流体力学第十一章

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四、气流按不可压缩处理的限度
根据气体动力学函数式,可分析不考虑压缩性所带来的误差。下面用皮托管测流速问
题来说明。皮托管所测的是气流总压和静压之差。对于不可压流体,
p0
=
p+
1 2
ρV 2
可得
p0 − p = 1
V = 2( p0 − p)
(a)
1 ρV 2
ρ
2
对于可压缩流体
p0
= (1 −
k

1
M
2
度。利用能量方程:
V2 h+
2
= Vmax 2 2
= h0
Vmax =
2h0 =
2k k −1 RT0 =
2a0 k −1
RT0
(15)
最大速度是理论上的极限值,实际上不可能达到。
三、速度系数
以气流速度和临界声速之比表示气体的流动,称为速度系数,
V M ∗ = a∗
M 与 M*的关系为:
M2
V2 =
7
声速 a*不随 V 而变,故当 V→Vmax 时,M*为一有限值。除此这外,因 a*为常数,若已知各 点 M,而求 V 时,只需用 M*乘以 a*便可得到,而不必求出每一点的 a 值,比 M 数似乎要 方便一些。
将(18)式代入到(7)—(10)各式中,便可得到用速度系数 M*表示的气体动力学函数式
3
p = C = 常数 ρk
可得 dp = k p dρ ρ
代入(3)式,使可得到
a = dp = k p = kRT
(4)

ρ
用该式计算的声速值与实测值基本一致。
声速值反映了流体的可压缩性,声速值的大小与流体种类和所处状态有关。对于某种
气体来说,它仅是温度的函数,因此,声速值也是气体的状态参数之一。在同一流场中,
M=0 时,M*=0,不可压流; M<1 时,M*<1,亚声速流; M=1 时,M*=1,声速流; M>1 时,M*>1,超声速流。 但是,当 M → ∞ 时,速度系数 M,却趋于一有限值
k +1 M *max = k − 1 这是由于声速值随气流速度的增大而减小,当 V→Vmax 时,a→0,故 M → ∞ ;而临界
4
§11-2 气体的一维定常等熵流动
一、 一维定常流动的基本方程
1、连续性方程:
ρVA = 常数

dρ dV dA + + =0
(1)
ρV A
2、欧拉运动微分方程
由于气体密度较小,可以忽略质量力的影响,一维理想流体的欧拉运动微分方程为:
1 VdV + dp = 0
(2)
ρ
3、绝热流动的能量方程:
V2 h+
= 常数
或 dh + VdV = o
(3)
2
4、完全气体的状态方程
p = RT
(4)
ρ
5、等熵过程方程
k −1
p ρk
= 常数 ,
p2 p1
= ( ρ2 )k , T2
ρ1
T1
⎛ = ⎜⎜⎝
p2 p1
⎞ ⎟⎟⎠
k
= ( ρ 2 )k −1 ρ1
(5)
二、等熵流动的三个参考状态及流动计算
(1) 滞止状态
度通常称为声速。
公式(3)适用于气体、液体和一切弹性连续介质。
式(3)是声速的通用表达式,要计算某种流体中的具体声速值。尚需确定 dp 和 dρ的关系。
对于液体来说,可用液体的弹性模量关系式, E = ρdp / dρ ,得
a = dp = E
(4)
dρ ρ
三、气体中的声速 对于气体,比值 dp / dρ 取决于微弱扰动所引起的热力学过程。最早进行研究的是牛顿,
)
k k −1
p
2
当 M 数较小时,上式可用二项式展开
p0
≈1+ k
M 2[1 +
M2
(2 − k)M 4 +
+ ⋯]
p
2
4
24
其中 k M 2 = k V 2 = k V 2 = ρV 2 ,代入上式,得
2
2 a 2 2 kp / ρ 2 p
8
p0
=
p+
ρV 2 2
[1 +
M2 4
+
(2 − k)M 4 24
+ ⋯]
因而得到
p0 − p = 1+ M 2 + (2 − k)M 4 +⋯ = ε
1 ρV 2
4
24
2
求得速度表达式为
V = 2 ( p0 − p)
(b)
ερ
ε为恒大于 1 的值。比较(a)和(b)两式可知,按不可压流计算的结果将大于可压缩流计算的 结果。两者之比为:
V不可压 = ε V可压流
对于空气来说,k=1.4。当 M=0.2 时,若按不可压流处理,皮托管测速误差约为 0.6%。在 常温下,这时的空气流速约为 68m/s。若 M=0.3,则测速误差约为 1.1%,常温下相应的空 气流速约为 102m/s。
二、微弱扰动的传播速度——声速
为确定扰动的传播速度 a,可利用质量守恒定理和动量定理。
如图 11-2 所示,在时刻 t,波面位于截面 1 处。在 t+dt 时刻,波面位于截面 2 处,这
时 1-2 之间的流体质量为 (ρ + dρ)adtA ,A 为管道横截面积。而在时刻 t,该区域的质量为
ρadtA ,两者之差是由于截面 1 处的流体质点已具有速度 dV,dt 时间内,该截面处的流体
T
图 11-1 微弱扰动的传播
下面说明微弱扰动波的传播过程。如图 11-1 所示,管中充满可压缩流体,左端装有一 活塞,原处于静止状态。当活塞突然以速度 dV 向右运动时,活塞附近的流体首先被压缩, 其压强产生一微小增量 dp,密度也有一微小增量 dρ;同时,这一层流体质点也以速度 dV 向前运动。这一层被压缩了的流体随之又压缩其前方邻近的一层流体,使其也产生一个微
T T0
=
1

k k
− +
1 1
M
2 *
(19)
a
=
(1

k
−1
M
2 *
)
1 2
(20)
a0
k +1
p
=
(1 −
k
−1
M
k
2 *
)
k
−1
(21)
p0
k +1
ρ ρ0
=
(1

k k
−1 +1
M
2 *
)
k k −1
(22)
上述四式和前面的用 M 数表达的四个式子一样,都称为气体动力学函数式,适用条件
也完全相同。
a2 = dp ρ + dρ dρ ρ
由于是微弱扰动, ρ + dρ ≈ 1 所以 ρ
a = dp
(3)

即为微弱扰动在可压缩性流体中的传播速度。在推导中,所讨论的是压缩性扰动;如
果按膨胀性扰动推导,也会得到同样的结果。
声波就是一种微弱扰动波,声音的传播速度公式即为(3)式。因此,微弱扰动的传播速
− cV
=
R和k
ห้องสมุดไป่ตู้
=
cp cV
,并利
用状态方程和声速关系式,焓可以写为:
k
k p a2
h
= cpT
=
k
RT −1
=
k
−1
ρ
=
k
−1
滞止焓: h = cpT0
=
k k −1 RT0
=
k p0 k −1 ρ0
=
a0 2 k −1
5
将上述关系式代入绝热流动的能量方程中,可得:
V2 cpT + 2 = cpT0
a2
V2 =
a∗2
a∗2 a02
a02 a2
=
M
2 ∗
a∗2
a
2 0
a02 a2
将式(7)和(11)代入,得
(16)
k +1M 2
M
2 ∗
=
1+
2 k
−1M
2
(17)
2

M2 =
k
2 +
1
M
2 ∗
(18)
1−
k k
−1 +1
M
2 ∗
由以上两式可以看出,同马赫数一样,速度系数也是划分气体类型的标准,即
第十一章 气体的一维高速流动
前面各章研究了不可压缩流体的运动,即认为流体在流动中其密度不变。所得到的不 可压缩流体的运动规律,不仅适用于液体的运动,也适用于流速不高的气体运动。当然, 严格说任何流体都是可压缩的。不过,在我们通常所研究的流体运动中,液体的密度变化 非常小,往往可以忽略不计;而气体在低速运动时,其密度变化也不大,若忽略其变化, 把密度作为常数来处理,可使问题大为简化,而又不致引起大的误差。例如,通常在常温 下空气流速低于 70m/s 时,其密度变化不高于 2%,以皮托管测量气体流速为例,忽略密度 变化所引起的误差不超过 1%。当流速增高时,气体的密度变化就会增大,若再按不可压缩 流体处理,所引起的误差就会增大。所以,对于气体的高速流动,必须考虑其密度的变化, 按可压缩流体处理。故研究气体的高速流动,通常称为可压缩流体动力学,又叫气体动力 学。
k
V2 k
RT + k −1
2
= k −1 RT0
k
p V2 +=
k
p0
k −1 ρ 2 k −1 ρ0
a2
V2 +
=
a02
k −1 2 k −1
上述各式都是绝热流动的能量方程,是用不同参数表达的同一个方程。能量方程适用
于绝热过程。
利用马赫数表达,为
a0
= (1 +
k
−1
M
2
)
1 2
(7)
a
2
T0 = 1 + k −1 M 2
质点向前运动的距离为 dVdt,到达截面 1′处。
t 1 1’
t+dt 2
1 1’
2
dυdt
adt
图 11-2
根据质量守恒定理,可建立方程:
(ρ + dρ )aAdt = ρaAdt + (ρ + dρ )AdVdt

dV = adρ
(1)
ρ + dρ
根据动量定理:研究在 t 时刻位于 1-2 之间的质量系统经 dt 时间的动量变化。在时刻 t,
2
1
)2
a0 k +1
(11)
T* = 2 T0 k + 1
(12)
利用等熵方程,得:
k
p* = ( 2 ) k−1 p0 k +1
(13)
1
ρ* = ( 2 ) k−1 ρ0 k +1
(14)
3.极限状态
6
气体在绝热流动中,它的总能量是一个常数。如果气体充分膨胀,加速,将分子无规
则运动的动能全部转换为宏观运动的动能,则气流的静压 p 和静温 T 将降为 0,气体的速 度将达到最大值 Vmax ,这时的状态称为极限状态。最大速度是气流膨胀到真空时的极限速
§11-1 声速和马赫数
一、流体的可压缩性与微弱扰动的传播 在可压缩性介质中,压强扰动以波的形式传播,其传播速度的大小与介质的压缩性有
关。例如,声音即为一微弱的压强性不同,可压缩性小的传播速度高,可压缩性大的传播 速度低。由此可见,声速值反映了流体可压缩性的大小。
p+dp ρ+dρ dV
T+dT
p a ρ 静止气体
由于各点的温度随气体的速度而变化,故各点的声速值也不同,所以有当地声速之称。
四、马赫数 在气体动力学中,常用气体流速与当地声速之比 V M= a 作为气体流动的一个重要参数,称为马赫(Mach)数,M<1 为亚声速流动;M=1 为声速
流动;M>1 为超声速流动。在随后各节的讨论会看到,不同的范围的气流,其性质有很大 的差别,引入马赫数的概念对研究气体高速流动有着重要意义。
2.临界状态
由能量方程可知,气体在绝热流动过程中,当地声速 a 随着气流速度的增大而减小,
在某个流动截面,气体流速 V 恰好等于当地声速 a,这个状态就是由亚声速向超声速转变
的临界状态,一般称为临界状态。相应的物理参数成为临界参数,以 h*,p*,ρ*,s*,T*和
a*。将 M=1 代入可得:
a* = (
将气流速度按等熵过程滞止为 0,气体的动能完全转化为焓,这个状态称为滞止状态。
分别以 h0,p0,ρ0,T0 和 a0 表示滞止焓、滞止压强、滞止密度、滞止温度和滞止声速。 根据绝热流动的能量方程,可得:
V2 h+
2
= h0
= 常数
(6)
滞止焓代表单位质量气体的总能量。由热力学可知, h
=
cpT
, cp
他认为微弱扰动引起的温度变化很小,可以忽略不计,按等温过程处理。因而得出
a = dp = RT 的结论。按该式计算的 0°C 情况下空气中声音传播速度为 280m/s,但当时 dρ
实际测量的声音传播速度为 330m/s。两者相差超过 17%。牛顿曾解释为空气中的灰尘和水 份阻碍了声音的传播。后来拉普拉斯纠正了这一理论错误,认为声波的传播过程是绝热的, 又因为是微弱扰动,可视为等熵过程。由等熵方程:
(8)
T
2
利用等熵方程,得:
k
p0 = (1 + k − 1 M 2 ) k−1
(9)
p
2
1
ρ0 = (1 + k − 1 M 2 ) k−1
ρ
2
(10)
上述为等熵流的最重要的关系式,成为气体动力学函数。在已知滞止参数的情况下,
可利用上述各式由气流的 M 数求出相应的各物理参数,也可用于由已知参数求滞止参数。
1
小增量 dp、dρ和 dV。这样一层一层向前传播,形成了一个已受扰动和未受扰动区域的分界 面,这个分界面以速度 a 向前运动。在扰动分界面尚未到达的区域,即未受扰动区,气体 质点的速度为 V=0,其压强、密度和温度分别为 p、ρ和 T;在扰动分界面之后,即已受扰 动的区域,气体的各物理参数分别为 dV、 p + dp 、 ρ + dρ 和T + dT 。扰动分界面即相当于 一道扰动波,并以 a 的速度向前传播,而波后受扰动的气体质点以速度 dV 运动。应注意区 分波的传播速度 a 和质点的运动速度。下面将推导微弱扰动的传播速度。
该系统占据 1-2 之间的体积,其质量为 ρadtA ;在时刻 t+dt,该系统占据 1’-2 之间的体积,
2
比原体积减少了 AdVdt,但其质量仍为 ρadtA 。现列出该系统的动量方程:
ρadtA(dV − 0) = [( p + dp)A − pA]dt ,得
dV = dp
(2)
ρa
由(1)和(2)两式可得:
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