解析函数的概念与柯西—黎曼条件

(2)
f(z)=z的连续性显然
f
=
z z z
z =
z
x
z z z
i y
x x iy
1
x 0, y 0 1x 0, y 0
iy
f 1(x 0, y 0)
f 1(x 0, y 0)
z
z
f (z) z在z平面上处处不可导
6
例3 讨论f (z) Im z的可导性.
dw df (h) dh(z) dz dh dz
以上定理的证明, 可利用求导法则.
24
根据定理可知:
(1) 所有多项式在复平面内是处处解析的.
(2) 任何一个有理分式函数P(z) 在不含分母为 Q(z)
零的点的区域内是解析的, 使分母为零的点是
它的奇点.
任务！！！
通过上述用定义讨论函数的解析性，
那么w=f(z) 的解析性与u(x,y),v(x,y)之间有什么关系
呢？先看如下例子
设w=z=x-iy u(x,y)=x,v(x,y)=-y
则：u(x,y)=x,v(x,y)=-y对x,y的一切偏导数都存在且连 续，但是 w=z却是一个处处不可微的函数 由此说明：有必要探讨函数w=f(z) 的可微（解析性）
z0 z z0
z
x0 x iy
y0
当点沿平行于虚轴的方向(x 0)而使z 0时,
lim f lim f (z z) f (z) lim y 1,
z0 z z0
z
y0 x iy i
x0
当点沿不同的方向使z 0时,极限值不同,
故f (z) Im z在复平面上处处不可导.
8
例4 问f (z) x 2 yi是否可导？
的一个解析函数 (全纯函数或 正则函数 ).
记作：f(z)A(D)
D G
如果存在区域G :闭区域D G,且 f (z) A(G ),
则称 f (z)在闭区域 D上解析.记作f (z) A(D)
15
根据定义可知:
函数在区域内解析与在区域内可导是等价的.
但 函数在一点处解析与在一点处可导不等价
是 即函数在z0点解析
解 f f (z z) f (z) Im( z z) Im z
z
z
z
Im z Im z Im z Im z
z
z
Im(x iy) y , x iy x iy
当点沿平行于实轴的方向(y 0)而使z 0时,
7
lim f lim f (z z) f (z) lim y 0,
z
x iy
因为 lim f (z z) f (z) x,
x0
z
y0
lim f (z z) f (z) z x,
y0
z
x0
22
所以 lim f (z z) f (z) 不存在.
z0
z
即当 z 0时, f (z) 不可导,
因此 f (z) 仅在 z 0 处可导, 而在其他点都不 可导,根据定义, 它在复平面内处处不解析.
(7) f (z) 1 , 其中 w f (z)与z (w)是 ( w )
两个互为反函数的单值函数, 且(w) 0
12
4.微分的概念: 复变函数微分的概念在形式上与一元实变
函数的微分概念完全一致.
设函数 w f (z)在 z0 可导, 则
w f (z0 z) f (z0 ) f (z0 ) +z (z)z
例如:
w1 z
以z=0为奇点:
通常泛指的解析函数是容许有奇点的:
例5 研究函数 f (z) z2, g(z) x 2 yi 和h(z) z 2 的解析性.
解 由本节例1和例3知:
f (z) z2 在复平面内是解析的;
g(z) x 2 yi 处处不解析 ;
17
下面讨论 h(z) z 2 的解析性,
z z
x x
iy iy
1 1
i i
y
x y
1 1
ik ik
x
18
由于 k 的任意性,
z 1 ki 不趋于一个确定的值. z 1 ki
lim h(z0 z) h(z0 )不存在.
z0
z
因此 h(z) z 2 仅在 z 0 处可导, 而在其他点都 不可导,根据定义, 它在复平面内处处不解析.
第一节 解析函数的概念 与柯西—黎曼条件
1.1 复变函数的导数与微分 1.2 解析函数及其简单性质 1.3 柯西—黎曼条件 1.4 小结与思考
1.1 复变函数的导数与微分
1.导数的定义:
设函数 w f (z) 定义于区域 D, z0为D中的一
点, z0 z D
如果极限 lim f (z0 z) f (z0 ) 存在且有限
19
例6 研究函数 w 1 的解析性. z
解 因为 w 1在复平面内除z 0 处处可导, z
且
dw dz
1 z2
,
所以 w在复平面内除z 0 外处处解析,
z 0 为它的奇点.
20
例7 研究函数 f (z) z Re(z) 的可导性与解析性.
解 (1) z 0,
lim f (0 z) f (0) lim z Re(z) 0,
与u(x,y),v(x,y)之间的进一步的关系
26
1. 函数w=f(z)的在一点处的可微
因与为u(∆xz,y=)∆,vx(+xi,∆y)y之无间的关系
假设论 于f(按零z)=什, u(2么(.x4,方)y总)+式是iv趋(成x,y)在某一点z=x+iy可微
li立m f的(z , 于z) 是f (，z) 我f 们(z) z可0 让变点z z+∆z分别 沿zu==u着x(x+平ixy行, y 于y实) u轴(x, y) 与v=v虚(x+轴x的, y 方y向) v趋(x, y) 于点z ，即分别让
设z z沿着平行于 y 轴的直线趋向于 z，
lim x 2yi lim 2yi 2, z0 x yi y0 yi
x 0 y
所以f (z) x 2 yi的导数 不存在.
z o
y 0 x
10
3.求导法则: 由于复变函数中导数的定义与一元实变函
数中导数的定义在形式上完全一致, 并且复变函 数中的极限运算法则也和实变函数中一样, 因而 实变函数中的求导法则都可以不加更改地推广 到复变函数中来, 且证明方法也是相同的. 求导公式与法则: (1) (c) 0, 其中c为复常数.
用定义讨论函数的解析 我们性深绝深不地是体一会种到好：办法！
寻求研究解
析性的更好
的方法
25
1.3 C-R 条件 研究函数解析性的利器
目的：研究复变函数w=f(z)可微或解析的条件。
引言：设w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y),则 函数w=f(z)的连续性由u(x,y),v(x,y)连续性唯一确定。
f (z)在 区域 D内可微.
14
1.2 解析函数的概念
1. 解析函数的定义
定义 如果函数 f (z) 在 z0 及 z0 的邻域内处处可
z0
2.2 导, 那末称 f (z) 在 z0 解析.Analysis
如果函数 f (z)在区域 D内每一点可微(解析),
则称 f (z)在区域 D内解析. 或称 f (z)是 区域 D 内
w（ yf =(z0,∆zx)f 0(z）) u iv （x=f 0(,z∆) y 0i） ,从而
可得
2.4
(2.3)
代数化
lim u iv i
x0 x iy
y y0
D
z
z+i∆y
z ·z+∆x 0
图2.1 x
27
lim u iv i
定理2.1 x0 x y 0
(i可y微的必要条件)
z0
z
z0 z
故 f (z) z Re(z) 在 z 0 处可导.
(2) z 0,
f (z z) f (z) (z z)Re(z z) z Re(z)
z
z
21
z [Re(z z) Re(z)] Re(z z) z
令 z x iy ,
f (z z) f (z) z x x x ,
h(z0 z) h(z0 ) z0 z 2 z0 2
z
zHale Waihona Puke Baidu
(z0 z)(z0 z) z0 z0 z
z0
z
z0
z z
,
(1) z0 0, (2) z0 0,
lim h(z0 z) h(z0 ) 0.
z0
z
令 z0 z 沿直线 y y0 k( x x0 ) 趋于 z0,
f (z0
z) z
f (z0 )
f (z0 )
5
则 lim (z) 0, z0
因为 f (z0 z) f (z0 ) f (z0 )z (z)z,
所以
lim
z0
f
( z0
z)
f (z0),
即f (z)在 z0 连续.
[证毕]
例2 f (z) z在z平面上处处连续但却处处不可导
解 (1)
设函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)
lim
x0 y 0
u x
i i
在一vy 区点 i域z=xD+内iy有可定微义,l则iyxm 0,0且必ux 在有iiD:vy 内
i
lim
x0
ux(1i)偏xv 导 数i ux,uy,vx,vlyxi在m0 点vy (xi ,yuy)
z 如果函数 f (z) 在区域 D 内处处可导, 我们 就称 f (z) 在区域内D 可导.
3
例1 求f (z) z2的导数.
解 z C
f (z z) f (z)
lim
z 0
z
lim (z z)2 z2
z0
z
lim(2z z) 2z. z0
f (z) z2在z平面上处处可导.
z0
z
那末就称 f (z) 在z0可导.这个极限值称为 f (z) 在 z0
的导数,
记作
f (z0 )
dw dz
z z0
lim
z0
f (z0
z) z
f
(z0 ) .
2
在定义中应注意: z0 z z0(即z 0)的方式是任意的 . 即z0 z在区域D内以任意方式趋于z0时, 比值 f (z0 z) f (z0 ) 都趋于同一个数.
在 z0 可微.
13
特别地, 当 f (z) z 时,
dw dz f (z0 ) z z,
dw f (z0 ) z f (z0 ) dz, 即
f
( z0
)
dw dz
z z0
函数 w f (z)在 z0 可导与在 z0 可微是等价的.
如果函数 f (z)在 区域 D内处处可微, 则称
lim (z) 0, (z)z 是 z 0时的高阶无穷小,
z0
f (z0 ) z 是函数 w f (z) 的改变量 w 的线性部分.
定 f (z0 ) z 称为函数 w f (z)在点 z0 的微分,
义
记作 dw f (z0 ) z. 如果函数在z0 的微分存在, 则称函数 f (z)
(2) (zn ) nzn1, 其中n为正整数.
11
(3) f (z) g(z) f (z) g(z).
(4) f (z)g(z) f (z)g(z) f (z)g(z).
(5)
f (z) g(z)
f
(
z
)
g
(
z) g2(
f z)
(
z
)
g(
z
)
.
(g(z) 0)
(6) f [g(z)] f (w)g(z). 其中w g(z)
课堂练习 研究函数 w 1 的解析性. z
答案 处处不可导,处处不解析.
23
定理 (1) 在区域 D内解析的两个函数 f (z) 与 g(z)的 和、差、积、商(除去分母为零的点)在 D内解析.
(2) 设函数 h g(z) 在 z 平面上的区域 D内解析, 函数 w f (h) 在 h 平面上的区域G 内解析. 如果 对 D内的每一个点z ,函数 g(z)的对应值h 都属 于 G , 那末复合函数w f [g(z)]在 D内解析.
(z2 ) 2z
4
2.可导与连续的关系:
函数 f (z) 在 z0 处可导则在 z0 处一定连续, 但 函数 f(z) 在 z0 处连续不一定在 z0 处可导. 证 根据在 z0 可导的定义,
0, 0, 使得当 0 | z | 时,
有
f
( z0
z) z
f
(z0 )
f
(z0 )
,
令 (z)
解 lim f lim f (z z) f (z)
z0 z z0
z
lim ( x x) 2( y y)i x 2 yi
z0
z
y
lim x 2yi z0 x yi
z o
y 0 x
设z z沿着平行于 x 轴的直线趋向于 z，
9
lim x 2yi lim x 1, z0 x yi x0 x
函数在z0点可导
函数闭区域上解析与在闭区域上可导不等价
即函数在闭
函数在闭区
区域上解析
域上可导
说
函数解析比可是与区域密切相
明
伴的,要比可导的要求要高得多
16
2. 奇点的定义
定义 如果函数 f (z) 在 z0 不解析, 但在z0的任 2.3一邻域都有解析点f (z)的解析点,那末称 z0 为
f (z) 的奇点.