福州中考数学考点研究(张雯)
初中数学中辅助线有效应用的研究
初中数学中辅助线有效应用的研究李㊀丽(武夷山市第三中学ꎬ福建武夷山３５４３００)摘㊀要:辅助线的有效应用可以帮助学生更好地学习几何知识ꎬ从而提高学生的数学综合能力ꎬ落实数学学科核心素养的培养.文章将阐述辅助线的具体内容ꎬ分析初中数学中辅助线应用中存在的问题ꎬ提出促进初中数学中辅助线应用的有效路径.关键词:初中数学ꎻ辅助线ꎻ有效路径中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)０８－００１１－０３收稿日期:２０２２－１２－１５作者简介:李丽(１９８４.１－)ꎬ女ꎬ福建省武夷山人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事初中数学教学研究.㊀㊀辅助线应用是几何教学的重点与线索ꎬ可以培养学生的抽象思维㊁逻辑推理能力和空间想象能力ꎬ从而对学生学习产生积极的学习意义.伴随新课改的逐渐推进ꎬ初中数学教学的侧重点不是在普通的知识传递上ꎬ而是在学生能力培养的层面上.因此ꎬ促进初中数学中辅助线应用的教学ꎬ可以加强对学生的思维训练和能力培养[１].１辅助线的具体内容１.１辅助线的含义辅助线的基础含义是指学生在解答数学几何问题时ꎬ基于原图所作的具有解题价值的直线或线段.在作辅助线时ꎬ学生需要遵守以下原则:首先ꎬ需要秉承 集合 的原则ꎬ即将题目和图形中分散的几何元素转化为集中的几何元素ꎬ比如说在关于三角形的问题中可以将分散的几何元素集中于一个三角形或两个全等的三角形之中ꎬ以便于应用其他定理完成证明[２]ꎻ其次ꎬ需要坚持 化繁为简 的原则ꎬ即面对不规则的图形时需要第一时间想到通过辅助线将其转化为规则的图形ꎬ面对复杂的图形时需要第一时间通过辅助线将其转化为清晰可见的简单图形ꎻ最后ꎬ应当注重虚实线的结合ꎬ即在平面几何问题中用虚线表示辅助线.在立体几何中用虚线表示看不见的辅助线ꎬ用实线表示看得见的辅助线.１.２辅助线的数学作用１.２.１挖掘隐含的性质或条件辅助线在数学题型中的具体作用之一是为学生挖掘隐含的几何性质或条件等.即在题目条件与结论之间关系不明晰时ꎬ学生可以透过合适的辅助线发现隐藏的图形性质或其他已知条件ꎬ从而获得过渡性的推论ꎬ最终得出正确结论.１.２.２集中分散的几何因素辅助线在数学题型中的具体作用之二是为学生集合分散的几何因素.即通过辅助线的应用将图形中分散㊁远离的几何因素转化为集中呈现的几何因素ꎬ为题设条件和结论之间构建合理的逻辑关系ꎬ从而得出正确结论.１.２.３化复杂为简单辅助线在数学题型中的具体作用之三是为学生化繁为简.即通过辅助线的设计将复杂的图形通过拆解分为若干个简单的图形呈现出来ꎬ从而化复杂为简单㊁化难为易.１.２.４发掘特殊点㊁线辅助线在数学题型中的具体作用之四是为学生１１发掘特殊的点和线的数学价值.即通过辅助线的设计将特殊的点㊁线或图形性质等呈现至学生面前ꎬ驱使学生基于这些特殊点㊁线的作用推导条件与结论的深层逻辑ꎬ最终完成结论推导.１.２.５构造新图形辅助线在数学题型中的具体作用之五是为学生在原图的基础上构造新图形.由于部分特殊题型的存在ꎬ学生需要应用辅助线在原图基础上构造新图形ꎬ并借助该图形完成条件与结论的联系ꎬ从而完成结论导出.１.３辅助线应用的教学意义１.３.１促进新课改的深入推进新课改已明确提出ꎬ教师在进行数学教学时ꎬ需要注重增强学生的几何直观意识和提高学生的几何推理能力.而辅助线应用在实际学习中将有助于培养学生的抽象思维㊁逻辑推理思维和空间想象能力.因此ꎬ辅助线应用的优化教学将有利于促进新课改这部分内容的深入推进ꎬ落实以学生的发展为本的教育原则.１.３.２提高学生解决问题的能力综合辅助线具体的数学作用ꎬ辅助线应用可以帮助学生提高解决实际问题的能力.具体来说ꎬ辅助线应用可以挖掘图形中的潜在信息ꎬ以此可以培养学生的思考能力㊁推理能力和空间想象能力ꎻ辅助线应用还可以通过信息整合帮助学生提高信息整合能力㊁数据分析能力和空间想象能力ꎻ辅助线应用还可以通过化繁为简㊁化难为易等降低学习难度ꎬ帮助学生建立数学学习的自信心ꎻ辅助线的应用还可以帮助学生提高知识应用能力ꎬ促进数学学习的思维拓展与能力训练.２初中数学中辅助线应用中存在的问题２.１缺乏系统性学习从当前初中数学的教学现状来看ꎬ教师关于辅助线应用的教学虽有开展ꎬ但缺乏系统性.在实际的初中数学教学中ꎬ辅助线应用的教学常常伴随着平面几何或空间几何的题目教学而展开ꎬ导致学生在实际的学习中缺乏对辅助线应用的系统性学习ꎬ从而不利于学生完成相应的知识迁移ꎬ继而不能灵活运用辅助线展开另一类题型的分析与解答.２.２缺乏深入的概念学习从当前初中数学的教学现状来看ꎬ教师关于辅助线应用的教学虽有开展ꎬ但由于缺乏专题性教学ꎬ辅助线应用的教学往往不能引起学生深入的概念学习.而缺乏深入的概念学习ꎬ会导致学生对于辅助线的认识与理解仅仅停留在基础浅薄的层面ꎬ从而影响了学生对辅助线的实际应用ꎬ不利于促进学生的深度学习ꎬ也不利于培养学生的知识应用能力.３促进初中数学中辅助线应用的有效路径３.１设计专题教学初中数学教师可以以 辅助线应用 为专题设计并开展相应的教学专题ꎬ通过系统性的专题学习深化学生对于辅助线的概念认识与应用.例如ꎬ教师可以通过网络查询㊁题型分析和教师之间的交流等完善一套 辅助线应用 的教学方案ꎬ并以此方案落实具体教学[３].教师可以根据三角形㊁平行四边形㊁梯形和圆的分类方式设计对应的教学策略.首先ꎬ关于三角形的题型ꎬ大致包含三种作辅助线的思路.中线思路 ꎬ如果实际题型中涉及三角形中线ꎬ常常将中线加倍ꎻ而无中线时通常会出现中点的概念ꎬ学生应该就着中线思路绘制三角形的中位线作为辅助线完成后续条件的证明与推理ꎬ从而化繁为简㊁化难为易ꎬ解决问题.平分线思路 ꎬ如果实际题型中涉及角平分线ꎬ学生常常遵循平分线思路ꎬ以角平分线为对称轴并利用角平分线自身的特点与性质联系题中已知条件构造出全等三角形ꎬ从而利用全等三角形的性质与相关知识完成问题解答.等线段思路 ꎬ如果实际遇到的题型中提到 两线段相等 的结论ꎬ学生应当作辅助线以构成全等三角形或角平分线段等并利用对应的定理以丰富自身思路ꎬ完成后续解答.其次ꎬ关于平行四边形的问题ꎬ大致包括五种作辅助线的思路.在开展该小专题的部分教学时ꎬ教师应当在教学开始之初为学生阐明矩形㊁正方形㊁菱形２１与平行四边形的关系ꎬ在此基础上共同讲解并分析这些图形关于两组对边㊁对角和对角线的相同性质ꎬ提供大致的作辅助线的统一思路[４].在完成大致思路的概述后ꎬ教师就可以以此展开具体的思路分析.第一ꎬ 对角线 原则.学生在遇到平行四边形问题时可以先考虑 对角线 原则ꎬ通过连成对角线或平移对角线将平行四边形分成两个三角形ꎬ从而完成化繁为简的作辅助线工作ꎬ完成最终的问题解答.第二ꎬ 直角 原则.学生可以按照方法顺序考虑直角原则ꎬ过某一顶点作对边垂线为辅助线ꎬ以此构建平行四边形中的直角三角形.第三ꎬ构建线段关系.比如说连接对角线的交点与一边中点或过对角线交点作与一边形成平行关系的平行线ꎬ从而构成线段平行或中位线关系ꎬ促进问题解答.第四ꎬ构造三角形相似或等积关系.如连接顶点与对边上一点的线段或延长为辅助线ꎬ从而促进相似三角形或等积三角形的构成ꎬ最终完成解答.第五ꎬ过顶点作对角线的垂线为辅助线ꎬ以此构造平行四边形中的线段平行关系或全等三角形的关系.关于梯形这一特殊四边形的题型思路分析ꎬ基于梯形的特点和性质ꎬ教师可以通过综合平行四边形和三角形题型的思路概括引导学生将梯形问题转化为上述的平行四边形问题或三角形问题ꎬ从而促进问题的实际解决.具体而言ꎬ学生可以在梯形内部㊁梯形外部通过平移一条腰㊁两条腰或延长两腰转化为简单的三角形或平行四边形的问题ꎻ此外还可以通过以梯形上底的两端点向下底作高为辅助线㊁平移对角线而形成辅助线等构成等线段或其他关系ꎻ还可以通过连接梯形的一个顶点以及一条腰的中点或过一条腰中点作另一条腰的平行线㊁中位线等.最后一个小专题是关于圆形的题型.由于圆形自身的特殊性以及其与其他图形的分离性ꎬ圆形问题的处理往往需要借助辅助线的应用以构建其与其他图形之间的关系ꎬ从而促进问题的推进与证明.关于圆形题型的解答ꎬ教师亦可以分为以下五个思路供学生思考:通过弦作弦心距为辅助线并利用垂径平分定理构成题目已知条件与求证结论之间的联系ꎻ通过直径作辅助线为圆周角并利用 直径所对的圆周角是直角 的性质完成问题证明ꎻ通过连结切点的半径为辅助线并利用 切线与半径垂直 的性质推进结论证明ꎻ作两圆形的公切线或连心线ꎬ联系与圆相关的角的关系ꎬ从而厘清题目已知条件与结论之间的逻辑关系ꎻ构建两个相交圆的公共弦ꎬ通过公共弦联系两个圆形或两圆之中的圆周角或圆心角的关系.在 辅助线应用 总结性专题教学的最后ꎬ教师应当强调学生在运用上述原则或思路时要注重灵活性原则.３.２引入多媒体教学为促进初中数学辅助线的应用ꎬ初中数学教师可以在系统性的辅助线应用专题教学中借助信息技术的特点与优势ꎬ以此丰富课堂教学的趣味性ꎬ提高辅助线应用专题教学的直观性和形象性ꎬ从而提高该专题教学的效率和质量.教师可以通过计算机技术的便利在课上帮助学生实现不同作辅助线的方法ꎬ促使学生在不断试错中积累学习经验ꎬ从而加深学习印象.此外ꎬ教师还可以应用计算机技术的精确性和灵活性为学生设计专门的电子笔记ꎬ为学生反复思考与验证提供便利ꎬ从而提高学生的学习效率和质量.综上ꎬ为促进初中数学辅助线的应用ꎬ初中数学教师可以通过设计关于辅助线应用的专题教学以提高辅助线应用的学习系统性ꎬ通过引入多媒体ꎬ借助信息技术优势提高辅助线应用课堂教学的趣味性㊁直观性和形象性ꎬ从而借助辅助线应用这一数学方法促进学生的思维培养与能力发展.参考文献:[１]高海军.初中数学辅助线生成的教学实践与思考[Ｊ].基础教育论坛ꎬ２０２１(３４):２４－２６. [２]陈琳.三角形辅助线探究式教学研究[Ｄ].武汉:华中师范大学ꎬ２０１９.[３]萨娜.初中平面几何添加辅助线教学研究[Ｄ].呼和浩特:内蒙古师范大学ꎬ２０１９. [４]庄周燕.例析数学解题中添加辅助线技巧[Ｊ].中学教学参考ꎬ２０１８(０８):２６－２７.[责任编辑:李㊀璟]３１。
2001-2012年福州市中考试题分类解析(6)函数的图像与性质
选择题1. （2001年福建福州4分）二次函数2y ax bx c(a 0)=++≠的图象如图所示，下列结论： （1）c 0<（2）b 0> （3）4a 2b c 0++> （4）22(a c)b +<其中正确的有【 】 A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C 。
【考点】二次函数图象与系数的关系。
【分析】（1）∵图象与y 轴交于y 轴负半轴，则c ＜0，正确。
（2）∵对称轴bx 12a=-=，开口向下，∴a ＜0，故b ＞0，正确。
（3）当x=2时，y ＜0，即4a ＋2b ＋c ＞0，错误。
（4）22(a c)b +<可化为（a －b ＋c ）（a ＋b ＋c ）＜0，∵当x=1时，a ＋b ＋c ＞0，当x=－1时，a －b ＋c ＜0，故22(a c)b +<正确。
故选C 。
2. （2002年福建福州4分）如果反比例函数ky x=的图象经过点（－2，－1），那么k 的值为【 】 （A ）21 （B ）－21 （C ）2 （D ）－2【答案】C 。
【考点】曲线上点的坐标与方程的关系。
【分析】根据点在曲线上点的坐标满足方程的关系，将（－2，－1）代入kyx=，得k12-=-，解得k=2。
故选C。
3. （2002年福建福州4分）已知：二次函数y＝x2+bx+c与x轴相交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，其顶点坐标为P（b2-，24c b4-），AB＝︱x1－x2︱，若S△APB＝1，则b与c的关系式是【】（A）b2－4c＋1＝0 （B）b2－4c－1＝0 （C）b2－4c＋4＝0 （D）b2－4c－4＝04. （2003年福建福州4分）反比例函数4yx=-的图象大致是【】（A）（B）（C）（D）【答案】A。
【考点】反比例函数的图象。
【分析】根据反比例函数的图象性质并结合其比例系数k解答即可：∵在反比例函数4yx=-中，－4＜0，∴图象在二四象限。
一线名师点评福州初三市质检数学试卷
一线名师点评福州初三市质检数学试卷福州新闻网讯 18日 ,福州市初三学生迎来了中考前最重要的一次考试——全市质量检查 ,考生将以此次成绩排名作为填报中招志愿的参考。
试卷表达了哪些中考命题思路、信息和亮点?考生下阶段复习要注意什么?18日 ,本报邀请我市初三一线名师 ,点评首日开考的语文、数学试卷 ,帮助考生了解试卷特点 ,把握下阶段的复习方向。
数学：题型较为常规考查活学活用点评人：福州延安中学初三数学集备组长陈国平试题分析：此次初三市质检数学的题型与题量与往年中考根本相同 ,难易得当、梯度明显、常规题型多 ,未出现怪题、偏题 ,能够真正检验各校学生第一轮复习的效果。
数学考试试题上手容易 ,试卷中的题型较为常规 ,多来源于教材 ,学生熟悉 ,难度不大。
本次试题着重考查学生根底知识 ,其中填空选择占了52分 ,解答题占了70分左右 ,根本分送得干脆利索 ,几何证明和解答 ,只要掌握好几何的根底知识 ,也能拿到根本分 ,多数学生都能够到达良好的成绩。
试题重点考查方程与函数互换的思维 ,如第10题 ,这种题型平时学生有一定接触 ,但此题有适当的提升 ,考查学生活学活用的能力 ,注重数学思想方法的渗透和形成。
试题还重视对学生思想方法的考查 ,特别是加强对分类讨论、数形结合、函数与方程、演绎推导、发现探究、处理数据、逻辑思维等能力的考查。
如第21题虽然是压轴题 ,但题型并不陌生 ,主要考查分类讨论思想 ,难度不会太大 ,有一定的探索性 ,不同程度的学生均有时机发挥自己真实的水平 ,有较大的区分度。
第22题 ,这道压轴题不偏不怪 ,立足于学生现有知识体系 ,能够考查学生根本功是否扎实 ,此题计算量稍大 ,略显繁琐 ,有些学生缺乏耐性 ,所以拿高分不易。
复习建议：下一阶段 ,考生复习还是要立足于教材 ,重视双基训练 ,重视训练计算能力 ,关注以函数为载体的试题 ,能力较好的同学还应找出薄弱点 ,有的放矢进行查缺补漏 ,根底一般的同学可以多做基此题的训练 ,对题目进行归纳分类 ,做到举一反三 ,也一样能取得较好的成绩。
福建省2022中考数学 教材梳理篇 第4章 三角形第19课时 相似(课堂讲本)课件
考点3 相似三角形的判定
例 4 【教材改编题】如图 4，∠1＝∠2，要使△ABC∽ △ADE，只需要添加一个条件即可，这个条件不可能是
( D) A．∠B＝∠D C．AADE＝AABC
B．∠C＝∠E D．AACE＝DBCE
例5 如图5，在4× 4的正方形网格中，小正 方形的边长均为1，△ABC的顶点都在格点上， 下列网格图中的三角形与△ABC相似的B是( )
例6如图6，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝2， 以AC为边作△ACE，∠ACE＝90°，AC＝CE，延长BC至点 D，使CD＝5，连接DE.求证：△ABC∽△CED.
证明：∵∠B＝90°，AB＝4，BC＝2，∴AC＝ 22＋42＝2 5 .
∵CE＝AC，∴CE＝2
5
，∴ACBE＝2
考点2 相似三角形的性质 例2 【2020·福州闽侯县模拟·4分】如图2，在△ABC中，
AC＝3，BC＝6，D为BC边上的一点，且∠BAC＝∠ADC.若 △ADC的面积为a，则△ABC的面积为( A )
A．4a B．3.5a C．2.5a D．2a
例3 如图3，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，使得 AE⊥DE.
∠DAE＝∠DCF＝∠EBF.
有△ACD∽△EBA.
2 考点突破
· 考点1 平行线分线段成比例 · 考点2 相似三角形的性质 · 考点3 相似三角形的判定
考点1 平行线分线段成比例
例 1 如图 1，在△ABC 中，DE∥BC，若 AD＝2，AB＝3， 则AAEC等于( D )
A．14 B．13 C．12 D．23
且△A′B′C′的面积等于△ABC面积的4倍；(要求：尺规 作图，不写作法，保留作图痕迹)
福州教育研究院李霞老师从数据看中考数学后期备考复习策略听课心
福州教育研究院李霞老师从数据看中考数学后期备考复习策略听课心一、因材施教，明确要求，突出重点1.要因材施教影响复习的因素很多，学生来自各个方面的压力很大，学生之间在数学知识技能和志趣上又存在着差异，他们的学习方法与态度、意志品质思想状况等经受着严峻的考验。
通过复习不仅要取得系统而牢固的知识与技能，还要使学生分析问题解决问题的能力有所提高。
因此，在复习中教师必须依据自己学生的实际情况，区别对待，因材施教，因势利导，显得尤为重要。
2.让每个学生每一节课都有所收获在复习中，教师不能急于求成，必须按顺序、分层次，有计划、有目的地进行复习，由浅入深，由点到面，让每个学生每节课都有收获。
3.制定合理的复习目标，突出重点初中数学复习，必须遵循新课标的要求，进行全面而有重点的复习。
对超出新课标和教材的知识、例题、习题，不管来自什么资料，都不要盲目列入复习范围，另外，把握复习的重点，一般来说，初中数学的重点内容包括：数的有关概念和有理数的运算；整式、分式、二次根式的运算及变形；一次方程（组）、分式方程、一元二次方程的解法及应用，一元一次不等式及不等式组的解法及应用；函数的有关概念、分类、图像及性质，会用待定系数法求解析式；统计初步及概率在现实生活中的应用；角、垂线、平行线的概念及相关性质、判定；全等三角形的性质与判定；五个基本作图；各种特殊平行四边形的概念、性质与判定；梯形的性质与判定；三角形中位线的性质；各种平行四边形和梯形的作图；勾股定理及逆定理的应用；相似三角形的性质与判定；三角函数的概念及解直角三角形；圆的一些重要性质，直线与圆、圆与圆相切的性质及判定，与圆有关的计算等等。
突出重点的复习方式有两种：一是分三阶段复习，第一阶段按知识系统全面复习，第二阶段对重点内容再复习，第三阶段查漏补缺及模拟；二是在全面复习的过程中，对重点内容进行“循环性”复习。
二、着眼“双基”，打好基础，学会运用基础知识是数学考试的重要组成部分，分值比重大，也是解决中、高档题的依据。
福建中考数学压轴题研究(张雯)
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福建中考压轴题分析
课件制作者：张雯
中考数学，题目相对容易， 大多数同学的得分都比较高， 所谓的区分度很大程度上取决于 最后两大题的压轴题。
那么，压轴题一般都考哪些呢？
通过研究分析2010-2012福建中考数学最后两题，得 到压轴题的考点主要有： 动点问题
函数 翻折、旋转、平移 三角形、四边形、圆
那么它们的重要程度是怎样的呢?
1
动点问题 函数
2
3 4 5
三角形 四边形 圆 旋转 翻折 平移
6
7
8
那么它们是如何考的呢？
下面举动点问题详细说明~~~~
由动点产生的问题
相似问题 等腰三角形问题
线段和差问题 平行四边形问题
面积问题
直角三角形问题 矩形问题
菱形问题
相切问题
2010年莆田中考
返回
2010年晋江中考
y A M B
O
C
x
返回
2010年莆田中考
返回
2010年莆田中考
返回
2010年漳州中考
返回
2010年龙岩中考
返回
2010年泉州中考
返回
2010年福州中考返回2010年泉州中考总而言之，中考数学压轴题型会有下面几类： （1）函数图象中点的存在性问题。解题关键：先求函数解 析式，然后在函数的图象上探求符合条件的点。 （2）图形运动中的函数关系问题。解题关键：运用分类 讨论思想，探求两个变量之间的函数关系，并根据实际 情况探求函数的定义域，进而在一般条件下探求符合条 件的特殊性。 （3）图形运动中的计算说理问题。解题关键：抓住图形运动 过程中的数据特征和不变关系，通过计算进行说理。 （4）图形的平移、旋转、翻折。解题关键：寻找运动 变化中的不变量，把握规律，探求关系，把图形的对称 性与分类讨论思想结合在一起解决一题多解问题。
关于2013年福州市中考数学试卷第22题第⑶题的疑问
关于2013年福州市中考数学试卷第22题第⑶题的疑问福清市宏路中学 陈莹华今年福州市中考数学试卷的第22题是一道开放探究型题目，做为试卷的压轴题，渗透了转化与化归思想、数形结合思想，要求学生具有很强的分析能力与综合解题能力。
但是经过思考，我发现本题的第⑶题可能有疑问，以下是我的分析过程：原题目为：我们知道，经过原点的抛物线可以是2y ax bx =+（0x ≠）。
⑴对于这样的抛物线：⑵继续探究，如果b ≠0，且过原点的抛物线顶点在直线y kx =（0k ≠）上，请用含k 的代数式表示b ；⑶现有一组过原点的抛物线，顶点1A ，2A ，…，n A 在直线y x =上，横坐标依次为1,2，…，n（n 为正整数，且n ≤12），分别过每个顶点作x 轴的垂线，垂足记为1B ，2B ，…，n B ，以线段n n A B 为边向右作正方形n n n n A B C D ，若这组抛物线中有一条经过点n D ，求所有满足条件的正方形边长。
本题中的第三问中招网给出的答案是： ⑶解：∵顶点n A 在在直线y x =上∴可设n A 的坐标为（n ，n ），点n D 所在的抛物线顶点坐标为（t ，t ）由⑴，⑵可得，点n D 所在的抛物线解析式为212y x x t=-+∵四边形n n n n A B C D 是正方形 ∴点n D 的坐标为（2n ，n ）∴4n =3t∵n 、t 是正整数，且t ≤12，n ≤12 ∴n =3，6或9∴满足条件的正方形边长为3，6或9我认为这种解法有疑问，比如：当n =3时，t =4，也就是说这一组过原点的抛物线只有三条，顶点分别为1A （1,1）、2A （2,2）、3A （3,3），可是过点3D 的抛物线顶点坐标却是（4,4），点（4,4）不是这三点里的任意一点，这显然与题意（若这组抛物线中有一条经过点n D ）不符。
所以我觉得应该这样解：解：∵顶点n A 在在直线y x =上∴可设n A 的坐标为（n ，n ），点n D 所在的抛物线顶点坐标为（t ，t ） ∵由题意知，这条抛物线（顶点坐标为（t ，t ））为这组抛物线（顶点为1A ，2A ，…，n A ）中的一条∴t ≤n由⑴，⑵可得，点n D 所在的抛物线解析式为212y x x t=-+∵四边形n n n n A B C D 是正方形 ∴点n D 的坐标为（2n ，n ）∵n 、t 是正整数 ∴n ＜t 这与t ≤n 矛盾∴不存在满足条件的正方形这个解答显然不是出题者的本意，我觉得按出题者的意思，第⑶题可以是这样的： 现有一组过原点的抛物线，顶点1A ，2A ，…，k A ，…，n A 在直线y x =上，横坐标依次为1，2，…，k ，…，n （k 、n 为正整数，且1≤k ≤n ≤12），分别过每个顶点作x 轴的垂线，垂足记为1B ，2B ，…，k B ，…，n B ，以线段k k A B 为边向右作正方形k k k k A B C D ，若这组抛物线中有一条经过点k D ，求所有满足条件的正方形边长。
2019年福建中考数学第25题命题手法探究
2020年第3期 福建中学数学 52019年福建中考数学第25题命题手法探究刘振龙 福建省泉州市培元中学（362000）二次函数的图象与性质是中考数学考查的主要内容之一．研究二次函数的图象与性质可以得到各种各样的优美结论．本文主要探究2019年福建中考数学第25题的命题手法，并由此进行相关试题命制． 1 试题呈现 （2019年福建中考数学·25）已知抛物线y = 2(0)ax bx c b ++<与x 轴只有一个公共点．（Ⅰ）若抛物线与x 轴的公共点坐标为(20)，，求a c ，满足的关系式；（Ⅱ）设点A 为抛物线上的一个定点，直线:l y 1kx k =+−与抛物线交于点B C ，，直线BD 垂直于直线1y =−，垂足为D ．当0k =时，直线l 与抛物线的一个交点在y 轴上，且ABC ∆是等腰直角三角形．（i ）求点A 的坐标和抛物线的解析式；（ii ）证明：对于每个给定的实数k ，都有A C D ，，三点共线．解 （Ⅰ）根据抛物线的性质，可得4c a =，解法不再赘述．（Ⅱ）（i ）根据等腰直角三角形的性质、图形的对称等基础知识，可得(10)A ，，从而求得抛物线解析式为2(1)y x =−，即221y x x =−+，解法不再赘述．（ii ）解法1 如图1，设11()B x y ，，22()C x y ，，则1(1)D x −，． 由2211y x x y kx k =−+ =+−，，得2(2)0x k x k −++=， 则()222440k k k ∆=+−=+>，且122k x +=，2x =． 易求直线AD 的解析式为111111y x x x =−+−−， 再证221111()011y x x x −−+=−−， 即22111111y x x x =−+−−， 所以点22()C x y ，在直线AD 上， 故对于每个给定实数k ，都有A C D ，，三点共线． 解法2 设211((1))B x x −，，222((1))C x x −，，则1(D x ，1)−．易求直线AD ，直线AC 的斜率分别为111x −−和21x −，再利用韦达定理证得它们相等，所以A C D ，，三点共线．2 解题反思最后一问“求证A C D ，，三点共线”存在多种解法，例如证tan tan DAE CAF ∠=∠，或者证ADE ∆∽ACF ∆等，笔者在研究本题的多种解法之后，进行解题反思：命题者是如何发现A C D ，，三点共线，从而命制试题？直线l 与抛物线是否应具备某种特殊位置关系？该结论是否具备普遍性？其命题手法是否可以借鉴？3 命题手法探究围绕这些问题，笔者进行更深层次的探究，发现本题的结论，可以类比“抛物线的焦点弦性质”，其命题手法具有较强的借鉴作用．由于初中阶段，抛物线的开口方向只有向上或向下两种类型，所以本文仅限于探究22(0)x py p =≠的情形． 性质探究 如图2，已知抛物线22(0)x py p =>，其焦点为(0)2pF ，，过点F 的直线l 交抛物线于B C，两点，过点B C ，作准线2py =−的垂线段，垂足分别为B C ′′，，则B O C ′，，三点共线且B O C ′，，三点共线．证明 设直线:2pl y kx =+，由222x py p y kx = =+ ，，得2220x pkx p −−=，6 福建中学数学 2020年第3期则222440p k p ∆=+>， 且122122x x pk x x p += =− ，， 设211()2x B x p ，，222()2x C x p ，，则1()2pB x ′−，．易得12OB pk x ′=−和OC k =22x p ，利用韦达定理证得OB OCkk ′=1，即OB OC k k ′=，所以B O C ′，，三点共线． 同理可得B O C ′，，三点共线． 推论1 如图3，将上述性质中的“过焦点F 的直线l ”改为“过y 轴上的动点()0M m ，的直线l ”，过点B C ，作“直线y m =−”的垂线段，垂足分别为B C ′′，，则B O C ′，，三点共线且B O C ′，，三点共线． 证明 设直线:l y kx m =+， 由22x py y kx m = =+，，得2220x pkx pm −−=， 由22480p k pm ∆=+>， 得22pk m >−， 且121222x x pk x x pm +==− ，． 设211()2x B x p ，，222()2x C x p ，，则1()2pB x ′−，．易得1OB mk x ′=−和22OC x k p=，利用韦达定理证得OB OCkk ′=1，即OB OC k k ′=，所以B O C ′，，三点共线． 同理可得B O C ′，，三点共线．图推论2 如图4，将推论1中的抛物线进行平移，设平移后抛物线的顶点为()A a b ，，将“过y 轴上的动点(0)M m ，的直线l ”改为“过点()M a b m +，的直线l ”，过点B C ，作“直线y b m =−”的垂线段，垂足分别为B C ′′，，则B A C ′，，三点共线且B A C ′，，三点共线． 证明 略．4 试题成型基于上述性质及推论，我们不难发现本题的结论具有普遍性：对于抛物线2(0)y ax bx c a ++≠，在其顶点24()24b ac b A a a−−，的正上方（或正下方）m 个单位处取点24()24b ac b M m a a−−+，，过点M 的直线l 交抛物线于B C ，两点，过点B C ，作直线244ac b y a−=m −的垂线段，垂足分别为B C ′′，，则B O C ′，，三点共线且B O C ′，，三点共线．命制本题时命题者将抛物线的顶点设定为点(10)A ，，直线l 设定为过定点(11)，，直线l 交抛物线于B C ，两点，过点B 作直线1y =−的垂线段，垂足为D ，则A C D ，，三点共线．至此试题得以命制完成． 5 命题借鉴在欣赏完本题的命题手法之后，笔者效仿其命题思路，结合推论1、推论2，命制两道“三点共线”试题，展示如下：例1 已知抛物线22(0)y ax bx a a =+++>的对称轴为直线1x =，直线:3l y kx k =−+，（Ⅰ）求抛物线顶点A 的坐标，并求证直线l 与抛物线有两个不同的交点；（Ⅱ）记直线l 与抛物线交点为B C ，，过点B 作直线1y =的垂线段，垂足为B ′，求证：B A C ′，，三点共线．例2 已知抛物线2(0)y ax bx c a ++>的顶点为(12)A ，，过点(13)M ，的直线l 交抛物线于B C ，两点，连结BA 并延长，交直线1y =于点D ，求证：CD x ⊥轴．参考文献 [1]何素眉．对一道二次函数压轴题的探究与剖析[J]．数学教学通讯，2019（08）：86-88[2]苏昌盛．圆锥曲线的焦点弦的三个性质[J]．福建中学数学，2016（12）：10-12y =。
福州中考数学试题点评：注重初高中衔接
福州中考数学试题点评：注重初高中衔接为期三天的2019福州中考顺利结束。
各科命题思路、命题特点是什么？与往年相比有什么新变化？对今后的学科教学又有什么样的启示？这里总结来自中考命题组的各学科试卷权威点评。
【数学】回归课本注重初高中衔接点评者：福州市数学学科中考命题组今年的数学试卷，基本上保持近3年的命题风格与试卷结构。
许多试题都源于课本改编题，选题背景更贴近学生的生活实际，真正回归课本与注重初高中的衔接，是试卷的最大特点。
试题难度设置合理，有区分度，同时也兼顾了初中毕业水平考试与选拔的功能。
第15题试题似乎有些出乎意料，第一问突出对相似与代数知识、数形结合的考查，第二问通过构造直角三角形模型来解决问题，体现出了数学的应用价值，具有较好的效度和区分度。
第21题是一道别出心裁的双动点几何综合题，试题突破了常规动点问题的模式，通过设置改变动点的运动速度，让学生再次经历探究动点运动的过程，在解题过程中，不断地感受到发现数学规律的奥妙。
该题还渗透了用代数的方法解决几何问题的思维方式，为高中后续学习做铺垫。
第22题为压轴题，适当降低了压轴题的门槛，要求学生具有很强的分析能力与综合解题能力。
第一问较为简单，多数学生通过已知条件容易正确解答；第二问利用根的判别式来考查学生对直线与二次函数图像有唯一公共点的理解与掌握程度，突显从模仿走向理解与思考的学习方式；第三问具有较强的选拔功能，综合考查了图形的旋转、对称及位似的性质。
该题还具备继续探究、拓展的空间，给一线教师提供了研究试题的平台。
中难题有梯度压轴题思维力较高点评者：福州延安中学德育处副主任、初三年段段长陈国平与当今“教师”一称最接近的“老师”概念，最早也要追溯至宋元时期。
金代元好问《示侄孙伯安》诗云：“伯安入小学，颖悟非凡貌，属句有夙性，说字惊老师。
”于是看，宋元时期小学教师被称为“老师”有案可稽。
清代称主考官也为“老师”，而一般学堂里的先生则称为“教师”或“教习”。
对2007年福州市中考《数学试卷》的看法 福州教育学
难题的题号有 15，21（3），22（3）约 15 分。基本符合省纲规定的难易比：8：1：1 的要
1
求。 2、试题双向细目表
题号
1 2 3 4 5 6
7 8 9
10 11 12 13 14 15 16⑴
（市区）数学成绩分布表（市区考生：19225 人）
分数段
150
149-140 139-130 129-120 119-110 109-100
人数
83
2719
5124
3689
1912
988
百分比 4.32﹪ 14.14﹪ 26.65﹪ 19.19﹪ 9.95﹪
5.14﹪
分数段 89-80
79--70 69--60 59--50 49--40
（6）体现对考生的人文关怀
《试题》想方设法对考生施以人性化的关怀。由于中考阅卷还是采用网上阅卷，为了防止 学生答案漏写在答题卡上，防止学生在画图时没有用黑色水笔画，所以在试卷开头进行友 情提示，在第三大题的题干上特地强调作图或添辅助线需用水笔再描黑。为了防止学生在考 试过程中由于紧张，没有认真审题，所以在一些试题中用加着重号的字体提醒学生。
22③；探究性题型的有：15、21②③、22②③。通过这些试题，可以考查学生实验、操作、观察、
发现、探究、归纳、猜想和合情推导数学规律的能力；对引导教师重视教学过程，关注学生学
习数学结果与过程的考查，促进师生的教学方式与学习方式的转变，提高数学教学的实效
性；对培养和提高学生的发现问题、分析问题、归纳猜想、解决实际问题的能力；对培养学生
七下《平面直角坐标系》 八上《轴对称》 八下《四边形》 九下《二次函数》
福建省2019年中考数学总复习第四单元三角形第23课时相似三角形课件
做线段 AB 的黄金分割点,所分成的较长一条线段 AP 与 整条线段 AB 的比叫做黄金比,黄金比为② .
,可得点 P 是线段 AB 的黄
金分割点. ②证明 AP=
5-1 2
AB,可得点 P 是线段 AB
的黄金分割点.
课前考点过关
考点四 由平行线截得的比例线段
两条直线被一组平行线(不少于3条)所截,所得的对应线段成比例.
课前考点过关
2.常见的几种基本图形 (1)如图 23-1:称为“平行线型”的相似三角形(有“A 型”与“X 型”图).
图 23-1 (2)如图 23-2:其中∠1=∠2,则△ADE∽△ABC,称为“斜交型”的相似三角形(有“反 A 共角型”“反 A 共角共 边型”“蝶型”).
图 23-2
课前考点过关
的两条线段.
(2)重心与三角形三个顶点连接所得的 三个三角形的面积相等.
课前考点过关
| 对点自评|
题组一 基础关
1.[2018· 内江] 已知△ABC 与△A1B1C1 相似,且相似比为 1∶3,则△ABC 与△A1B1C1 的面积比为( D ) A.1∶1 B.1∶3 C.1∶6 D.1∶9
2.如图 23-5,在△ABC 中,D,E 分别为 AB,AC 边上的点,DE∥BC,BE 与 CD 相交于点 F,则下列结论一定 正确的是 ( A ) A. =
【答案】C 【解析】 由题意可知△ABO∽△CDO,根据相似 三角形的性质可得 = ,AO=4 m,
������������ ������������ ������������ ������������
AB=1.6 m,CO=1 m,
4 1.6
图 23-6 A.0.2 m B.0.3 m C.0.4 m D.0.5 m
一道2023年中考压轴题的解法探究与思考
一道2023年中考压轴题的解法探究与思考福建省漳州市第三中学（363000） 林绮霞［摘 要］探讨一道中考题的多种解法，目的不在于“多解”，而是思维的“多层次”。
文章多角度挖掘一道中考题的潜在条件，捕捉有用信息，并结合模型探究解法，为数学一线教师的解题教学提供参考。
［关键词］中考；压轴题；一题多解［中图分类号］ G 633.6 ［文献标识码］ A ［文章编号］ 1674-6058（2023）23-0025-03［基金项目］本文系福建省教育科学“十四五”规划2022年度课题“新课标背景下初中数学大单元整体作业设计体系的构建与实践”（立项批准号：FJJKZX22-358）的研究成果。
近几年中考数学的几何压轴题都是以几何知识为主体的综合题，主要研究图形中点与线之间的位置关系或数量关系，以及特定图形的性质和判定，一般以特殊图形（如等边三角形、等腰直角三角形、正方形等）为基本图形进行平移、旋转或轴对称等变换构造新的图形，试题一般以三角形全等或相似为中心，结合平行线、四边形、圆、中位线、锐角三角函数等知识综合运用，综合性比较强，难度系数较大，对中考选拔人才起到至关重要的作用。
本文对2023年福建中考数学第25题进行探讨和分析，由此引发对2024年中考复习教学的思考。
一、原题呈现【题目】如图1，在△ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，D 是AB 边上不与A ，B 重合的一个定点。
AO ⊥BC 于点O ，交CD 于点E 。
DF 是由线段DC 绕点D 顺时针旋转90°得到的，FD ，CA 的延长线相交于点M 。
（1）求证：△ADE ∽△FMC ；（2）求∠ABF 的度数；（3）若N 是AF 的中点，如图2，求证：ND =NO。
图1 图2二、题目分析本题以两个等腰直角三角形“手拉手”为基本构图，主要考查三角形相似、三角形全等、圆、等腰三角形的性质、旋转的性质、轴对称的性质、中位线定理、直角三角形斜边中线定理、勾股定理、锐角三角函数等知识，考查学生推理能力、抽象能力、模型观念、几何直观等数学核心素养。
2023年福建中考第24题专题：二次函数综合题
2023年福建中考第24题专题：二次函数综合题一．直线位置关系（共4小题）1．（2022•厦门模拟）在平面直角坐标系xOy中，平行四边形ABCD的顶点A，D的坐标分别是（b，0），（m，0），其中m＞b．（1）若点B在x轴的上方，①m＝b+4，求BC的长；②B（n，t），t＝n﹣b，且n﹣m＝（﹣1）b．证明：四边形ABCD是菱形；（2）抛物线y＝a（x﹣m）2+km（a＜0）经过点B，C．对于任意的k（0＜k＜4），当a，m的值变化时，抛物线会不同，记其中任意两条抛物线的顶点为P1，P2（P1与P2不重合），则命题“对所有的a，b，当ab≥1时，一定不存在AB∥P1P2的情形．”是否正确？请说明理由．2．（2022•思明区校级二模）已知抛物线y＝x2﹣（2+m）x+m（m＞2）与x轴交于A，B两点（A在B的左边），与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点E，顶点为D．（1）求的值；（2）连接CD，过点O作CD的垂线交抛物线的对线轴于点F，求EF的长；（3）过点C作直线CH交抛物线于另一点H（不与A，B重合），过点A作AG⊥x轴交CH于点G，连接OG，BH，请判断OG与BH的位置关系，并说明理由．3．（2022•集美区二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线T：y＝a（x+4）（x﹣m）与x轴交于A，B两点，m＞﹣3，点B在点A的右侧，抛物线T的顶点为记为P．（1）求点A和点B的坐标；（用含m的代数式表示）（2）若a＝m+3，且△ABP为等腰直角三角形，求抛物线T的解析式；（3）将抛物线T进行平移得到抛物线T'，抛物线T'与x轴交于点B，C（4，0），抛物线T'的顶点记为Q．若0＜a＜，且点C在点B的右侧，是否存在直线AP与CQ垂直的情形？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由．4．（2023•思明区校级二模）在平面直角坐标系中，抛物线l：y＝x2﹣2mx﹣2﹣m（m＞0）与x轴分别相交于A、B 两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，设抛物线l的对称轴与x轴相交于点N，且OC＝3ON（1）求m的值；（2）设点G是抛物线在第三象限内的动点，若∠GBC＝∠ACO，求点G的坐标；（3）将抛物线y＝x2﹣2mx﹣2﹣m向上平移3个单位，得到抛物线l′，设点P、Q是抛物线l′上在第一象限内不同的两点，射线PO、QO分别交直线y＝﹣2于点P′、Q′，设P′、Q′的横坐标分别为x P′、x Q′，且x P′⋅x Q′＝4，求证：直线PQ经过定点．二．四边形存在性（共4小题）5．（2021•思明区校级二模）如图，抛物线过点A（6，0），点B是抛物线的顶点，点D 是x轴上方抛物线上的一点，连接OB，OD．（1）求抛物线的解析式．（2）如图1，当∠BOD＝30°时，求点D的纵坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，抛物线的对称轴交x轴于点C，交线段OD于点E，点F是线段OB上的动点（点F不与点O和点B重合）连接EF，将△BEF沿EF折叠，点B的对应点为点B'，△EFB'与△OBE的重叠部分为△EFG，在第一象限内是否存在一点H，使以点E，F，G，H为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出点H的坐标，若不存在，请说明理由．6．（2022•思明区校级模拟）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a交x轴于A、B两点，交y的正半轴于点C，连接BC，且OB＝OC．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，点D为第一象限抛物线上一点，过点D作DE⊥BC于点E，设DE＝d，点D的横坐标为t，求d与t 的函数关系式；（3）在（2）的条件下，点F为抛物线的顶点，对称轴交x轴于点G，连接DF，过D作DH⊥DF交FG于点H，点M为对称轴左侧抛物线上一点，点N为平面上一点且tan∠HDN＝，当四边形DHMN为菱形时，求点N的坐标．7．（2022•海沧区二模）抛物线y1＝ax2﹣2ax+c（a＜2且a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B两点，抛物线的对称轴与x轴交于点D，点M（m，n）在该抛物线上，点P是抛物线的最低点．（1）若m＝2，n＝﹣3，求a的值；（2）记△PMB面积为S，证明：当1＜m＜3时，S＜2；（3）将直线BP向上平移t个单位长度得直线y2＝kx+b（k≠0），与y轴交于点C，与抛物线交于点E，当x＜﹣1时，总有y1＞y2．当﹣1＜x＜1时，总有y1＜y2．是否存在t≥4，使得△CDE是直角三角形，若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由．8．（2023•厦门模拟）抛物线y＝ax2+bx+c从左往右上升的这一侧是此抛物线递增的一侧．若一个四边形内不含抛物线y＝ax2+bx+c递增一侧的任意部分，则称该四边形是此抛物线的“非递增四边形”．抛物线y＝x2﹣2mx+m（m≥2）的顶点为P，与y轴交于点A，与x轴交于点B（n，0）（n＞m）．过点A作与x轴平行的直线交抛物线于点M，将△OMB绕点O顺时针旋转90°，点M的对应点是M1，点B的对应点是B1．（1）若点A的坐标为（0，2），求点B1的坐标；（2）若m＜3，①求点P与M1的距离；（用含m的式子表示）②将抛物线y＝x2﹣2mx+m向右平移t（t＞0）个单位，记平移后的抛物线为抛物线T．证明：当t≥3﹣m时，以点M，P，M1，Q（2m，m2﹣2m）为顶点的四边形是抛物线T的“非递增四边形”．三．三角形（共7小题）9．（2022•思明区校级一模）已知抛物线y＝ax2+c（a≠0）过点P（3，0），Q（1，4）．（1）求抛物线的解析式；（2）点A在直线PQ上且在第一象限内，过A作AB⊥x轴于B，以AB为斜边在其左侧作等腰直角△ABC．①若A与Q重合，求C到抛物线对称轴的距离；②点C能否落在抛物线上，若能求点C的坐标，若不能说明理由．10．（2019•福建）已知抛物线y＝ax2+bx+c（b＜0）与x轴只有一个公共点．（1）若抛物线与x轴的公共点坐标为（2，0），求a、c满足的关系式；（2）设A为抛物线上的一定点，直线l：y＝kx+1﹣k与抛物线交于点B、C，直线BD垂直于直线y＝﹣1，垂足为点D．当k＝0时，直线l与抛物线的一个交点在y轴上，且△ABC为等腰直角三角形．①求点A的坐标和抛物线的解析式；②证明：对于每个给定的实数k，都有A、D、C三点共线．11．（2022•福建）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx经过A（4，0），B（1，4）两点．P是抛物线上一点，且在直线AB的上方．（1）求抛物线的解析式；（2）若△OAB面积是△PAB面积的2倍，求点P的坐标；（3）如图，OP交AB于点C，PD∥BO交AB于点D．记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为S1，S2，S3．判断+是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．12．（2023•福建）已知抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于A（1，0），B（3，0）两点，M为抛物线的顶点，C，D为抛物线上不与A，B重合的相异两点，记AB中点为E，直线AD，BC的交点为P．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若C（4，3），D（m，﹣），且m＜2，求证：C，D，E三点共线；（3）小明研究发现：无论C，D在抛物线上如何运动，只要C，D，E三点共线，△AMP，△MEP，△ABP中必存在面积为定值的三角形．请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由．13．（2020•福建）已知直线l1：y＝﹣2x+10交y轴于点A，交x轴于点B，二次函数的图象过A，B两点，交x轴于另一点C，BC＝4，且对于该二次函数图象上的任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），当x1＞x2≥5时，总有y1＞y2．（1）求二次函数的表达式；（2）若直线l2：y＝mx+n（n≠10），求证：当m＝﹣2时，l2∥l1；（3）E为线段BC上不与端点重合的点，直线l3：y＝﹣2x+q过点C且交直线AE于点F，求△ABE与△CEF面积之和的最小值．14．（2021•福建）已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴只有一个公共点．（1）若抛物线过点P（0，1），求a+b的最小值；（2）已知点P1（﹣2，1），P2（2，﹣1），P3（2，1）中恰有两点在抛物线上．①求抛物线的解析式；②设直线l：y＝kx+1与抛物线交于M，N两点，点A在直线y＝﹣1上，且∠MAN＝90°，过点A且与x轴垂直的直线分别交抛物线和l于点B，C．求证：△MAB与△MBC的面积相等．15．（2021•思明区校级二模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点（0，﹣），顶点为C（﹣1，﹣2）．（Ⅰ）求该二次函数的解析式；（Ⅱ）过A、C两点作直线，并将线段AC沿该直线向上平移，记点A、C分别平移到点D、E处．若点F在这个二次函数的图象上，且△DEF是以EF为斜边的等腰直角三角形，求点F的坐标；（Ⅲ）当p+q≥﹣2时，试确定实数p，q的值，使得当p≤x≤q时，p≤y≤q．四．角度问题（共3小题）16．（2023•思明区校级二模）如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1，0）、B两点，与y 轴交于点C（0，3），P为x轴正半轴上一点，过点P作垂直于x轴的直线交抛物线于点D．（1）求二次函数的表达式；（2）如图1，若点P在B点右侧，过C垂直于DP的直线交抛物线于点H，交DP于点G，求证：PG•DG＝3CG•GH；（3）如图2，若点P在线段OB上，DP交直线BC于点E，当△CDE中有一个角与∠ABD相等，求点P的横坐标．17．（2022•思明区校级二模）已知抛物线C的解析式为y＝mx2+（1﹣3m）x+1﹣4m，其中m≠0．（1）判断抛物线与x轴的交点个数，并说明理由；（2）当m＝1时，抛物线C与y轴的交点为A，点B（﹣4，0），点P在抛物线C上，且∠ABO＝2∠PAO，求点P 的坐标；（3）当﹣1≤x≤4时，0≤y≤5，求m的取值范围．18．（2022•思明区二模）已知抛物线C：y＝a（x﹣m）2+2m+2（a＜0）与x轴交于点A和点B，顶点为点P．（1）求证：无论m为何值，顶点P一定在一条直线上；（2）在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点称为“整点”，①若m＝1，抛物线与x轴围成的区域内（不含边界），整点的个数为7个，求a的取值范围；②A（﹣1，0），B（n，0），点P在第一象限，点O为坐标原点，连接OP，PB，△OBP内（不含边界）有2个整点，求tan∠POB的取值范围．五．最值问题（共5小题）19．（2023•思明区校级模拟）已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣3，n），B（2，n）两点．（1）求b的值；（2）当﹣1＜x＜1时，抛物线与x轴有且只有一个公共点，求c的取值范围；（3）若方程x2+bx+c＝0的两实根x1，x2满足3≤x2﹣x1＜9，且p＝x12﹣3x22，求p的最大值．20．（2023•思明区校级模拟）抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴的正半轴相交于点C，点D为抛物线的顶点，点O为坐标原点．（1）若△ABC是直角三角形，求抛物线的函数表达式；（2）王亮同学经过探究认为：“若a＜0，则∠DCB＝2∠ABC”，王亮的说法是否正确？若你认为正确，请加以证明；若是错误的，说明理由；（3）若第一象限的点E在抛物线上，四边形ABEC面积的最大值为，求a的值．21．（2022•思明区校级二模）在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线L与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），顶点坐标为（0，﹣1），AB＝4，点P是抛物线L上的动点．（1）求抛物线L的解析式；（2）若点C在直线y＝t（t＜0）上，抛物线L上存在点M，使得点M是△OBC的外心．①直接写出t的取值范围；②已知点N在y轴的负半轴上，且∠MAB＝∠ANO，点D（﹣3，m）在直线AN上，当t取得最小值时，求△OPD周长的最小值．22．（2023•思明区模拟）如图1，我们把一个半圆和抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”，已知A，B，C，D分别为“果圆”与坐标轴的交点，y＝x﹣3与“果圆”中的抛物线y＝2+bx+c交于B，C两点．（1）求“果圆”中的抛物线的解析式，并直接写出“果圆”被y轴截得的线段BD的长．（2）“果圆”上是否存在点P使∠APC＝∠CAB？如果存在请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．（3）如图2，E为直线BC下方“果圆”上一点，连接AE，AB，BE，设AE与BC交于F，△BEF的面积记为S△BEF，△ABF的面积记为S△ABF，求的最小值．23．（2023•思明区二模）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴只有一个公共点A（2，0）且经过点（3，）．（1）求抛物线的函数解析式；（2）直线l：y＝﹣x+m与抛物线y＝ax2+bx+c交于B，C两点（C点在B点的左侧），与对称轴相交于点P，且B，C分布在对称轴的两侧．若B点到抛物线对称轴的距离为n，且CP＝t•BP（2＜t≤3）．①试探求n与t的数量关系；②求线段BC的最大值，以及当BC取得最大值时对应m的值．2023年福建中考第24题专题：二次函数综合题参考答案与试题解析一．直线位置关系（共4小题）1．（2022•厦门模拟）在平面直角坐标系xOy中，平行四边形ABCD的顶点A，D的坐标分别是（b，0），（m，0），其中m＞b．（1）若点B在x轴的上方，①m＝b+4，求BC的长；②B（n，t），t＝n﹣b，且n﹣m＝（﹣1）b．证明：四边形ABCD是菱形；（2）抛物线y＝a（x﹣m）2+km（a＜0）经过点B，C．对于任意的k（0＜k＜4），当a，m的值变化时，抛物线会不同，记其中任意两条抛物线的顶点为P1，P2（P1与P2不重合），则命题“对所有的a，b，当ab≥1时，一定不存在AB∥P1P2的情形．”是否正确？请说明理由．【答案】（1）①BC＝4；②证明见解答过程；（2）命题正确，理由见解析．2．（2022•思明区校级二模）已知抛物线y＝x2﹣（2+m）x+m（m＞2）与x轴交于A，B两点（A在B的左边），与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点E，顶点为D．（1）求的值；（2）连接CD，过点O作CD的垂线交抛物线的对线轴于点F，求EF的长；（3）过点C作直线CH交抛物线于另一点H（不与A，B重合），过点A作AG⊥x轴交CH于点G，连接OG，BH，请判断OG与BH的位置关系，并说明理由．【答案】（1）1；（2）2；（3）BH∥GO．3．（2022•集美区二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线T：y＝a（x+4）（x﹣m）与x轴交于A，B两点，m＞﹣3，点B在点A的右侧，抛物线T的顶点为记为P．（1）求点A和点B的坐标；（用含m的代数式表示）（2）若a＝m+3，且△ABP为等腰直角三角形，求抛物线T的解析式；（3）将抛物线T进行平移得到抛物线T'，抛物线T'与x轴交于点B，C（4，0），抛物线T'的顶点记为Q．若0＜a＜，且点C在点B的右侧，是否存在直线AP与CQ垂直的情形？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】（1）A（﹣4，0），B（m，0）；（2）y＝x2+6x+8；（3）不存在，理由见解析过程．4．（2023•思明区校级二模）在平面直角坐标系中，抛物线l：y＝x2﹣2mx﹣2﹣m（m＞0）与x轴分别相交于A、B 两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，设抛物线l的对称轴与x轴相交于点N，且OC＝3ON（1）求m的值；（2）设点G是抛物线在第三象限内的动点，若∠GBC＝∠ACO，求点G的坐标；（3）将抛物线y＝x2﹣2mx﹣2﹣m向上平移3个单位，得到抛物线l′，设点P、Q是抛物线l′上在第一象限内不同的两点，射线PO、QO分别交直线y＝﹣2于点P′、Q′，设P′、Q′的横坐标分别为x P′、x Q′，且x P′⋅x Q′＝4，求证：直线PQ经过定点．【答案】（1）m＝1；（2）点G的坐标为；（3）见解析．二．四边形存在性（共4小题）5．（2021•思明区校级二模）如图，抛物线过点A（6，0），点B是抛物线的顶点，点D 是x轴上方抛物线上的一点，连接OB，OD．（1）求抛物线的解析式．（2）如图1，当∠BOD＝30°时，求点D的纵坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，抛物线的对称轴交x轴于点C，交线段OD于点E，点F是线段OB上的动点（点F不与点O和点B重合）连接EF，将△BEF沿EF折叠，点B的对应点为点B'，△EFB'与△OBE的重叠部分为△EFG，在第一象限内是否存在一点H，使以点E，F，G，H为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出点H的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝﹣x2+2x；（2）D（5，）；（3）点H的坐标为（，﹣）或（，）或（，）．6．（2022•思明区校级模拟）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a交x轴于A、B两点，交y的正半轴于点C，连接BC，且OB＝OC．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，点D为第一象限抛物线上一点，过点D作DE⊥BC于点E，设DE＝d，点D的横坐标为t，求d与t 的函数关系式；（3）在（2）的条件下，点F为抛物线的顶点，对称轴交x轴于点G，连接DF，过D作DH⊥DF交FG于点H，点M为对称轴左侧抛物线上一点，点N为平面上一点且tan∠HDN＝，当四边形DHMN为菱形时，求点N的坐标．【答案】见试题解答内容7．（2022•海沧区二模）抛物线y1＝ax2﹣2ax+c（a＜2且a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B两点，抛物线的对称轴与x轴交于点D，点M（m，n）在该抛物线上，点P是抛物线的最低点．（1）若m＝2，n＝﹣3，求a的值；（2）记△PMB面积为S，证明：当1＜m＜3时，S＜2；（3）将直线BP向上平移t个单位长度得直线y2＝kx+b（k≠0），与y轴交于点C，与抛物线交于点E，当x＜﹣1时，总有y1＞y2．当﹣1＜x＜1时，总有y1＜y2．是否存在t≥4，使得△CDE是直角三角形，若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）a＝1；（2）证明过程见解答部分；（3）存在，且t的值为4．8．（2023•厦门模拟）抛物线y＝ax2+bx+c从左往右上升的这一侧是此抛物线递增的一侧．若一个四边形内不含抛物线y＝ax2+bx+c递增一侧的任意部分，则称该四边形是此抛物线的“非递增四边形”．抛物线y＝x2﹣2mx+m（m≥2）的顶点为P，与y轴交于点A，与x轴交于点B（n，0）（n＞m）．过点A作与x轴平行的直线交抛物线于点M，将△OMB绕点O顺时针旋转90°，点M的对应点是M1，点B的对应点是B1．（1）若点A的坐标为（0，2），求点B1的坐标；（2）若m＜3，①求点P与M1的距离；（用含m的式子表示）②将抛物线y＝x2﹣2mx+m向右平移t（t＞0）个单位，记平移后的抛物线为抛物线T．证明：当t≥3﹣m时，以点M，P，M1，Q（2m，m2﹣2m）为顶点的四边形是抛物线T的“非递增四边形”．【答案】（1）B1（0，﹣2﹣）；（2）①3m﹣m2；②证明见解析部分．三．三角形（共7小题）9．（2022•思明区校级一模）已知抛物线y＝ax2+c（a≠0）过点P（3，0），Q（1，4）．（1）求抛物线的解析式；（2）点A在直线PQ上且在第一象限内，过A作AB⊥x轴于B，以AB为斜边在其左侧作等腰直角△ABC．①若A与Q重合，求C到抛物线对称轴的距离；②点C能否落在抛物线上，若能求点C的坐标，若不能说明理由．【答案】（1）y＝﹣x2+；（2）①1；②存在，C（﹣2，）．10．（2019•福建）已知抛物线y＝ax2+bx+c（b＜0）与x轴只有一个公共点．（1）若抛物线与x轴的公共点坐标为（2，0），求a、c满足的关系式；（2）设A为抛物线上的一定点，直线l：y＝kx+1﹣k与抛物线交于点B、C，直线BD垂直于直线y＝﹣1，垂足为点D．当k＝0时，直线l与抛物线的一个交点在y轴上，且△ABC为等腰直角三角形．①求点A的坐标和抛物线的解析式；②证明：对于每个给定的实数k，都有A、D、C三点共线．【答案】见试题解答内容11．（2022•福建）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx经过A（4，0），B（1，4）两点．P是抛物线上一点，且在直线AB的上方．（1）求抛物线的解析式；（2）若△OAB面积是△PAB面积的2倍，求点P的坐标；（3）如图，OP交AB于点C，PD∥BO交AB于点D．记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为S1，S2，S3．判断+是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x．（2）P（2，）或（3，4）．（3）．12．（2023•福建）已知抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于A（1，0），B（3，0）两点，M为抛物线的顶点，C，D为抛物线上不与A，B重合的相异两点，记AB中点为E，直线AD，BC的交点为P．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若C（4，3），D（m，﹣），且m＜2，求证：C，D，E三点共线；（3）小明研究发现：无论C，D在抛物线上如何运动，只要C，D，E三点共线，△AMP，△MEP，△ABP中必存在面积为定值的三角形．请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由．【答案】（1）y＝x2﹣4x+3；（2）证明见解析部分；（3）△ABP的面积为定值，其面积为2．13．（2020•福建）已知直线l1：y＝﹣2x+10交y轴于点A，交x轴于点B，二次函数的图象过A，B两点，交x轴于另一点C，BC＝4，且对于该二次函数图象上的任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），当x1＞x2≥5时，总有y1＞y2．（1）求二次函数的表达式；（2）若直线l2：y＝mx+n（n≠10），求证：当m＝﹣2时，l2∥l1；（3）E为线段BC上不与端点重合的点，直线l3：y＝﹣2x+q过点C且交直线AE于点F，求△ABE与△CEF面积之和的最小值．【答案】见试题解答内容14．（2021•福建）已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴只有一个公共点．（1）若抛物线过点P（0，1），求a+b的最小值；（2）已知点P1（﹣2，1），P2（2，﹣1），P3（2，1）中恰有两点在抛物线上．①求抛物线的解析式；②设直线l：y＝kx+1与抛物线交于M，N两点，点A在直线y＝﹣1上，且∠MAN＝90°，过点A且与x轴垂直的直线分别交抛物线和l于点B，C．求证：△MAB与△MBC的面积相等．【答案】见试题解答内容15．（2021•思明区校级二模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点（0，﹣），顶点为C（﹣1，﹣2）．（Ⅰ）求该二次函数的解析式；（Ⅱ）过A、C两点作直线，并将线段AC沿该直线向上平移，记点A、C分别平移到点D、E处．若点F在这个二次函数的图象上，且△DEF是以EF为斜边的等腰直角三角形，求点F的坐标；（Ⅲ）当p+q≥﹣2时，试确定实数p，q的值，使得当p≤x≤q时，p≤y≤q．【答案】（Ⅰ）y＝（x+1）2﹣2；（Ⅱ）点F的坐标为（3，6）；（Ⅲ）p为﹣2或，q的值为．四．角度问题（共3小题）16．（2023•思明区校级二模）如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1，0）、B两点，与y 轴交于点C（0，3），P为x轴正半轴上一点，过点P作垂直于x轴的直线交抛物线于点D．（1）求二次函数的表达式；（2）如图1，若点P在B点右侧，过C垂直于DP的直线交抛物线于点H，交DP于点G，求证：PG•DG＝3CG•GH；（3）如图2，若点P在线段OB上，DP交直线BC于点E，当△CDE中有一个角与∠ABD相等，求点P的横坐标．【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）证明见解析；（3）点P的横坐标为或．17．（2022•思明区校级二模）已知抛物线C的解析式为y＝mx2+（1﹣3m）x+1﹣4m，其中m≠0．（1）判断抛物线与x轴的交点个数，并说明理由；（2）当m＝1时，抛物线C与y轴的交点为A，点B（﹣4，0），点P在抛物线C上，且∠ABO＝2∠PAO，求点P 的坐标；（3）当﹣1≤x≤4时，0≤y≤5，求m的取值范围．【答案】（1）当m＝时，抛物线与x轴有1个交点，当m≠时，抛物线与x轴有2个交点；（2）（﹣1，0）或（5，12）；（3）﹣≤m≤，且m≠0．18．（2022•思明区二模）已知抛物线C：y＝a（x﹣m）2+2m+2（a＜0）与x轴交于点A和点B，顶点为点P．（1）求证：无论m为何值，顶点P一定在一条直线上；（2）在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点称为“整点”，①若m＝1，抛物线与x轴围成的区域内（不含边界），整点的个数为7个，求a的取值范围；②A（﹣1，0），B（n，0），点P在第一象限，点O为坐标原点，连接OP，PB，△OBP内（不含边界）有2个整点，求tan∠POB的取值范围．【答案】（1）证明解解答过程；（2）①﹣2＜a≤﹣1；②．五．最值问题（共5小题）19．（2023•思明区校级模拟）已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣3，n），B（2，n）两点．（1）求b的值；（2）当﹣1＜x＜1时，抛物线与x轴有且只有一个公共点，求c的取值范围；（3）若方程x2+bx+c＝0的两实根x1，x2满足3≤x2﹣x1＜9，且p＝x12﹣3x22，求p的最大值．【答案】（1）b＝1；（2）c＝或﹣2＜c≤0；（3）p最大值为1．20．（2023•思明区校级模拟）抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴的正半轴相交于点C，点D为抛物线的顶点，点O为坐标原点．（1）若△ABC是直角三角形，求抛物线的函数表达式；（2）王亮同学经过探究认为：“若a＜0，则∠DCB＝2∠ABC”，王亮的说法是否正确？若你认为正确，请加以证明；若是错误的，说明理由；（3）若第一象限的点E在抛物线上，四边形ABEC面积的最大值为，求a的值．【答案】（1）抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+x+；（2）王亮的说法正确，证明见解答过程；（3）a的值为﹣．21．（2022•思明区校级二模）在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线L与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），顶点坐标为（0，﹣1），AB＝4，点P是抛物线L上的动点．（1）求抛物线L的解析式；（2）若点C在直线y＝t（t＜0）上，抛物线L上存在点M，使得点M是△OBC的外心．①直接写出t的取值范围；②已知点N在y轴的负半轴上，且∠MAB＝∠ANO，点D（﹣3，m）在直线AN上，当t取得最小值时，求△OPD周长的最小值．【答案】（1）y＝﹣1；（2）①﹣2≤＜0；②10．22．（2023•思明区模拟）如图1，我们把一个半圆和抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”，已知A，B，C，D分别为“果圆”与坐标轴的交点，y＝x﹣3与“果圆”中的抛物线y＝2+bx+c交于B，C两点．（1）求“果圆”中的抛物线的解析式，并直接写出“果圆”被y轴截得的线段BD的长．（2）“果圆”上是否存在点P使∠APC＝∠CAB？如果存在请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．（3）如图2，E为直线BC下方“果圆”上一点，连接AE，AB，BE，设AE与BC交于F，△BEF的面积记为S△BEF，△ABF的面积记为S△ABF，求的最小值．【答案】见试题解答内容23．（2023•思明区二模）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴只有一个公共点A（2，0）且经过点（3，）．（1）求抛物线的函数解析式；（2）直线l：y＝﹣x+m与抛物线y＝ax2+bx+c交于B，C两点（C点在B点的左侧），与对称轴相交于点P，且B，C分布在对称轴的两侧．若B点到抛物线对称轴的距离为n，且CP＝t•BP（2＜t≤3）．①试探求n与t的数量关系；②求线段BC的最大值，以及当BC取得最大值时对应m的值．【答案】（1）y＝（x﹣2）2；（2）①n＝；②线段BC的最大值为6，此时对应m的值为2+．。
初中数学中考命题意图与考试分析
初中数学中考命题意图与考试分析作者：王文明来源：《考试与评价》2020年第07期【摘要】数学是初中阶段的一个基础性科目。
本文通过分析2019年福建省中考数学试卷的题目，了解命题老师命题意图和命题规则，进而对于福建省中考数学考试考情进行分析，为初中教学和学生学习提供参考。
【关键词】初中数学 ;福建中考 ;数学考情引言：2019年福建省中考数学试卷命题整体呈现规则为：重基础;偏中等;有难度。
试卷的难易区分度较高，能够对于学生起到很好的测评作用。
分析该套试卷，能够充分了解福建中考数学命题趋势和走向。
一、2019年福建省中考数学试卷命题意图（一）着重考察数学基础知识一份合格的试卷需要满足以下几个条件：让大多数学生能够拿到及格及以上的分数;对于优等生与中等生能够做出很好地区分;存在个别难度较高的题目。
以上三个条件分别对应三个不同的考试目的。
第一，通过60%到70%的基础知识的考察，让大多数学生都能及格;第二，通过15%到20%的中等难度题目的考察，区分及格学生与良好学生;第三，通过设置少于10%的高难度题目，用来测试出学科知识掌握优异的学生。
在2019年福建中考数学试卷的设置中，我们不难看出，其很好地满足了上面的命题要求。
试卷中基础题占比70%，中等难度题目占比20%，高难度题目占比10%[1]。
因此，本套试卷充分证明，在中考数学阶段，主要考察的还是基础性题目。
对于每一个学生来讲，首要任务都是学好基础知识。
（二）考察学生的动手操作能力和对知识点的理解能力本套试卷的另一个重要命题意图就是增加了知识的理解能力和动手操作能力的考察。
例如，本套试卷第20题，本道题目第一问是一道画图题，问题是：根据题干中给出的一个三角形和另一个三角形的一个顶点，画出该三角形的相似三角形，并使这个三角形的面积为原来三角形的四倍。
要求为：运用尺规作图并保留作图痕迹。
这一问考察的就是学生的实际操作能力。
本题第二问是一道证明题，题目是，分别画出两个三角形各条边的中点，分别连接中点，要求是证明连接形成的两个新三角形相似。
巧借中考真题情境,妙引函数图象与性质复习
巧借中考真题情境,妙引函数图象与性质复习
林平
【期刊名称】《福建中学数学》
【年(卷),期】2024()1
【摘要】《义务教育数学课程标准(2022年版)》(以下简称“课标”)提出“函数的教学,要引导学生借助平面直角坐标系中的描点,理解函数图象与表达式的对应关系,理解函数与对应的方程、不等式的关系,增强几何直观”[1]。
因此,教师在引导学生进行初中函数图象与性质的复习时,应当立足函数的关键问题(函数、方程与不等式)。
【总页数】4页(P23-26)
【作者】林平
【作者单位】福建省漳州第一中学
【正文语种】中文
【中图分类】G63
【相关文献】
1.提炼实用性质妙求k值问题——例谈反比例函数图象的几个常用性质及其应用
2.“融汇贯通多题归一”中考二轮专题复习课初探——以《巧构辅助圆妙解几何题》一课为例
3.玩转高考真题——三角函数图象与性质
4.三角函数的图象与性质“一题多问”复习方法浅谈
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初中数学中考复习策略探究
初中数学中考复习策略探究发布时间：2021-08-03T15:40:05.907Z 来源：《教学与研究》2021年4月第10期作者：陈丽萍[导读] 数学学科是一门研究等量关系的学科，通过对各种空间线条、变量关系的研究，可以让学生从特定的角度了解数学形式，最终养成良好的数学思维陈丽萍福建省长泰第二中学 363900摘要：数学学科是一门研究等量关系的学科，通过对各种空间线条、变量关系的研究，可以让学生从特定的角度了解数学形式，最终养成良好的数学思维。
初中生正处于思想、智力快速发展的阶段，掌握现代教育技术可以让学生掌握基本的数学学习工具，最终全面掌握数学知识和技能。
但是在初中数学中考复习中，学生难以掌握复习规律，从而影响数学成绩，对学生的学习积极性和信心也会造成一定的打击。
本文主要探究关于初中数学中考复习策略，旨在帮助学生在短时间内掌握复习技巧，帮助学生轻松应对中考，从而取得理想的成绩。
关键词：初中数学中考复习策略初中数学中考复习是初中数学学习过程中必须要经历的一个阶段。
初一是起始阶段，初三是关键学习阶段。
中考是初中学习的节点，对于学生们而言，这也是非常重要的一次考试。
中考成绩理想，学生就可以顺利进入自己喜欢的高中去开始全新的学习。
初中数学中考复习需要教师发挥自身的引领作用，帮助学生系统、全面、深入的复习，并掌握每一个数学知识点，从而让学生充分巩固、消化、运用自己所学的知识。
一、巩固基础知识，提升学生基本技能首先，教师需要引导学生对教材知识进行整体回顾。
当前，中考数学命题中占分最高的是对数学基础知识的运用。
后面的大题，也是选择的教材中典型的例题或习题，并对其进行了形式上的变化。
因此学生需要深入分析教材，根据自己所学的知识构建知识网，形成知识体系，并对解题步骤、方法、技巧也进行分类归纳。
对于这门课程的复习，教师可以引导学生按照知识点进行模块化复习，将代数知识、方程式知识、函数知识、几何知识分为不同的模块或者单元，比如在进行初三数学教材复习时，引导学生根据几何基本概念、原理、定理，点、线、图形、面等进行分类复习。
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函数与四边形的结合
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二次根式、分式有意 义的条件
TO BE NO.1 整式与二次根式的混合运算