§3-4概率的定义与性质、运算

（2）一般，对于任意n 个事件 A1, A2, , An ，利用归纳法 可得
P( A1 A2
n
An ) P(Ai )
P( Ai Aj )
i 1
1i jn
P(Ai Aj Ak ) (1)n1 P( A1A2 An ).
1i jk n
§4 等可能概型 (古典概型)
1. 定义
(1) 试验的样本空间只包含有限个元素; (2) 试验中每个基本事件发生的可能性相同. 具有以上两个特点的试验称为等可能概型或 古典概型.
（5）逆事件的概率：P( A) 1 P( A)
（6）加法公式：对任意两个事件A、B，有：
P(A B) P(A) P(B) P(AB)
推广
（1）设 A, B,C 为任意三个事件，则有 P(A B C) P(A) P(B) P(C) P(AB) P(AC) P(BC) P(ABC) .
概率的重要性质：P8 (1) P() 0
(2) (有限可加性)若 A1, A2, , An 是两两互不相容的事件，
则有
P( A1 A2
n
An ) P( Ai ) . i 1
（3）设A, B是两个事件，若 A B 则有：
P（B – A）= P（B）– P（A）
（4）对任意事件A , P(A) ≤1。
§3 频率与概率 （P5）
1. 频率的定义
在相同的条件下, 进行了n 次试验 ,在这 n 次试验中, 事件 A 发生的次数 nA 称为事件 A 发 生的频数.比值 nA 称为事件 A 发生的频率,并记
n 成 fn( A).
2. 性质
设 A 是随机试验 E 的任一事件, 则
(1) 0 fn( A) 1;
(2) f (S) 1, f () 0;
(3) 若 A1, A2 , , Ak 是两两互不相容的事件,则 f ( A1 A2 Ak ) fn( A1 ) fn( A2 ) fn( Ak ).
我们再来看一个验证频率稳定性的著名实验
高尔顿(Galton)板试验.
试验模型如下所示:
自上端放入一小球,任其自 由下落,在下落过程中当小球碰 到钉子时,从左边落下与从右边 落下的机会相等.碰到下一排钉 子时又是如此.最后落入底板中 的某一格子.因此,任意放入一球, 则此球落入哪一个格子,预先难以确定.但是如果放 入大量小球,则其最后所呈现的曲线,几乎总是一样 的.
概率的定义（公理化定义）： 设E是随机试验，S是它的样本空间。对于E的每一
事件A赋予一个实数，记为P(A)，称为事件A的概率， 如果集合函数P(·)满足下列条件：
(1) 非负性：0 P(A);
(2) 规范性：P(S) 1;
(3) 可列可加性：若A1, A2, , Ak ......是两两互不相容的事件, 则P(A1 A2 ) P(A1) P(A2 ) .
例题4 （P12） （抽取问题）从一批由9件正品、3件 次品组成的产品中，一次抽取5件，求其中恰有2件次 品的概率。
例题5 （P12） ：
例题7, 8（P13 ～14） ：
补充例题： 1、一袋中装有 N-1 只黑球和一只白球。现从袋中
随机地摸出一球，并换入一只黑球，继续下去。问第 k次摸到黑球的概率。
2. 古典概型中事件概率的计算公式
设试验 E 的样本空间由n 个样本点构成， A 为 E 的任意一个事件，且包含 m 个样本点，则事 件 A 出现的概率记为:
P( A)
m n
A
所包含样本点的个数 样本点总数
.
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称此为概率的古典定义.
例题1, 2 （P10） ：
例题3 （P11） ：
我们对例3进行数值计算，得：