北邮研究生概率论第一讲解读
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他们三人提出的解法中，都首先涉及了数学期望这一概 念，并由此奠定了古典概率论的基础。
使概率论成为数学一个分支的真正奠基人是 瑞士数学家雅各布·伯努利（1654~1705），他的 重要贡献是建立了概率论中的第一个极限定理， 即伯努利大数定律，发表在1713出版的遗著《猜 度术》中。美国概率史专家海金（Hacking）称 此书标志着“概率漫长的形成过程的终结与数学 概率论的开端”。
概率论与随机过程
黎淑兰
学时数：54 教材：王玉孝，《概率论与随机过程》，北邮出版社 参考书： 1. 陆大琻，《随机过程及其应用》，清华大学出版社 2. 严士健等，《测度与概率》，北京师范大学出版社 3. 张朝金著，《概率论中的反例》 4. 王玉孝，《概率论与随机过程习题解答》，北邮教材
中心
2020/11/14
北京邮电大学电子工程学院
1
教学安排
先修课程：高等数学，概率论 考试：闭卷，期末70%，平时30% 电子邮件：lishulan@ 手机 15210631976
2020/11/14
北京邮电大学电子工程学院
2
一、概率论与随机过程的历史及应用
1. 概率论的诞生及发展
17、18世纪，数学获得了巨大的进步。数学家 们冲破了古希腊的演绎框架，向自然界和社会生活 的多方面汲取灵感，数学领域出现了众多崭新的生 长点，而后都发展成完整的数学分支。除了分析学 这一大系统之外，概率论就是这一时期"使欧几里 得几何相形见绌"的若干重大成就之一。
1651年,一个名叫梅累的骑士和朋友保罗各出30枚金 币作为赌金，两人事先选好一个点数，梅累选择了 “5”，保罗选择了“3”，游戏规则是：如果谁先掷 出了3次自己所选的点数，谁就赢得全部60个金币。游 戏进行到梅累掷出2次“5”点，保罗掷出1次“3”点 时，由于发生一个紧急事情，梅累必须马上离开，游 戏因此中断，两人为赌本的分配问题争执不下，恰逢 帕斯卡经过梅累他们所在的小镇，于是梅累就“分赌 金问题”求教于帕斯卡。
解法三：弦长只跟它与圆心的距离有关，而与方向无关 ，因此可假定它垂直于某一直径。对于这种弦，当且仅 当它与圆心的距离小于1/2时，其长才大于内接等边三角 形的边长。因此所求概率为1/2。
悖论的根源在于，无论三种情形下的哪一种，都假 定各自的参数均匀地分布在给定的区域里。解法1中，假 定一端固定而另一端点在圆周上均匀分布；解法2中，又 假定弦的中点在圆内均匀分布；而解法3中，假定弦的中 点在直径上均匀分布。因此事实上三个问题都被解出。
19世纪末，一方面概率论在统计物理等领域的 应用提出了对概率论基本概念与原理进行解释的需 要，另一方面，科学家们在这一时期发现的一些概 率论悖论也揭示出古典概率论中基本概念存在的矛 盾与含糊之处。这些问题强烈要求对概率论的逻辑 基础做出更加严格的考察，也就是建立概率论的公 理化体系。
贝特朗悖论
1889年，贝特朗在他的《概率论》一书中给 出了这样一个例子：在半径为1的圆内随机地取一 条弦，问其长超过该圆内接等边三角形的边长的 概率为多少?
概率论起源于对赌博问题的研究。早在16世 纪，意大利学者卡丹与塔塔里亚等人就已从数学 角度研究过赌博问题。他们的研究除了赌博外还 与当时的人口、保险业等有关，但由于卡丹等人 的思想未引起重视，概率概念的要旨也不明确， 于是很快就被人淡忘了。概率概念的要旨在17世 纪中叶法国数学家帕斯卡（1623~1662）与费 马（1601~1665）的讨论中才比较明确。
同一时期还出现了许多悖论，“这类悖论说明概率的 概念是以某种确定的试验为前提的，这种试验有时由问 题本身所明确规定,有时则不然。因此贝特朗等悖论的矛 头直指概率概念本身”，正是这些问题促使人们开始深 入思考概率论的基础问题。
俄国数学家伯恩斯坦和奥地利数学家冯•米西斯 (R.von Mises,1883-1953)对概率论的严格化做了最早的尝 试。但他们提出的公理理论并不完善。事实上，真正严 格的公理化概率论只有在测度论和实变函数理论的基础 上才可能建立。测度论的奠基人，法国数学家博雷尔 (E.Borel,1781-1956)首先将测度论方法引入概率论重要问 题的研究，并且他的工作激起了数学家们沿这一崭新方 向的一系列搜索。特别是原苏联数学家科尔莫戈罗夫的 工作最为卓著。
解法一：任何弦交圆周两点。不失一般性，先固定其中 一点于圆周上，以此点为顶点作一内接等边三角形。显 然只有落入此三角形的弦才满足要求，而这种弦的长度 为整个圆周的1/3，故所求概率为1/3。
解法二：弦被其中点唯一确定，当且仅当其中点属于半径 为1/2的同心圆时，弦,故所求概率为1/4。
到了1730年，法国数学家棣莫弗（1667~1754）出版其著 作《分析杂论》，当中包含了著名的“棣莫弗—拉普拉斯定 理”。这就是概率论中第二个基本极限定理的原始初形。棣 莫弗历史上第一次提出了正态分布（标准正态分布）。
接着拉普拉斯（1749~1827）在1812年出版的《概率的分 析理论》中，首先明确地对概率作了古典的定义。拉普拉斯 以强有力的分析工具处理了概率论的基本内容，实现了从组 合技巧向分析方法的过渡，使以往零散的结果系统化，开辟 了概率论发展的新时期。
帕斯卡与费马通信讨论这一问题，引进了递推法、差分 方程法作为解决复杂概率计算问题的有力工具，并 于1654 年共同建立了概率论的第一个基本概念。
在这期间，荷兰数学家惠更斯（1629~1695）恰好在巴 黎，也参与过他俩的讨论。后来，在1657年，他把讨论结果 写成了一本书《论赌博中的计算》，这是概率论发展史上的 第一本著作。书中在历史上第一次把以前的概率论知识系统 化、公式化和一般化，第一次把概率论建立在公理、命题和 问题上而构成一个较完整的理论体系。因此，该书被看着是 概率论诞生的标志。
另一在概率论发展史上的代表人物是法国的泊松。他 推广了伯努利形式下的大数定律，研究得出了一种新的 分布，就是泊松分布。概率论继他们之后，在19世纪后 期，其中心研究课题则集中在推广和改进伯努利大数定 律及中心极限定理。
俄国数学家切比雪夫对此做出了重要贡献。他建立 了关于独立随机变量序列的大数定律，推广了棣莫弗— 拉普拉斯的极限定理。切比雪夫的成果后被其学生马尔 可夫发扬光大，影响了20世纪概率论发展的进程。
使概率论成为数学一个分支的真正奠基人是 瑞士数学家雅各布·伯努利（1654~1705），他的 重要贡献是建立了概率论中的第一个极限定理， 即伯努利大数定律，发表在1713出版的遗著《猜 度术》中。美国概率史专家海金（Hacking）称 此书标志着“概率漫长的形成过程的终结与数学 概率论的开端”。
概率论与随机过程
黎淑兰
学时数：54 教材：王玉孝，《概率论与随机过程》，北邮出版社 参考书： 1. 陆大琻，《随机过程及其应用》，清华大学出版社 2. 严士健等，《测度与概率》，北京师范大学出版社 3. 张朝金著，《概率论中的反例》 4. 王玉孝，《概率论与随机过程习题解答》，北邮教材
中心
2020/11/14
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教学安排
先修课程：高等数学，概率论 考试：闭卷，期末70%，平时30% 电子邮件：lishulan@ 手机 15210631976
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一、概率论与随机过程的历史及应用
1. 概率论的诞生及发展
17、18世纪，数学获得了巨大的进步。数学家 们冲破了古希腊的演绎框架，向自然界和社会生活 的多方面汲取灵感，数学领域出现了众多崭新的生 长点，而后都发展成完整的数学分支。除了分析学 这一大系统之外，概率论就是这一时期"使欧几里 得几何相形见绌"的若干重大成就之一。
1651年,一个名叫梅累的骑士和朋友保罗各出30枚金 币作为赌金，两人事先选好一个点数，梅累选择了 “5”，保罗选择了“3”，游戏规则是：如果谁先掷 出了3次自己所选的点数，谁就赢得全部60个金币。游 戏进行到梅累掷出2次“5”点，保罗掷出1次“3”点 时，由于发生一个紧急事情，梅累必须马上离开，游 戏因此中断，两人为赌本的分配问题争执不下，恰逢 帕斯卡经过梅累他们所在的小镇，于是梅累就“分赌 金问题”求教于帕斯卡。
解法三：弦长只跟它与圆心的距离有关，而与方向无关 ，因此可假定它垂直于某一直径。对于这种弦，当且仅 当它与圆心的距离小于1/2时，其长才大于内接等边三角 形的边长。因此所求概率为1/2。
悖论的根源在于，无论三种情形下的哪一种，都假 定各自的参数均匀地分布在给定的区域里。解法1中，假 定一端固定而另一端点在圆周上均匀分布；解法2中，又 假定弦的中点在圆内均匀分布；而解法3中，假定弦的中 点在直径上均匀分布。因此事实上三个问题都被解出。
19世纪末，一方面概率论在统计物理等领域的 应用提出了对概率论基本概念与原理进行解释的需 要，另一方面，科学家们在这一时期发现的一些概 率论悖论也揭示出古典概率论中基本概念存在的矛 盾与含糊之处。这些问题强烈要求对概率论的逻辑 基础做出更加严格的考察，也就是建立概率论的公 理化体系。
贝特朗悖论
1889年，贝特朗在他的《概率论》一书中给 出了这样一个例子：在半径为1的圆内随机地取一 条弦，问其长超过该圆内接等边三角形的边长的 概率为多少?
概率论起源于对赌博问题的研究。早在16世 纪，意大利学者卡丹与塔塔里亚等人就已从数学 角度研究过赌博问题。他们的研究除了赌博外还 与当时的人口、保险业等有关，但由于卡丹等人 的思想未引起重视，概率概念的要旨也不明确， 于是很快就被人淡忘了。概率概念的要旨在17世 纪中叶法国数学家帕斯卡（1623~1662）与费 马（1601~1665）的讨论中才比较明确。
同一时期还出现了许多悖论，“这类悖论说明概率的 概念是以某种确定的试验为前提的，这种试验有时由问 题本身所明确规定,有时则不然。因此贝特朗等悖论的矛 头直指概率概念本身”，正是这些问题促使人们开始深 入思考概率论的基础问题。
俄国数学家伯恩斯坦和奥地利数学家冯•米西斯 (R.von Mises,1883-1953)对概率论的严格化做了最早的尝 试。但他们提出的公理理论并不完善。事实上，真正严 格的公理化概率论只有在测度论和实变函数理论的基础 上才可能建立。测度论的奠基人，法国数学家博雷尔 (E.Borel,1781-1956)首先将测度论方法引入概率论重要问 题的研究，并且他的工作激起了数学家们沿这一崭新方 向的一系列搜索。特别是原苏联数学家科尔莫戈罗夫的 工作最为卓著。
解法一：任何弦交圆周两点。不失一般性，先固定其中 一点于圆周上，以此点为顶点作一内接等边三角形。显 然只有落入此三角形的弦才满足要求，而这种弦的长度 为整个圆周的1/3，故所求概率为1/3。
解法二：弦被其中点唯一确定，当且仅当其中点属于半径 为1/2的同心圆时，弦,故所求概率为1/4。
到了1730年，法国数学家棣莫弗（1667~1754）出版其著 作《分析杂论》，当中包含了著名的“棣莫弗—拉普拉斯定 理”。这就是概率论中第二个基本极限定理的原始初形。棣 莫弗历史上第一次提出了正态分布（标准正态分布）。
接着拉普拉斯（1749~1827）在1812年出版的《概率的分 析理论》中，首先明确地对概率作了古典的定义。拉普拉斯 以强有力的分析工具处理了概率论的基本内容，实现了从组 合技巧向分析方法的过渡，使以往零散的结果系统化，开辟 了概率论发展的新时期。
帕斯卡与费马通信讨论这一问题，引进了递推法、差分 方程法作为解决复杂概率计算问题的有力工具，并 于1654 年共同建立了概率论的第一个基本概念。
在这期间，荷兰数学家惠更斯（1629~1695）恰好在巴 黎，也参与过他俩的讨论。后来，在1657年，他把讨论结果 写成了一本书《论赌博中的计算》，这是概率论发展史上的 第一本著作。书中在历史上第一次把以前的概率论知识系统 化、公式化和一般化，第一次把概率论建立在公理、命题和 问题上而构成一个较完整的理论体系。因此，该书被看着是 概率论诞生的标志。
另一在概率论发展史上的代表人物是法国的泊松。他 推广了伯努利形式下的大数定律，研究得出了一种新的 分布，就是泊松分布。概率论继他们之后，在19世纪后 期，其中心研究课题则集中在推广和改进伯努利大数定 律及中心极限定理。
俄国数学家切比雪夫对此做出了重要贡献。他建立 了关于独立随机变量序列的大数定律，推广了棣莫弗— 拉普拉斯的极限定理。切比雪夫的成果后被其学生马尔 可夫发扬光大，影响了20世纪概率论发展的进程。