二元泰勒公式
二元函数泰勒展开
二元函数泰勒展开二元函数泰勒展开是一种数学分析方法，也叫泰勒公式，它可以将任何满足泰勒展开条件的复合函数f(x)展开成无穷多个项相加求和的形式。
泰勒展开是一种重要的教学算法，用来估算函数在某点附近的值，是函数展开技术的基础。
一、定义二元函数泰勒展开就是把复合函数f(x)展开成一个无穷多的项之和的形式。
它可以以更加方便的方式计算函数f(x)在某一点x附近的值。
它可以用数学公式来描述：f(x) = f(a) + (x-a) * f ‘(a) + (x-a)^2 / 2! * f ”(a) + (x-a)^3 / 3! * f ””(a)+ …… + (x-a)^n / n! * f^(n)(a) + ……其中f(a)是复合函数在a处的值，f‘()是函数一阶导数，f”()是函数二阶导数，f””()是函数三阶导数，f^(n)()是函数n阶导数，n!=1*2*3*…..*n。
二、优势二元函数泰勒展开有以下优势：（1）复杂函数可以拆分成一连串更简单的子函数，很容易解决；（2）提高计算精度，避免取样点数太多，节约计算时间；（3）泰勒展开能够准确预测复合函数在某一点附近的值，可以用于数值计算；（4）计算过程和精度可以更好地控制；（5）这种方法的有效计算可以提高数值计算的精度，并帮助形象化复杂的函数，从而帮助理解复杂的数学关系。
三、应用（1）物理学领域：物理学中最常用到二元函数泰勒展开的就是物理运动方程，定义速度、位置、加速度等等，本质上就是对函数进行求导；（2）流体力学里可以使用计算流体压力场的展开；（3）工程学中，常用于计算梯度，从而进而计算曲面等；（4）经济学中，可以使用二元函数泰勒展开来解决宏观经济的代数问题；（5）在计算机科学中，可以使用二元函数泰勒展开来进行机器学习等，从而更好地拟合历史数据。
四、总结可以看出，二元函数泰勒展开是一种有效而又简单的数学计算技术，用它可以更好地估算函数及其对应的曲线在某一点附近的值，帮助我们计算机复杂的函数，发现隐藏在这些复杂函数曲线之中的细微差别。
二元函数的泰勒公式数一考吗
二元函数的泰勒公式数一考吗
泰勒公式是微积分中的重要内容，用于将一个函数在某一点处展开成无限项的多项式。
在二元函数中，泰勒公式同样适用，但需要考虑二元函数的偏导数。
具体来说，若$f(x,y)$在$(a,b)$处二阶可导，则有以下泰勒公式：$f(x,y)=f(a,b)+\frac{\partial f}{\partial x}(a,b)(x-
a)+\frac{\partial f}{\partial y}(a,b)(y-b)+\frac{1}{2!}\left[\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(a,b)(x-a)^2+2\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}(a,b)(x-a)(y-b)+\frac{\partial^2 f}{\partial
y^2}(a,b)(y-b)^2\right]+R_2(x,y)$其中$R_2(x,y)$为余项，满足
$\lim_{(x,y)\to(a,b)}\frac{R_2(x,y)}{\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}^2}=0$。
泰勒公式在数学、物理等领域有着广泛的应用。
例如，它可以用于求解函数的近似值、研究函数的性质、优化问题的求解等等。
因此，对于学习微积分和相关领域的人来说，掌握二元函数的泰勒公式是非常重要的。
而对于考试来说，泰勒公式也是一道常见的数学题目，需要熟练掌握其公式和应用。
综上所述，二元函数的泰勒公式数一考吗？答案是肯定的。
它不仅是微积分中的重要内容，还有着广泛的应用。
因此，我们应该认真学习和掌握它，以便在学术和职业生涯中更好地应用它。
高等数学 多元函数的微分中值定理和泰勒公式
一元函数 f ( x) 的泰勒公式:
f ( x0 ) 2 f ( x0 h) f ( x0 ) f ( x0 )h h 2!
f ( n ) ( x0 ) n h n!
推广 多元函数泰勒公式
(0 1)
记号 (设下面涉及的偏导数连续): • (h k ) f ( x0 , y0 ) 表示 h f x ( x0 , y0 ) k f y ( x0 , y0 ) x y 2 • (h k ) f ( x0 , y0 ) 表示 x y
1 (h 2! x 1 (h n! x 2 k y) n k y)
f ( x0 , y0 ) f ( x0 , y0 ) Rn
①
1 ( h k ) n 1 f ( x h, y k ) ② 其中 Rn ( n 0 0 1)! x y
m
( m) (0) (h x k y ) m f ( x0 , y0 )
由 (t ) 的麦克劳林公式, 得
将前述导数公式代入即得二元函数泰勒公式.
说明: 因 f 的各 n+1 阶偏导数连续, (1) 余项估计式. 在某闭
邻域其绝对值必有上界 M , M Rn ( h k ) n 1 (n 1) ! 则有
例1. 求函数 f ( x, y ) ln(1 x y ) 在点 (0,0) 的三阶泰
勒公式. 解:
1 f x ( x, y ) f y ( x, y ) 1 x y f x x ( x, y ) f x y ( x, y ) f y y ( x, y )
3 f x y 4 f x y
二元函数的泰勒公式
二元函数的泰勒公式1、一元函数泰勒公式：对于较复杂的函数来说，为了简便研究，往往用一些简单的函数来近似表达（多项式近似表达函数）例如：1~+x e xx x ~)1ln(+ 上式只有当，误差才是比x 的高阶无穷小。
0→x 但是：不能具体估计出误差的大小。
泰勒定理（Taylor ）:函数)(x f y =在含有的开区间(a , b)内具有直到n+1阶导数,当x 在(a , b)内时，可以表示为x-的一个n 次多项式，与一个余项之和：0x )(x f y =0x )(x R n （1）n 阶泰勒公式： )(!1)()()(000x x x f x f x f -'+=+200)(!2)(x x x f -''+300)(!3)(x x x f -'''+400)4()(!4)(x x x f -+……+n n x x n x f )(!)(00)(-+ )(x R n （2）拉格朗日型余项：)(x R n =10)1()()!1()(++-+n n x x n f ξ （3）函数按x-的幂展开的n 次近似多项式：0x )(!1)(f )()(000x x x x f x f -'+=+200)(!2)(x x x f -''+3)00(!3)(x x x f -'''+400)4()(!4)(x x x f -+……+n n x )0-x n x f (!)(0)( 其中：=)(x R n 10)1()()!1()(++-+n n x x n f ξ ξ为与x 之间的某个值0x = )(x R n ])[(0n x x o -（4）迈克劳林公式当取=0，则0x ξ为0与x 之间，因此可以令x θξ=)10(<<θ从而使泰勒公式变成较简单的形式： )(!1)0()0()(x f f x f '+=+2)(!2)0(x f ''+3)(!3)0(x f '''+4)4()(!4)0(x f +……+n n x n f )(!)0()(+ 1)1()()!1()(+++n n x n x f θ )10(<<θ由此可以得到近似公式：)(!1)0()0()(x f f x f '+=+2)(!2)0(x f ''+3)(!3)0(x f '''+4)4()(!4)0(x f +……+n n x n f )(!)0()( 2、 二元函数泰勒公式：对于多元函数来说，也必须考虑用多个变量的多项式来近似表达一个给定的多元函数，并具体估算其误差的大小。
二元函数的泰勒公式
二元函数的泰勒公式二元函数是数学中非常重要的一类函数，它的式子是一元多项式的幂函数形式。
它具有很高的数学意义和应用价值，所以学习它是有必要的。
在二元函数中，泰勒公式是最重要的一种，也是最有用的一种。
泰勒公式有多种形式，可以应用于许多领域，其中最重要的是无穷级数法、复变函数法以及数值计算法。
泰勒公式是事实上经常使用的一种关于函数表达式的展开式。
它是一种描述函数的技巧，可以用来测量函数的性质，也可以用来估计函数的值。
在求解函数的过程中，它可以帮助我们更加准确、有效地求解问题，用以解决各种实际应用中的问题。
泰勒公式常用来研究一般连续函数f(x)，它被定义为连续函数f(x)在x=a处的泰勒展开式，其形式为：f(x)=f(a)+f(a)(x-a)+f(a)(x-a)2/2!+f(a)(x-a)3/3!+…+f^(n)(a)(x-a)n/n!由此可见，泰勒公式的每一项都有着与它相关的求导数次数，所以二元函数的泰勒公式可以把连续函数f(x)表示为一个无穷级数，由此可以理解为一个与实际应用所属的某一领域有关的特殊函数。
泰勒公式实际上是一个重要的逐步近似技术，它可以用来计算函数f(x)在x=a附近的局部变化。
比如，当函数f(x)在x=a处求导结果为f′(a)，进一步求出f″(a)，以及更高阶的求导数，那么泰勒公式就可以利用它们来得到函数f(x)在x=a处的局部变化。
由于函数f(x)每一项都相互独立，在每一项求导数的次数均较少，因而可以节省计算量，这也是使用泰勒公式的原因之一。
而在应用中，泰勒公式可以用于数值计算、插值计算、积分运算等，还可以用于研究复变函数、无穷级数的收敛性等。
特别是在无穷级数的研究中，使用它就可以快速进行研究，大大减少了计算量。
综上所述，泰勒公式是一种用于研究特殊函数和无穷级数的重要方法。
从学习、研究上来说，了解泰勒公式对于更好地理解函数有着重要的意义，因此，认真学习泰勒公式是很有必要的。
对于多元函数泰勒展开
对于多元函数泰勒展开
多元函数泰勒展开式常用公式
在数学中，泰勒展开式是描述一个函数在某个值附近局部逼近的一种方法。
多元函数泰勒展开式就是将该方法扩展到多个自变量的情况下。
多元函数泰勒展开式常用公式包括：
1. 二元函数的泰勒展开式
f(x,y) = f(a,b) + (x-a)f1(a,b) + (y-b)f2(a,b) + 1/2[(x-a)^2 f11(a,b) + 2(x-a)(y-b)f12(a,b) + (y-b)^2 f22(a,b)] + R2(x,y) 其中，f1(a,b)表示f对x的偏导数在点(a,b)处的值，f2(a,b)
表示f对y的偏导数在点(a,b)处的值，f11(a,b)表示f对x的二阶偏导数在点(a,b)处的值，f22(a,b)表示f对y的二阶偏导数在点(a,b)处的值，f12(a,b)表示f对x和y的混合偏导数在点(a,b)处的值，R2(x,y)为余项。
2. 高维函数的泰勒展开式
f(x1,x2,…,xn) = f(a1,a2,…,an) + (∂f/∂xi)(xi-ai) + 1/2(∂^2f/∂xi∂xj)(xi-ai)(xj-aj) + …
其中，∂f/∂xi表示f对第i个自变量的偏导数，∂^2f/∂xi∂xj表示f对第i个和第j个自变量的混合偏导数。
多元函数泰勒展开式在数学、物理、工程等领域中都有广泛应用。
它可以用于函数近似、误差分析、参数优化等问题。
总结：多元函数泰勒展开式是对多维函数在某点局部逼近的一种
方法，常用公式包括二元函数的泰勒展开式和高维函数的泰勒展开式。
它在实际应用中具有广泛的用途。
8个泰勒公式常用公式
8个泰勒公式常用公式泰勒公式是一种在微积分中非常重要的工具，它可以利用函数在其中一点的导数来近似地表示函数在该点附近的取值。
在数学和物理等领域，泰勒公式广泛应用于函数的近似计算和数值求解等问题。
下面我们介绍一些常用的泰勒公式及其应用。
1.一阶泰勒公式一阶泰勒公式也称为泰勒展开式，用于近似地表示函数在其中一点附近的取值。
设函数$f(x)$在$x=a$处可导，则函数$f(x)$在$x=a$处的一阶泰勒公式为$$f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a)$$其中$f'(a)$表示函数$f(x)$在$x=a$处的导数。
一阶泰勒公式常用于近似计算和数值求解等问题中。
2.二阶泰勒公式二阶泰勒公式是泰勒展开式的推广，用于更精确地近似表示函数在其中一点附近的取值。
设函数$f(x)$在$x=a$处二阶可导，则函数$f(x)$在$x=a$处的二阶泰勒公式为$$f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2$$其中$f''(a)$表示函数$f(x)$在$x=a$处的二阶导数。
二阶泰勒公式在高精度数值求解和近似计算等问题中广泛应用。
3.泰勒级数泰勒级数是将一个函数在其中一点处展开成无穷级数的形式，用于表示函数在该点附近的取值。
设函数$f(x)$在$x=a$处具有无限阶导数，则函数$f(x)$在$x=a$处的泰勒级数为$$f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3+...$$泰勒级数是一种非常重要的数学工具，能够用无穷阶导数展开的形式表示函数，具有广泛的应用价值。
4.泰勒多项式泰勒多项式是将函数在其中一点处展开成有限项多项式的形式，用于近似地表示函数在该点附近的取值。
二元函数的泰勒公式
§10.4. 二元函数的泰勒公式一、高阶偏导数二元函数),(y x f z =的两个（一阶）偏导数yzx z ∂∂∂∂,仍是x 与y 的二元函数.若它们存在关于x 和y 的偏导数，即.,;,⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂y z y z y z x z x z y z x z x z 称它们是二元函数),(y x f z =的二阶偏导（函）数.二阶偏导数至多有22个.通常将它们表为：⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂x z x z 表为 22xz∂∂ 或 ).,(y x f xx'' ⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂x z y z 表为y x z ∂∂∂2 或 ).,(y x f xy '' （混合偏导数） ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂y z x z 表为 x y z ∂∂∂2 或 ).,(y x f yx'' （混合偏导数） ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂y z y z 表为 22yz ∂∂ 或 ).,(y x f yy'' 一般地，二元函数),(y x f z =的1-n 阶偏导函数的偏导数称为二元函数的n 阶偏导数.二元函数的n 阶偏导数至多有n 2个.二元函数),(y x f z =的n 阶偏导数的符号与二阶偏导数类似.例如，符号k k n n yx z∂∂∂- 或),()(y x f n y x k k n -表示二元函数),(y x f z =的n 阶偏导数，首先对x 求k n -阶偏导数，其次接着对y 求k 阶偏导数.二阶与二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.类似可定义三元函数、一般n 元函数的高阶偏导数.例1. 求函数 332233++-=xy y x y x z 的二阶偏导数.解：.233.63223232xy x y x yzy xy y x x z+-=∂∂+-=∂∂ .66322y xy xz-=∂∂.269222y x y x x y z +-=∂∂∂ .269222y x y x y x z +-=∂∂∂ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂=∂∂∂x y z y x z 22 .26322x y x yz+=∂∂例2. 证明：若,)()()(,1222c z b y a x r ru -+-+-==则.0222222=∂∂+∂∂+∂∂z uy u x u证明： 由§10.3.例2，有.,,333rcz z u rby y u ra x x u --=∂∂--=∂∂--=∂∂623223)(r x rr a x r x u∂∂---=∂∂ ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∂∂r a x x r 6233)(r r ax r a x r ----=.)(31253a x r r -+-=同样，可得.)(31,)(312532225322c z rr z u b y r r y u -+-=∂∂-+-=∂∂ 于是，])()()[(3322253222222c z b y a x r r z u y u x u -+-+-+-=∂∂+∂∂+∂∂.03333=+-=rr定理1. 若函数),(y x f 在点),(00y x P 的邻域G 存在二阶混合偏导数),(y x f xy''与),(y x f yx''，并且它们在点),(00y x P 连续，则),(),(0000y x f y x f yx xy''='' )1(证明 令),(y x F ∆∆[]),(),(0000y x x f y y x x f ∆+-∆+∆+= []),(),(0000y x f y y x f -∆+-，①令),(),()(00y x f y y x f x -∆+=φ.对)(x φ在],[00x x x ∆+上应用拉格朗日中值定理,得 x x x y x F ∆∆+'=∆∆)(),(10θφ[]x y x x f y y x x f x x ∆∆+'-∆+∆+'=),(),(010010θθ y x y y x x f xy∆∆∆+∆+''=),(2010θθ； ②令),(),()(00y x f y x x f y -∆+=ψ.同样方法可以得到y x x y x x f y x F yx∆∆∆+∆+''=∆∆),(),(4030θθ.于是有 =∆+∆+''),(2010y y x x f xyθθ),(4030x y x x f yx ∆+∆+''θθ. 令0,0→∆→∆y x ,取极限得(1)式.例3. 证明：若,sin ,cos ),,(ϕρϕρ===y x y x f z 则.11222222222ρρϕρρ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂ff f y f x f 证明：ρρρ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂y y f x x f f .sin cos ϕϕy fxf ∂∂+∂∂=ϕϕϕ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂y y f x x f f .cos sin ϕρϕρyfx f ∂∂+∂∂-= ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=∂∂ϕϕρρρρsin cos 22y fx f f f f f .sin cos sin cos sin cos 22222222ϕϕϕϕϕϕy f x y f y x f x f ∂∂+∂∂∂+∂∂∂+∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂-∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=∂∂ϕρϕρϕϕϕϕcos sin 22y f x f f f f f ϕρϕϕρϕρcos cos sin sin 222222x f y x f xf ∂∂-∂∂∂-∂∂=.sin cos cos sin 222222ϕρϕρϕϕρy fyf x y f ∂∂-∂∂+∂∂∂-于是，)cos (sin )sin (cos 112222222222222ϕϕϕϕρρϕρρ+∂∂++∂∂=∂∂+∂∂+∂∂y f x f f f f ρϕρϕρϕρϕsin cos sin cos y f x f y f x f ∂∂+∂∂+∂∂-∂∂-.2222yf x f ∂∂+∂∂= 即 .11222222222ρρϕρρ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂ff f y f x f★说明：定理1的结果可推广到n 元函数的高阶混合偏导数上去.例如，三元函数),,(z y x f 关于z y x ,,的三阶偏导数按照不同的顺序共有六个：.,,,,,333333xy z fyx z fyz x fxz y fzx y fzy x f ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂ 若它们在点),,(z y x 都连续，则它们相等.若二元函数),(y x f 所有的混合高阶偏导数都连续，则偏导数（亦称一阶偏导数）有二个，二阶偏导数只有三个)(yx xyf f ''=''，三阶偏导数只有四个.一般情况，n 阶偏导数只有1+n 个.二、二元函数的泰勒公式讨论二元函数泰勒公式的方法是：作一个辅助函数，将二元函数化为一元函数.应用已知的一元函数的泰勒公式和复合函数的微分法得到二元函数的泰勒公式.为了将二元函数),(y x f 在点),(k b h a Q ++的函数值),(k b h a f ++在点),(b a P 展成泰勒公式，作辅助函数,10),,()(≤≤++=t kt b ht a f t ϕ即 .10,,),,()(≤≤+=+==t kt b y ht a x y x f t ϕ显然，).,()1(,1);,()0(,0k b h a f t b a f t ++====ϕϕ于是，函数),(k b h a f ++在点),(b a P 展成的泰勒公式就是一元函数)(t ϕ在点0的泰勒公式（即麦克劳林公式）在1=t 的值.定理2. 若函数),(y x f 在点),(b a P 的邻域G 存在n+1阶连续的偏导数，则G k b h a Q ∈++∀),(，有+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+=++),(!21),(!11),(),(2b a f y k x h b a f y k x h b a f k b h a f ,10),,()!1(1),(!11<<++⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂++θθθk b h a f y k x h n b a f y k x h n n n（4）其中符号),(b a f y x l i⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂表示偏导数l i l i y x f ∂∂∂+在),(b a P 的值， ),(),(0b a f y x k h C b a f y k x h i m i m im i mi i m m--=∂∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂∑.（4）式称为二元函数),(y x f 在),(b a P 的泰勒公式.在泰勒公式（4）中，令0,0==b a ，就得到二元函数),(y x f 的麦克劳林公式（将h 与k 分别用x 与y 表示）：+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+=)0,0(!21)0,0(!11)0,0(),(2f y y x x f y y x x f y x f 10),,()!1(1)0,0(!11<<⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂++θθθy x f y x x n f y y x x n n n（5）在泰勒公式（4）中，当0=n 时，有k k b h a f h k b h a f b a f k b h a f y x ),(),(),(),(θθθθ++'+++'+=++，或10,),(),(),(),(<<++'+++'=-++θθθθθk k b h a f h k b h a f b a f k b h a f y x .（6）（6）式二元函数中值定理的另一种形式，这里只有一个θ.在泰勒公式（4）中，当1=n 时，有k k b h a f h k b h a f b a f k b h a f y x ),(),(),(),(θθθθ++'+++'=-++)7(.10},),(),(2),({2122<<++''+++''+++''+θθθθθθθk k b h a f hk k b h a f h k b h a f yyxy xx例4. 将函数y x e y x f +=),(展成麦克劳林公式.解： 函数y x e y x f +=),(在2R 存在任意阶连续偏导数，且1)0,0(,=∂∂∂=∂∂∂+++f yx e y x flm lm y x l m l m ， m 与l 是任意非负整数.由公式（5），有.10,)()!1(1)(!1)(!21)(1)(12<<++++++++++=+++θθy x n n y x e y x n y x n y x y x e三、二元函数的极值1. 极值点的定义定义 设函数(,)f x y 在点(,)P a b 的邻域G 有定义.若(,)a h b k G ∀++∈，有(,)(,)((,)(,))f a h b k f a b f a h b k f a b ++≤++≥，则称(,)P a b 是函数(,)f x y 的极大点（极小点）.极大点（极小点）的函数值(,)f a b 称为函数(,)f x y 的极大值（极小值）.极大点与极小点统称为极值点.极大值与极小值统称为极值.例如，点(1,2)是函数22(,)(1)(2)1f x y x y =-+--的极小点，极小值是(1,2)1f =-.事实上，(,)x y ∀，有22(1)(2)0x y -+-≥， 于是 (,)(1,2).f x y f ≥2. 极值点的必要条件定理3. 若函数(,)f x y 在点(,)P a b 存在两个偏导数，且(,)P a b 是函数(,)f x y 的极值点，则(,)0x f a b '= 与 (,)0y f a b '=.证明：已知(,)P a b 是函数(,)f x y 的极值点，即x a =是一元函数(,)f x b 的极值.根据一元函数极值的必要条件，a 是一元函数(,)f x b 的稳定点，即(,)0x f a b '=. 同法可证， (,)0y f a b '=.方程组 (,)0,(,)0,x yf x y f x y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩ 的解（坐标平面上某些点）称为函数(,)f x y 的稳定点.★定理3指出，可微函数(,)f x y 的极值点一定是稳定点.反之，稳定点不一定是极值点.例如，函数（双面抛物面） 22(,)f x y x y =-. 2,2.x y f x f y ''==-显然，点(0,0)是函数22(,)f x y x y =-的稳定点.但点(0,0)并不是函数22(,)f x y x y =-的极值点.3. 极值点的充分条件定理4. 设函数(,)f x y 有稳定点(,)P a b ，且在点(,)P a b 的邻域G 存在二阶连续偏导数.令 (,),(,),(,).xxxyyyA f a bB f a bC f a b ''''''=== 2.B AC ∆=-1）若0∆<，则(,)P a b 是函数(,)f x y 的极值点：（ⅰ）0(A >或C>0)，(,)P a b 是函数(,)f x y 的极小点. （ⅱ）0(A <或C<0)，(,)P a b 是函数(,)f x y 的极大点. 2）若0∆>，则(,)P a b 不是函数(,)f x y 的极值点.注：当判别式0∆=时，稳定点(,)P a b 可能是函数(,)f x y 的极值点，也可能不是函数(,)f x y 的极值点.例如，函数2222222123(,)(),(,)(),(,).f x y x y f x y x y f x y x y =+=-+=不难验证，(0,0)P 是每个函数唯一的稳定点，且在稳定点(0,0)P 每个函数的判别式20B AC ∆=-=.显然，稳定点(0,0)P 是函数2221(,)()f x y x y =+的极小点；是函数2222(,)()f x y x y =-+的极大点；却不是函数23(,)f x y x y =的极值点.求可微函数f(x,y)的极值点的步骤：1）求偏导数，解方程组(,)0,(,)0,x yf x y f x y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩求稳定点.设其中一个稳定点是(,)P a b .2）求二阶偏导数，写出2(,)(,)(,).xy xxyy f x y f x y f x y ''''''⎡⎤-⎣⎦ 3）将稳定点(,)P a b 的坐标代入上式，得判别式2(,)(,)(,).xy xxyy f a b f a b f a b ''''''⎡⎤∆=-⎣⎦ 再由∆的符号，根据下表判定(,)P a b 是否是极值点：例6. 求函数333z x y xy =+-的极值. 解： 解方程组22(,)320,(,)330.x yf x y x y f x y y x '⎧=-=⎪⎨'=-=⎪⎩ 解得两个稳定点（0，0）与（1，1）.求二阶偏导数(,)6,(,)3,(,)6.xxxyyyf x y x f x y f x y y ''''''==-= 2[(,)](,)(,)936.xyxx yy f x y f x y f x y xy ''''''-=- 在点(0,0),90,(0,0)∆=>不是函数的极值点.在点(1,1),270,∆=-<且60,(1,1)A =>是函数的极小点，极小值是 33(1,1)(3)1x y xy +-=-.4. 二元函数f （x ，y ）在实际问题中的最大、最小值一般来说，求函数(,)f x y 在D 的边界上的最大（小）值是很困难的.但是，在很多实际问题，根据问题的实际意义，函数(,)f x y 的最大（小）值必在区域D （D 可以是无界区域）内某点P 取得，又函数(,)f x y 在D 内只有一个稳定点P ，那么函数(,)f x y 必在这个稳定点P 取得最大（小）值.例7. 用钢板制造容积为V 的无盖长方形水箱，问怎样选择水箱的长、宽、高才最省钢板.解： 设水箱长、宽、高分别是,,x y z .已知xyz V =，从而高Vz xy=.水箱表面的面积11(22)2VS xy x y xy V xy x y ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭， S 的定义域{}(,)0,0D x y x y =<<+∞<<+∞.这个问题就是求函数S 在区域D 内的最小值.解方程组22221220,1220.S V y V y x x x S V x V x y y y ⎧∂⎛⎫=+-=-= ⎪⎪∂⎝⎭⎪⎨⎛⎫∂⎪=+-=-= ⎪⎪∂⎝⎭⎩在区域D内解得唯一稳定点.求二阶偏导数2234,S Vx x∂=∂ 21S x y ∂=∂∂， 2234S V y y ∂=∂. 222222233161S S S V x y x yx y ⎛⎫∂∂∂-⋅=- ⎪∂∂∂∂⎝⎭.在稳定点，30∆=-<，且20A =>，从而，稳定点是S 的极小点.因此，函数S在点取最小值.当x y ==z ==即无盖长方形水箱2x y z ===，所需钢板最省. 例8. 在已知周长为2p 的一切三角形中，求出面积为最大的三角形. 解：设三角形的三个边长分别是,,x y z .面积是ϕ.由海伦公式，有ϕ= （8）已知22x y z p z p x y ++==--或，将它代入（8）式之中，有ϕ=因为三角形的每边是正数而且小于半周长p ，所以ϕ的定义域 {}(,)0,0,D x y x p y p x y p =<<<<+>.已知ϕ的稳定点与2p ϕ的稳定点相同.为计算方便，求2()()()p x p y x y p pϕψ==--+-的稳定点.解方程组(,)()()()()()(22)0.(,)()(_()()()(22)0.x y x y p y x y p p x p y p y p x y x y p x x y p p x p y p x p y x ψψ'=--+-+--⎧⎪=---=⎪⎨'=--+-+--⎪⎪=---=⎩在区域D 内有唯一稳定点22,33p p ⎛⎫⎪⎝⎭.求二阶偏导数 (,)2(),(,)2()3,xxxy x y p y x y x y p ψψ''''=--=+- (,)2().yy x y p x ψ''=--2222[(,)](,)(,)444885.xy xx yy x y x y x y x xy y px py p ψψψ''''''-=++--+在稳定点22,33p p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，220,033p A p ∆=-<=-<.从而，稳定点22,33p p ⎛⎫⎪⎝⎭是函数ψ，即ϕ的极大点.由题意，ϕ在稳定点22,33p p ⎛⎫⎪⎝⎭必取到最大值.当23p x =，23p y =时，223pz p x y =--=，即三角形三边长的和为定数时，等边三角形的面积最大.。