具有阶段结构和非线性传染率的SIRS传染病模型的研究

具有阶段结构和非线性传染率的SIRS 传染病模型的

研究1

杨允海1，李自珍2，黄磊1，刘红涛1

1．兰州大学数学与统计学院，兰州（730000）

2．兰州大学干旱与草地教育部重点实验室，兰州（730000）

E-mail ：yunhailanzhou@

摘 要：本文对一类具有阶段结构和非线性传染率的SIRS 模型进行了分析，讨论了解的正性和有界性，给出了各类平衡点存在的阈值条件，得到模型的平衡点的局部渐近稳定性. 关键词：阶段结构；非线性传染率；局部渐近稳定性

引言

近年来，以Kermack 和Mckendrick 为代表的流行病动力学有了相当的发展，它们在预防治疗疾病方面起到了不同程度的指导作用，而现在随着环境的污染，生态的破坏以及国际交流的的频繁，许多已经得到控制的的疾病又死灰复燃，给人们的生活造成严重的影响，因此应用数学模型来研究传染病一直是一个重要的课题，许多作者对各种流行病模型进行了大量的研究并得到了很多重要的结果[1 3 4 5 6 7 9 10 11 12].大多数文献中总是假定各年龄阶段的种群个体对某种传染病均有相同的传染率，事实上对于某些疾病，并非如此，如麻疹，水痘等，多发于幼儿时期，而伤寒，白喉，流行性脑脊髓炎等传染病多在成人之间流行，因此考虑阶段结构的传染病模型是很有实际意义的.[1]对一类具有阶段结构的SI 传染病模型进行了研究，得到了传染病最终消除和成为地方病的阈值;[2]对具有阶段结构的SIRS 传染病模型进行了分析，得到了模型的渐近性质和其平衡点的局部渐近稳定性.本文在[2]的基础上，进一步研究了具有非线性接触率的情况，我们讨论了解的正性和有界性，给出了各类平衡点存在的阈值条件和模型平衡点的局部渐近稳定性,并且得到了与[2]不同的结论.

1. 模型的建立

)()()()()()()()(1)()()()

(1)()()()()(24231122111t Y b t Y ae dt

dY t R c t R b t I c dt

dR t I c t I b t I t I t S u dt dI t R c t I t I t S u t Y ae t S b t aY dt dS b b −−=−−=−−+=++−−−−=−−ττττ （1） 其中)(),(),(t R t I t S 分别表示幼年易感者，染病者和移出者的数量，)(t Y 表示t 时刻成年个体的数量，a 表示出生率，u 为传染系数，321,,b b b 分别表示幼年易感者，染病者和移出者的死亡率，4b 为成年个体的死亡率，1c 为染病者的康复系数，2c 为染病者再次成为易感者的比例，τ表示从幼年到成年的间隔，τ1b e

−表示τ−t 时刻出生的幼年个体活到t 时刻的概率. 1本课题得到国家社科重点基金项目（No. 04AJL007）和国家自然科学基金（No. 30470298）的资助。

]0,[,0)()(,0)()(,0)()(,0)()(4321τϕϕϕϕ−∈>=>=>=>=t t t Y t t R t t I t t S ，

为保证初始条件的连续性，我们还假定∫=0-41)(01τϕϕds s ae s b ）（.

2. 模型分析

定理1 系统（1）满足初始条件的所有解当0>t 时是正的.

证明：（1）先证对所有的0>t ，有0)(>t Y ，若不然必存在0t ，使0)(0=t Y ，

又因]0,[,0)(τ−∈>t t Y ，所以00>t ，不妨取}0)(,0inf{0=>=t Y t t ，必有0)(0'

≤t Y ，

而⎪⎩⎪⎨⎧<≤−>−=−ττϕττττ004000'0),(),()(11t t ae t t Y ae t Y b b ，所以0)(0'>t Y ，矛盾，

故0)(>t Y ，而对于)(),(t R t I 由系统（1）可知其一定是大于0的，下面主要证明0)(>t S .

（2）对于)(t S ，当τ≤t Y ，故

)

(1)()()()(11t I t I t S u t Y ae t S b dt dS b +−−−−>−ττ 作比较方程

)

(1)()()()(11t I t I t X u t Y ae t X b dt dX b +−−−−=−ττ （*） 可知],0[),()(τ∈>t t I t S 且 ])()0([)(0)())(1)((11∫−−=−+−−τ

ττds s Y ae X e

t X s b t t I t I u b 所以 0)()()(0

)(0411=−−=∫∫−−τ

τττϕτds s Y ae ds s ae X s b s b 由（*）式可知)(t X 是严格减的，所以存在],0[τ∈t 有0)()(=>τX t X ，由比较定理可 知当τ≤>t X t S 同理可以证明当

...2,1,0,)1(=+≤t S

综上所述，当0>t 时，0)(>t S .

定理2 系统（1）满足初始条件的正解是有界的.

证明：记)()()()()(t Y t R t I t S t V +++=，则

4

2

24243214)()()

()()()()

()()()()(b b a t bV t Y b t Y b a t bV t Y b t R b t I b t S b t aY dt

dY dt dR dt dI dt dS dt dV ++−≤−++−≤−−−−=+++=

其中),,min(321b b b b =