，我们主要学习了函数极限、数列极限以及无穷小和无穷大的概念。
在连续的学习中，我们需要了解函数的连续性、间断点以及导数的连续性等重要内容。
2. 一元函数微分学一元函数微分学是大三高数中的一个重要分支，主要涉及到函数的导数和微分问题。
在这一部分的学习中，我们需要深入了解导数的定义、求导法则和高阶导数等内容，还需要学习一元函数的凹凸性、最大最小值以及函数的导数在图像上的应用。
3. 一元函数积分学一元函数积分学是高等数学中的另一个重要分支，与微分学相对应。
在这一部分的学习中，我们主要学习了不定积分和定积分的概念与性质，以及积分的基本公式和求法等内容。
同时，我们还需要了解定积分的几何意义和一元函数的平均值定理等重要知识点。
4. 二元函数微分学二元函数微分学是大三高数中的一个扩展部分，该部分主要学习了二元函数的偏导数和全微分，以及二元函数的极值和条件极值等内容。
在这一部分的学习中，我们需要掌握偏导数的定义和求导法则，还需要学习二元函数的一阶和二阶偏导数以及函数的最大最小值判定方法等重要知识。
5. 二重积分与曲线积分二重积分与曲线积分是高等数学中的另外两个重要内容，与一元函数积分学相对应。
在二重积分的学习中，我们需要掌握二重积分的概念与性质，以及直角坐标系和极坐标系下的二重积分计算方法。
在曲线积分的学习中，我们需要学习曲线积分的定义与性质，以及曲线积分的计算方法和应用等内容。
以上所述只是大三高数课程中的一部分重要知识点，希望能对你的学习有所帮助。
在学习中，我们应该注重理论与实践相结合，加强练习与应用能力的培养，从而更好地掌握和应用这些高数知识点。
专升本高等数学(一)-多元函数微积分学(三)-1_真题(含答案与解析)-交互
专升本高等数学(一)-多元函数微积分学(三)-1 (总分106, 做题时间90分钟)一、选择题1.二元函数z=(1+2x) 3y，则等于______SSS_SINGLE_SELA 3y(1+2x)3y-1B 6y(1+2x)3y-1C (1+2x)3yln(1+2x)D 6y(1+2x)3y该题您未回答:х该问题分值: 1答案:B2.设z=cos(x 3 y 2 )，则等于______SSS_SINGLE_SELA 2x3ysin(x3y2)B -3x2y2sin(x3y2)C -2x3ysin(x3y2)D 3x2y2sin(x3y2)该题您未回答:х该问题分值: 1答案:C3.z=5 xy，则等于______SSS_SINGLE_SELA 50B 25C 50ln5D 25ln5该题您未回答:х该问题分值: 1答案:C4.已知f(xy，x+y)=x 3 +y 3，则等于______SSS_SINGLE_SELA 3y2-3x-3yB 3y2+3x+3yC 3x2-3x-3yD 3x2+3x+3y该题您未回答:х该问题分值: 1答案:A5.设z=(lny) x，则dz等于______A．B．C．(lny) x ln(lny)dx+(lny) x-1 dyD．SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 1答案:D6.等于______函数z=x 2 +y 3在点(1，-1)处的全微分dz|(1，-1)SSS_SINGLE_SELA 2dx-3dyB 2dx+3dyC dx+dyD dx-dy该题您未回答:х该问题分值: 1答案:B7.设f(x，y)为二元连续函数，，则积分区域可以表示为______ A．B．C．D．SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 7答案:B8.设f(x，y)为连续函数，二次积分交换积分次序后等于______ A．B．C．D．SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 8答案:A9.设区域D={(x，y)|1≤x 2 +y 2≤4}，则在极坐标中，二重积可表示为______A．B．C．D．SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 1答案:C10.设D由x轴、y轴及直线x+y=1围成，则等于______A．B．C．D．SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 1答案:D二、填空题1.函数的定义域是______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2{(x，y)|y≥x，x 2 +y 2＜1且x 2 +y 2≠0}2.设，则=______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 23.设，则f(x，y)=______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2x 2 y4.设函数z=x 2 +ye x，则=______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 22x+ye x5.设，则=______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 26.设z=y 2x，则=______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 22x·y 2x-17.设函数z=xy+x 3，则=______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2y+3x 2 +x8.设D：0≤x≤1，0≤y≤2，则=______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 29.设D：-1≤x≤0，0≤y≤1，则=______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2110.设D：0≤x≤1，0≤y≤1，则=______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2(e-1) 211.设D：0≤x≤1，0≤y≤2，则=______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 22ln2三、解答题1.求下列函数的偏导数或全微分．设，求．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2．2.求下列函数的偏导数或全微分．设二元函数z=tan(xy 2 )，求．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2．3.求下列函数的偏导数或全微分．设，求．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2．4.求下列函数的偏导数或全微分．设，求．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2，．5.求下列函数的二阶偏导数．设z=xy 2 +x 3 y，求SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 1．6.求下列函数的二阶偏导数．设z=(x+y)e xy，求．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2．7.求下列隐函数的偏导数或全微分．设z=f(x，y)由方程x+y 2 +z 2 =2z所确定，求．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2．8.求下列隐函数的偏导数或全微分．设z=f(x，y)由方程x 2 +z 2 =2ye z所确定，求dz．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2．9.求函数f(x，y)=2x 4 -8x+y 2的极值．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 4极小值为-610.求函数f(x，y)=2xy-x 2 -2y 2 -x+y的极值．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2极大值为11.求函数f(x，y)=x 4 +y 4 -4(x-y)+1的极值．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 4极小值为-512.求函数f(x，y)=x 3 -y 3 +3x 2 +3y 2 -9x的极值．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2极小值为-5，极大值为3113.求函数f(x，y)=xy在约束条件x+y=1的可能极值点．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 4首先构造拉格朗日函数F(x，y，λ)=xy+λ(x+y-1)，求出F的所有一阶偏导数并令其等于零，得联立方程组解得．所以为可能的极值点．14.从斜边长为a的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2设直角三角形的两条直角边的长分为x，y则求周长函数为S=x+y+a在满足约束条件x 2 +y 2 =a 2下的最大值点．F(x，y，λ)=(x+y+a)+λ(x 2 +y 2 -a 2 )，解得x= ，此时只有惟一的驻点，根据实际问题必有所求，即当直角三角形为等腰直角三角形，即两直角边的边长各为时，周长最大，且最大周长为．15.在所有对角线为的长方体中，求最大体积的长方体．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2设长、宽、高分为x，y，z，体积V=xyz，对角线d 2 =x 2 +y 2 +z 2，求函数V=xyz在约束条件d 2 =x 2 +y 2 +z 2下的极大值，作拉格朗日函数F(x，y，λ)=xyz+λ(x 2 +y 2 +z 2 -d 2 )，解得，此时只有惟一的驻点，根据实际问题必有最大值，即当长、宽、高各为2时，体积最大，且最大体积V=8．16.交换二重积分的积分次序．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 217.改变积分的积分次序．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 218.交换二重积分的积分次序．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 219.交换二重积分的积分次序．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 220.求，其中D是由曲线x=y 2 +1，直线x=0，y=0与y=1所围成的区域．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 221.计算二重积分，其中D是由直线y=x，y=x-1，y=0及y=1围成的平面区域．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 222.计算二重积分，其中D是由曲线y=x 2与y=x围成的平面区域．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 223.计算二重积分，其中D是由直线y=x，x=0，y=π围成的平面区域．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 224.计算二重积分，其中D是由x 2 +y 2≤1围成．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 225.求，其中D是由y=x，y=0，x 2 +y 2 =1在第一象限的区域．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 226.计算，其中D是由x 2 +y 2≤4，x≥0，y≥0所确定的平面区域．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 227.计算，其中D是由曲线x 2 +y 2 =2，y=x及y轴所围成的在第一象限的闭区域．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 228.计算．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 1．29.设f(x)在[0，1]上连续，证明．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 1证明：交换二次积分次序，积分区域为Y-型域D：0≤y≤1，0≤x≤ ，转化为X-型域D：0≤x≤1，x 2≤y≤1，则1。
《高等数学》 第六章 二元函数微积分及其应用3—4节 课堂笔记及练习题2
高等数学 第六章 二元函数微积分及其应用3—4节 课堂笔记及练习题主 题：第六章 二元函数微积分及其应用3—4节 学习时间：2016年1月4日—1月10日内 容：这周我们将学习第七章多元函数的积分，第五节二重积分。
在一元函数积分学中我们已经知道，定积分是某种特定形式的和的极限，把这种和的极限的概念推广到定义在某个区域或某段曲线上的多元函数的情形，便得到二重积分的概念。
其学习要求及需要掌握的重点内容如下：1、了解二重积分的概念、性质及几何意义。
2、掌握二重积分的计算方法—直角坐标和极坐标，会利用二重积分计算简单的平面图形的面积。
基本概念：二重积分的概念、性质及几何意义 知识点：二重积分的计算方法知识结构图一、二重积分的概念和性质定义：设),(y x f 是有界闭区域D 上的有界函数。
将闭区域D 任意分成n 个小闭区域k σσσ∆∆∆,,,21 。
其中k σ∆表示第k 个小区域,也表示它的面积。
在每个k σ∆上任取一点),(i i ηξ，作和k i i ni f σηξ∆=∑),(1。
如果当各小闭区域的直径中的最大值λ趋于零时，这和的极限总存在,则称此极限为函数),(y x f 在闭区域D 上的二重积分,记作σd y x f D⎰⎰),(,即k i i ni Df d y x f σηξσλ∆==→∑⎰⎰),(lim ),(10。
),(y x f 为被积函数，σd y x f ),(为被积表达式，σd 为面积元素，y x ,为积分变量，D 为积分区域，积分和。
（请了解此概念）直角坐标系中的面积元素：如果在直角坐标系中用平行于坐标轴的直线网来划分D ，那么除了包含边界点的一些小闭区域外，其余的小闭区域都是矩形闭区域。
设矩形闭区域i σ∆的边长为i x ∆和i y ∆，则i i i y x ∆∆=∆σ，因此在直角坐标系中,有时也把面积元素σd 记作dxdy ，而把二重积分记作dxdy y x f D⎰⎰),(。
《高等数学(一)微积分》讲义
5. 复合函数
给定函数链 f : D1 → f (D1) g : D → g(D) ⊂ D1
则复合函数为 f o g : D → f [g(D) ]
6. 初等函数 由基本初等函数经有限次四则运算与复合而成的由一个表达式表示的函
数。
4/69
二、 极限 （1．概念回顾 2、极限的求法，）
=
lim
x→π
1 cos x
sin x
-2 ⋅ 2（π
−
2 x）=
lim
x→π
1 -4 sin
cos x
x（π − 2x）
2
2
2
=
lim
x→π
1 -4 sin
x
⋅
cos
lxi→mπ（π −
2xx ）=
1 -4
lim
x→π
−
sin −2
x =
−
1 8
2
2
2
13/69
注：使用洛必达法则必须判断所求的极限是分式型的未定式 ∞ 、 0 。 ∞0
例 5：
求 lim x→∞
x+5 x2 − 9
．
解：
lim
x→∞
x+5 x2 − 9
=
lim
x→∞
1 x
+
5 x2
1−
9 x2
=
1 lim( x→∞ x
+
5 x2
)
=
0
=
0．
lim(1 −
x→∞
9 x2
)
1
知识点：设a0 ≠ 0, b0 ≠ 0, m, n ∈ N ，
专升本高等数学(一)-多元函数微积分学(三)-2
专升本高等数学(一)-多元函数微积分学(三)-2(总分：106.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：10，分数：23.00)1.二元函数z=(1+2x) 3y，则______（分数：1.00）A.3y(1+2x)3y-1B.6y(1+2x)3y-1 √C.(1+2x)3yln(1+2x)D.6y(1+2x)3y解析：2.设z=cos(x 3 y 2 )，则______（分数：1.00）A.2x3ysin(x3y2)B.-3x2y2sin(x3y2)C.-2x3ysin(x3y2) √D.3x2y2sin(x3y2)解析：3.z=5 xy，则______（分数：1.00）A.50B.25C.50ln5 √D.25ln5解析：4.已知f(xy，x+y)=x 3 +y 3，则______（分数：1.00）A.3y2-3x-3y √B.3y2+3x+3yC.3x2-3x-3yD.3x2+3x+3y解析：5.设z=(lny) x，则dz等于______A．B．C．(lny) x ln(lny)dx+(lny) x-1 dyD．（分数：1.00）A.C.D. √解析：6.函数z=x 2 +y 3在点(1，-1)处的全微分dz| (1，-1)等于______（分数：1.00）A.2dx-3dyB.2dx+3dy √C.dx+dyD.dx-dy解析：7.设f(x，y)为二元连续函数，，则积分区域可以表示为______A．B．C．D．（分数：7.00）A.B. √C.D.解析：8.设f(x，y)为连续函数，二次积分交换积分次序后等于______A．B．C．D．（分数：8.00）A. √B.C.D.解析：9.设区域D={(x，y)|1≤x 2 +y 2≤4}，则在极坐标中，二重积可表示为______ A．B．C．D．（分数：1.00）A.B.C. √D.10.设D由x轴、y轴及直线x+y=1围成，则等于______ A．B．C．D．（分数：1.00）A.B.C.D. √解析：二、填空题(总题数：11，分数：22.00)11.函数 1．（分数：2.00）解析：{(x，y)|y≥x，x 2 +y 2＜1且x 2 +y 2≠0}12.设，则．（分数：2.00）13.设f(x，y)= 1．（分数：2.00）解析：x 2 y14.设函数z=x 2 +ye x，则．（分数：2.00）解析：2x+ye x15.设，则．（分数：2.00）16.设z=y 2x，则．（分数：2.00）解析：2x·y 2x-117.设函数z=xy+x 3，则．（分数：2.00）解析：y+3x 2 +x18.设D：0≤x≤1，0≤y≤2，则．（分数：2.00）19.设D：-1≤x≤0，0≤y≤1，则．（分数：2.00）解析：120.设D：0≤x≤1，0≤y≤1，则．（分数：2.00）解析：(e-1) 221.设D：0≤x≤1，0≤y≤2，则．（分数：2.00）解析：2ln2三、解答题(总题数：29，分数：61.00)22.求下列函数的偏导数或全微分．设，求．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()23.求下列函数的偏导数或全微分．设二元函数z=tan(xy 2 )，求．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()24.求下列函数的偏导数或全微分．设，求．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()25.求下列函数的偏导数或全微分．设，求．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：，．26.求下列函数的二阶偏导数．设z=xy 2 +x 3 y，求（分数：1.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()27.求下列函数的二阶偏导数．设z=(x+y)e xy，求．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()28.求下列隐函数的偏导数或全微分．设z=f(x，y)由方程x+y 2 +z 2 =2z所确定，求．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()29.求下列隐函数的偏导数或全微分．设z=f(x，y)由方程x 2 +z 2 =2ye z所确定，求dz．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()30.求函数f(x，y)=2x 4 -8x+y 2的极值．（分数：4.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：极小值为-631.求函数f(x，y)=2xy-x 2 -2y 2 -x+y的极值．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()32.求函数f(x，y)=x 4 +y 4 -4(x-y)+1的极值．（分数：4.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：极小值为-533.求函数f(x，y)=x 3 -y 3 +3x 2 +3y 2 -9x的极值．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：极小值为-5，极大值为3134.求函数f(x，y)=xy在约束条件x+y=1的可能极值点．（分数：4.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：首先构造拉格朗日函数F(x，y，λ)=xy+λ(x+y-1)，求出F的所有一阶偏导数并令其等于零，得联立方程组解得．所以为可能的极值点．35.从斜边长为a的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：设直角三角形的两条直角边的长分为x，y则求周长函数为S=x+y+a在满足约束条件x 2+y 2=a 2下的最大值点．F(x，y，λ)=(x+y+a)+λ(x 2 +y 2 -a 2 )，解得x= ，此时只有惟一的驻点，根据实际问题必有所求，即当直角三角形为等腰直角三角形，即两直角边的边长各为时，周长最大，且最大周长为．36.在所有对角线为（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：设长、宽、高分为x，y，z，体积V=xyz，对角线d 2 =x 2 +y 2 +z 2，求函数V=xyz在约束条件d 2 =x 2 +y 2 +z 2下的极大值，作拉格朗日函数F(x，y，λ)=xyz+λ(x 2 +y 2 +z 2 -d 2 )，解得，此时只有惟一的驻点，根据实际问题必有最大值，即当长、宽、高各为2时，体积最大，且最大体积V=8．37.交换二重积分（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()38.改变积分（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()39.交换二重积分（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()40.交换二重积分（分数：2.00）正确答案：()41.求D是由曲线x=y 2 +1，直线x=0，y=0与y=1所围成的区域．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()42.计算二重积分D是由直线y=x，y=x-1，y=0及y=1围成的平面区域．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()43.计算二重积分D是由曲线y=x 2与y=x围成的平面区域．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()44.计算二重积分D是由直线y=x，x=0，y=π围成的平面区域．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()45.计算二重积分D是由x 2 +y 2≤1围成．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()46.求D是由y=x，y=0，x 2 +y 2 =1在第一象限的区域．（分数：2.00）正确答案：()47.计算D是由x 2 +y 2≤4，x≥0，y≥0所确定的平面区域．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()48.计算D是由曲线x 2 +y 2 =2，y=x及y轴所围成的在第一象限的闭区域．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()49.计算（分数：1.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()50.设f(x)在[0，1]上连续，证明．（分数：1.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：证明：交换二次积分次序，积分区域为Y-型域D：0≤y≤1，0≤x≤ ，转化为X-型域D：0≤x≤1，x 2≤y≤1，则。
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8
1､曲顶主体的体积
第六章 多元函数积分学
上面的问题把所求量归结为和式的极限. 由于在物理、力学、几何和工程中 技术中，许多的物理量和几何量都可以用这样的和式的极限来表示，所 以 有 必 要研究这种和式的极限的一般形式，我们从上述从表达式中抽象出下面的二重积 分的定义.
9
2､二重积分的概念
第六章 多元函数积分学
定义 设 f (x, y) 是平面闭区域 D 上的有界函数，将 D 任意分割成 n 小块：
D1, D2, Dn ，记第 i 块的面积为 i (i 1, 2, .n) ，在第 i 块上任取一点 (xi , yi )
（见图 6-4），
y
图 6-4
n
作
i 1
f (xi , yi ) i ，取
max
1in
x2
y2
z2
1，
z0
即为区域 D 的边界曲线： 上半球面所对应的方程为
x2 y2 1.
z 1 x2 y2 .
D
f (x, y) 0 时，对应的二重积分是负值，故曲顶柱体的体积V 2､二重积分的概念
第六章 多元函数积分学
例 1 用二重积分表示上半球体 x2 y2 z2 1, z 0 的体积，并写出积分区域.
解 首先上半球体 x2 y2 z2 1与 xOy 面的交线
课前导读
作为一元函数的定积分有许多应用，但仍有许多问题无法处 理，比如，在定积分的应用中，我们计算了旋转体的体积、并作了 已知截面求体积. 但对一般形状的物体，用定积分求其体积就显 得困难.因此我们需要用二重积分来解决此类问题.
5
课前导读
在学习二重积分的时候，注意和定积分的相关概念之间的区别 与联系. 与定积分类似，二重积分的概念也是从实践中抽象出来的， 它是定积分的推广，其中的数学思想与定积分一样，也是一种“和式 的极限”. 所不同的是：定积分的被积函数是一元函数，积分范围是 一个区间；而二重积分的被积函数是二元函数，积分范围是平面上的 一个区域. 它们之间存在着密切的联系，二重积分可以通过定积分来 计算.
xn-1 b
x
1），
图 6-1
3
课前导读
最后，将区间“无限细分”取极限得到曲边梯形面积的精确值.
b
即通过划分、近似、求和、取极限所得结果就是定积分 f (x)dx 的 a
值（见图 6-2）.
n
S= lim f ( i i=1
y
xi=
b a
f
(x)dx
y=f (x)
▲▲▲
S
图 6-2 O a
bx
4
6
一､二重积分的概念和性质
第六章 多元函数积分学
本节将由曲顶柱体的体积公式引入二重积分的概念，并且研究二重积分的相
关性质. 1. 曲顶柱体的体积
▲▲▲
如图 6-3，曲 面 z f( x, y)在 平 面 闭 区 域 图 6-3
D 上连续，且有 f (x, y) 0 . 过 D 的边界作垂
直于 xOy 面的柱面 S ，则区域 D 和柱面 S 以及
第六章 多元函数积分学
将 D 任 意 分 割 成 n 份 ： D1, D2, Dn ， 记 每 一 份 的 面 积 分 别 为
1, 2, , n , 过第 i 份 Di 的边界作垂直于 xOy 面的柱体，则构成了一个以
Di 为底，以 z f (x, y) 为顶的小曲顶柱体.
在 Di 上任取一点 (xi , yi ) ，做乘积 f (xi , yi )i ，则第 i 块的小曲顶柱体的体
f (xi , yi ) i .
其中 D 称为积分区域， f (x, y) 称为被积函数，d 称为面积微元， f (x, y) d 称
n
为被积表达式， f (xi , yi ) i 称为积分和. i 1
11
2､二重积分的概念
第六章 多元函数积分学
如果二重积分 f (x, y)d 存在，也称函数 f (x, y) 在区域 D 上可积. 由二重 D
积分的定义可知，在区域 D 上可积的函数 f (x, y) 一定是 D 上的有界函数. 反过
来，什么样的函数一定是可积的呢？我们不加证明给出下面的定理.
定理 1 在区域 D 上的连续函数一定是 D 上的可积函数.
很 容 易 知 道 ， 当 f (x, y) 0 时 ， 曲 顶 柱 体 的 体 积 V f (x, y)d ； 当
曲面 z f ( x, y) 构成一个封闭的立体，称为以
D 为底的， z f (x, y) 为顶的曲顶柱体. 类 似
O
于曲边梯形面积的求法，我们采取“分割”、“近 似”、“求和”、“取极限”的步骤来求曲顶柱体的 x
z=f (x,y)
f (xi,yi)
(xi,yi)
y
D
体积.
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1､曲顶主体的体积
diam{
i
}
，即
(xi, yi)
i
是各 Di 的直径中的最大值. 当 0 时，如果
n
lim
0
i 1
f (xi , yi ) i
总是存在，则极限值称为函数
O
f (x, y) 在平面闭区域 D 上的二重积分，
x
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2､二重积分的概念 记为
第六章 多元函数积分学
n
D
f (x, y)d
lim 0 i1
f ( i)
y = f (x)
对于直线 x a, x b ，x 轴以及曲线 y f (x)
所围成的曲边梯形的面积，可以通过对区间
的任意划分，将 曲 边 梯 形 分 成 若 干 个 部 分 小
的曲边梯形，然后以小矩形来近似替代小的曲 O 边梯形，得到曲边梯形面积的近似值（见图 6-
a x1 x2 xi i xi+1
积可以近似的表示为 Vi f (xi , yi )i ,而整个的立体体积可以用和式
n
f ( xi , yi ) i
i 1
来表示，设 为 D1, D2 , Dn 中区域直径（区域上任意两点间距离的最大者）的最 大值，令 0 时，所得的极限值
n
l i m f
0 i1
x(i
,yi ) i
即为所求的曲顶柱体的体积.
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高等数学
第六章 多元函数积分学
第六章
二元函数积分学
1
第六章
第六章 多元函数积分学
内容导航
第一节 二重积分的概念、计算和应用
*第二节 对弧长的曲线积分与对坐标的曲线积分 *第三节 格林公式
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课前导读
在学习定积分的时候我们知道，如果函
y
数 y f (x) 在 [a,b] 上连续且 f (x) 0 ， 那么