流体力学第十一章

2．临界状态
由能量方程可知，气体在绝热流动过程中，当地声速 a 随着气流速度的增大而减小，
在某个流动截面，气体流速 V 恰好等于当地声速 a，这个状态就是由亚声速向超声速转变
的临界状态，一般称为临界状态。相应的物理参数成为临界参数，以 h*，p*，ρ*，s*，T*和
a*。将 M=1 代入可得：
a* = (kV2 kRT + k −1
2
= k −1 RT0
k
p V2 +=
k
p0
k −1 ρ 2 k −1 ρ0
a2
V2 +
=
a02
k −1 2 k −1
上述各式都是绝热流动的能量方程，是用不同参数表达的同一个方程。能量方程适用
于绝热过程。
利用马赫数表达，为
a0
= (1 +
k
−1
M
2
)
1 2
(7)
a
2
T0 = 1 + k −1 M 2
a2
V2 =
a∗2
a∗2 a02
a02 a2
=
M
2 ∗
a∗2
a
2 0
a02 a2
将式(7)和(11)代入，得
(16)
k +1M 2
M
2 ∗
=
1+
2 k
−1M
2
(17)
2
或
M2 =
k
2 +
1
M
2 ∗
(18)
1−
k k
−1 +1
M
2 ∗
由以上两式可以看出，同马赫数一样，速度系数也是划分气体类型的标准，即
由于各点的温度随气体的速度而变化，故各点的声速值也不同，所以有当地声速之称。
四、马赫数 在气体动力学中，常用气体流速与当地声速之比 V M= a 作为气体流动的一个重要参数，称为马赫(Mach)数，M<1 为亚声速流动；M=1 为声速
流动；M>1 为超声速流动。在随后各节的讨论会看到，不同的范围的气流，其性质有很大 的差别，引入马赫数的概念对研究气体高速流动有着重要意义。
T
图 11-1 微弱扰动的传播
下面说明微弱扰动波的传播过程。如图 11-1 所示，管中充满可压缩流体，左端装有一 活塞，原处于静止状态。当活塞突然以速度 dV 向右运动时，活塞附近的流体首先被压缩， 其压强产生一微小增量 dp，密度也有一微小增量 dρ；同时，这一层流体质点也以速度 dV 向前运动。这一层被压缩了的流体随之又压缩其前方邻近的一层流体，使其也产生一个微
二、微弱扰动的传播速度——声速
为确定扰动的传播速度 a，可利用质量守恒定理和动量定理。
如图 11-2 所示，在时刻 t，波面位于截面 1 处。在 t+dt 时刻，波面位于截面 2 处，这
时 1-2 之间的流体质量为 (ρ + dρ)adtA ，A 为管道横截面积。而在时刻 t，该区域的质量为
ρadtA ，两者之差是由于截面 1 处的流体质点已具有速度 dV，dt 时间内，该截面处的流体
他认为微弱扰动引起的温度变化很小，可以忽略不计，按等温过程处理。因而得出
a = dp = RT 的结论。按该式计算的 0°C 情况下空气中声音传播速度为 280m/s，但当时 dρ
实际测量的声音传播速度为 330m/s。两者相差超过 17%。牛顿曾解释为空气中的灰尘和水 份阻碍了声音的传播。后来拉普拉斯纠正了这一理论错误，认为声波的传播过程是绝热的， 又因为是微弱扰动，可视为等熵过程。由等熵方程：
§11-1 声速和马赫数
一、流体的可压缩性与微弱扰动的传播 在可压缩性介质中，压强扰动以波的形式传播，其传播速度的大小与介质的压缩性有
关。例如，声音即为一微弱的压强性不同，可压缩性小的传播速度高，可压缩性大的传播 速度低。由此可见，声速值反映了流体可压缩性的大小。
p+dp ρ+dρ dV
T+dT
p a ρ 静止气体
3
p = C = 常数 ρk
可得 dp = k p dρ ρ
代入(3)式，使可得到
a = dp = k p = kRT
(4)
dρ
ρ
用该式计算的声速值与实测值基本一致。
声速值反映了流体的可压缩性，声速值的大小与流体种类和所处状态有关。对于某种
气体来说，它仅是温度的函数，因此，声速值也是气体的状态参数之一。在同一流场中，
2
1
)2
a0 k +1
(11)
T* = 2 T0 k + 1
(12)
利用等熵方程，得：
k
p* = ( 2 ) k−1 p0 k +1
(13)
1
ρ* = ( 2 ) k−1 ρ0 k +1
(14)
3.极限状态
6
气体在绝热流动中，它的总能量是一个常数。如果气体充分膨胀，加速，将分子无规
则运动的动能全部转换为宏观运动的动能，则气流的静压 p 和静温 T 将降为 0，气体的速 度将达到最大值 Vmax ，这时的状态称为极限状态。最大速度是气流膨胀到真空时的极限速
+ ⋯]
因而得到
p0 − p = 1+ M 2 + (2 − k)M 4 +⋯ = ε
1 ρV 2
4
24
2
求得速度表达式为
V = 2 ( p0 − p)
(b)
ερ
ε为恒大于 1 的值。比较(a)和(b)两式可知，按不可压流计算的结果将大于可压缩流计算的 结果。两者之比为：
V不可压 = ε V可压流
对于空气来说，k=1.4。当 M=0.2 时，若按不可压流处理，皮托管测速误差约为 0.6%。在 常温下，这时的空气流速约为 68m/s。若 M=0.3，则测速误差约为 1.1%，常温下相应的空 气流速约为 102m/s。
T T0
=
1
−
k k
− +
1 1
M
2 *
(19)
a
=
(1
−
k
−1
M
2 *
)
1 2
(20)
a0
k +1
p
=
(1 −
k
−1
M
k
2 *
)
k
−1
(21)
p0
k +1
ρ ρ0
=
(1
−
k k
−1 +1
M
2 *
)
k k −1
(22)
上述四式和前面的用 M 数表达的四个式子一样，都称为气体动力学函数式，适用条件
也完全相同。
M=0 时，M*=0，不可压流； M<1 时，M*<1，亚声速流； M=1 时，M*=1，声速流； M>1 时，M*>1，超声速流。 但是，当 M → ∞ 时，速度系数 M，却趋于一有限值
k +1 M *max = k − 1 这是由于声速值随气流速度的增大而减小，当 V→Vmax 时，a→0，故 M → ∞ ；而临界
)
k k −1
p
2
当 M 数较小时，上式可用二项式展开
p0
≈1+ k
M 2[1 +
M2
(2 − k)M 4 +
+ ⋯]
p
2
4
24
其中 k M 2 = k V 2 = k V 2 = ρV 2 ，代入上式，得
2
2 a 2 2 kp / ρ 2 p
8
p0
=
p+
ρV 2 2
[1 +
M2 4
+
(2 − k)M 4 24
4
§11-2 气体的一维定常等熵流动
一、 一维定常流动的基本方程
1、连续性方程：
ρVA = 常数
或
dρ dV dA + + =0
(1)
ρV A
2、欧拉运动微分方程
由于气体密度较小，可以忽略质量力的影响，一维理想流体的欧拉运动微分方程为：
1 VdV + dp = 0
(2)
ρ
3、绝热流动的能量方程：
V2 h+
度。利用能量方程：
V2 h+
2
= Vmax 2 2
= h0
Vmax =
2h0 =
2k k −1 RT0 =
2a0 k −1
RT0
(15)
最大速度是理论上的极限值，实际上不可能达到。
三、速度系数
以气流速度和临界声速之比表示气体的流动，称为速度系数，
V M ∗ = a∗
M 与 M*的关系为：
M2
V2 =
1
小增量 dp、dρ和 dV。这样一层一层向前传播，形成了一个已受扰动和未受扰动区域的分界 面，这个分界面以速度 a 向前运动。在扰动分界面尚未到达的区域，即未受扰动区，气体 质点的速度为 V=0，其压强、密度和温度分别为 p、ρ和 T；在扰动分界面之后，即已受扰 动的区域，气体的各物理参数分别为 dV、 p + dp 、 ρ + dρ 和T + dT 。扰动分界面即相当于 一道扰动波，并以 a 的速度向前传播，而波后受扰动的气体质点以速度 dV 运动。应注意区 分波的传播速度 a 和质点的运动速度。下面将推导微弱扰动的传播速度。
7
声速 a*不随 V 而变，故当 V→Vmax 时，M*为一有限值。除此这外，因 a*为常数，若已知各 点 M，而求 V 时，只需用 M*乘以 a*便可得到，而不必求出每一点的 a 值，比 M 数似乎要 方便一些。
将(18)式代入到(7)—(10)各式中，便可得到用速度系数 M*表示的气体动力学函数式
质点向前运动的距离为 dVdt，到达截面 1′处。
t 1 1’
t+dt 2
1 1’
2
dυdt
adt
图 11-2
根据质量守恒定理，可建立方程：
(ρ + dρ )aAdt = ρaAdt + (ρ + dρ )AdVdt
得
dV = adρ
(1)
ρ + dρ
根据动量定理：研究在 t 时刻位于 1-2 之间的质量系统经 dt 时间的动量变化。在时刻 t，
(8)
T
2
利用等熵方程，得：
k
p0 = (1 + k − 1 M 2 ) k−1
(9)
p
2
1
ρ0 = (1 + k − 1 M 2 ) k−1
ρ
2
(10)
上述为等熵流的最重要的关系式，成为气体动力学函数。在已知滞止参数的情况下，
可利用上述各式由气流的 M 数求出相应的各物理参数，也可用于由已知参数求滞止参数。
该系统占据 1-2 之间的体积，其质量为 ρadtA ；在时刻 t+dt，该系统占据 1’-2 之间的体积，
2
比原体积减少了 AdVdt，但其质量仍为 ρadtA 。现列出该系统的动量方程：
ρadtA(dV − 0) = [( p + dp)A − pA]dt ，得
dV = dp
(2)
ρa
由(1)和(2)两式可得：
= 常数
或 dh + VdV = o
(3)
2
4、完全气体的状态方程
p = RT
(4)
ρ
5、等熵过程方程
k −1
p ρk
= 常数 ，
p2 p1
= ( ρ2 )k ， T2
ρ1
T1
⎛ = ⎜⎜⎝
p2 p1
⎞ ⎟⎟⎠
k
= ( ρ 2 )k −1 ρ1
(5)
二、等熵流动的三个参考状态及流动计算
(1) 滞止状态
度通常称为声速。
公式(3)适用于气体、液体和一切弹性连续介质。
式(3)是声速的通用表达式，要计算某种流体中的具体声速值。尚需确定 dp 和 dρ的关系。
对于液体来说，可用液体的弹性模量关系式， E = ρdp / dρ ，得
a = dp = E
(4)
dρ ρ
三、气体中的声速 对于气体，比值 dp / dρ 取决于微弱扰动所引起的热力学过程。最早进行研究的是牛顿，
第十一章 气体的一维高速流动
前面各章研究了不可压缩流体的运动，即认为流体在流动中其密度不变。所得到的不 可压缩流体的运动规律，不仅适用于液体的运动，也适用于流速不高的气体运动。当然， 严格说任何流体都是可压缩的。不过，在我们通常所研究的流体运动中，液体的密度变化 非常小，往往可以忽略不计；而气体在低速运动时，其密度变化也不大，若忽略其变化， 把密度作为常数来处理，可使问题大为简化，而又不致引起大的误差。例如，通常在常温 下空气流速低于 70m/s 时，其密度变化不高于 2%，以皮托管测量气体流速为例，忽略密度 变化所引起的误差不超过 1%。当流速增高时，气体的密度变化就会增大，若再按不可压缩 流体处理，所引起的误差就会增大。所以，对于气体的高速流动，必须考虑其密度的变化， 按可压缩流体处理。故研究气体的高速流动，通常称为可压缩流体动力学，又叫气体动力 学。
四、气流按不可压缩处理的限度
根据气体动力学函数式，可分析不考虑压缩性所带来的误差。下面用皮托管测流速问
题来说明。皮托管所测的是气流总压和静压之差。对于不可压流体，
p0
=
p+
1 2
ρV 2
可得
p0 − p = 1
V = 2( p0 − p)
(a)
1 ρV 2
ρ
2
对于可压缩流体
p0
= (1 −
k
−
1
M
2
将气流速度按等熵过程滞止为 0，气体的动能完全转化为焓，这个状态称为滞止状态。
分别以 h0，p0，ρ0，T0 和 a0 表示滞止焓、滞止压强、滞止密度、滞止温度和滞止声速。 根据绝热流动的能量方程，可得：
V2 h+
2
= h0
= 常数
(6)
滞止焓代表单位质量气体的总能量。由热力学可知， h
=
cpT
， cp
a2 = dp ρ + dρ dρ ρ
由于是微弱扰动， ρ + dρ ≈ 1 所以 ρ
a = dp
(3)
dρ
即为微弱扰动在可压缩性流体中的传播速度。在推导中，所讨论的是压缩性扰动；如
果按膨胀性扰动推导，也会得到同样的结果。
声波就是一种微弱扰动波，声音的传播速度公式即为(3)式。因此，微弱扰动的传播速
− cV
=
R和k
=
cp cV
，并利
用状态方程和声速关系式，焓可以写为：
k
k p a2
h
= cpT
=
k
RT −1
=
k
−1
ρ
=
k
−1
滞止焓： h = cpT0
=
k k −1 RT0
=
k p0 k −1 ρ0
=
a0 2 k −1
5
将上述关系式代入绝热流动的能量方程中，可得：
V2 cpT + 2 = cpT0