第三章变额年金

1900
900
900
100
200
900
900
900
1000
9 0 0 a 1 0 0 ( I a )= 6 9 4 9 . 5 6 第+ 三3 章9 变3 额7 年. 金3 8 = 1 0 8 8 . 6 9 ( 元 ) 13
1 0 |
1 0 |
练习:一项递增年金，第一年末支付500元，第二年末支付 550元，第三年末支付600元，以此类推，直到最后一次支 付1000元，假设年实际利率为5%，试计算此年金在最后一
变额年金
（Varying Annuities）
1
第三章变额年金
主要内容
递增年金（离散支付，离散递增） 递减年金（离散支付，离散递减） 连续支付的变额年金：连续支付，离散递增（或递减） 复递增年金：按几何级数递增的年金 每年支付 m 次的递增年金 连续年金：连续支付，连续递增（或递减） 一般变额现金流
5
3.1、递增年金
含义： 假设在第一期末支付1元，第二期末支2元，…， 第n期末支付n元，那么这项年金就是按算术级数递增的 年金。
如果用 ( Ia ) n | 表示其现值，则有
(Ia )n| v2v23v3 nnv
上式两边同时乘以(1 + i)则有
(1 i)I()a n | 1 2 v 1 3 v 2 nn 1 v
第三章变额年金
2
回顾：等额年金公式
年金
现值
基本年金 累积值
期末付
a 1 vn
n
i
s (1 i)n 1
n
i
期初付
1 vn a
n
d
s (1 i)n 1
n
d
永续年金的现 值
a 1 i
a 1 d
第三章变额年金
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每年支付m次的年金
年金
现值
累积值
永续年金的现 值
期末付
a(m) 1 vn
n|
i(m)
期初付
1
1
1…1
1
1
1…
1
1
1…1
1
………
11
1
递增年金 = n 年定期年金
+ 延期1年的 (n – 1) 年定期年金
+ 延期2年的 (n – 2) 年定期年金
+…
+ 延期 (n – 1) 年第三的章变1额年年金定期年金
8
将上述各项年金的现值相加即得递增年金的现值为
(I)a n |a n | va n 1 | vn 1a 1 |
1vnv1vn1 vn11v
i
i
i
1vnvvn vn1vn
ii
i
1vv2 vn1nvn i
an| nv n i
第三章变额年金
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根据现值求得其累积值为
a nvn
(Ia) n|
n|
i
(Is) (1i)n(Ia) (1i)nannvn
n
n
i
s n
i
n
期初付递增年金的现值
anvn (Ia) (1i)(Ia) n
i
na
=
n
i
第三章变额年金
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na
(Da) n|
n|
i
递减年金的其他公式：
Leabharlann Baidu
n a n ( 1 i)n s
(D s ) ( 1 i)n (D a ) ( 1 i)n n |
n |
n |
n |
i
i
(Da) =(1+i)(Da)
n|
n|
na
=
n|
d
(Ds) =(1i)n(Ds)
n|
n|
n(1
n
n 1
第三章变额年金
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例：某人希望购买一项年金，该项年金在第一年末的付款 为1000元，以后每年增加100元，总的付款次数为10次。 如果年实际利率为5%，这项年金的现价应该是多少？
解：这项年金可以表示为一项等额年金（每年末付款900 元）和100项递增年金的和，即
1000
1100
1800
n|
i
i
a (n1)vn n1 |
i
（2）由于a (1i)a ，因此
n|
n|
a nvn
(Ia) n |
n|
i
(1i)a nvn
n|
i
ia a nvn
n|
n|
i
a nvn
a n|
n|
i
第三章变额年金
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3.2、递减年金
含义：假设在第一期末支付 n 元，第二期末支付 n – 1 元，…，第 n 期末支付1元，那么这项年金就是按算术级 数递减的年金。
次支付时刻的终值。
第三章变额年金
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例：证明下列关系式成立：
（1）
a (n1)vn
(Ia) n1|
n|
i
（2）
a nvn
(Ia) a n|
n| n|
i
a nvn
已知：(Ia) n|
n|
i
第三章变额年金
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（1）
a 1v n|
vn1
a a vn
n1|
n|
(Ia)
a nvn n|
a vn vn nvn n|
a nvn
(Ia) lim(Ia) limn|
1
d | n n| n
d2
(1 1 ) 2 i
在计算上述极限时，
limnvn
n
lni m(1ni)n
0
第三章变额年金
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一般递增年金：例
P P＋Q P＋2Q
……
P＋(n-2)Q
0123
……
n-1
设A表示此年金的现值，则
P＋(n-1)Q
n
A P aQ v(Ia )
i)n
s n|
d
第三章变额年金
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例：投资者A拥有一份10年期递增期末付年金，第一年末支 付100，以后每年递增50；投资者B拥有一份10年期递减期 末付年金，第一年末支付X，以后每年递减X/10。年实际 利率为5%，两项年金的现值相等。计算X。
时期
0
1
2
3 … n –1 n
递减年金
n n –1 n –2 … 2 1
1 1 1…1 1
1 1 1…1
等
额
1 1 1…
年
………
金
111
11
1
第三章变额年金
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因此递减年金的现值也可以表示为上述等额年金的现 值之和，即：
(D a ) a a a
n n n 1
1
1vn1vn1 1v
i
i
i
n(vnvn1 v) =
a(m) n|
1 vn d (m)
s(m) (1 i)n 1
n|
i(m)
s(m) n|
(1i)n 1 d (m)
第三章变额年金
a(m) 1
i |
(m)
a(m) |
1 d (m)
4
连续支付的年金（连续年金）
现值
累积值
1 vn
a
n|
(1 i)n 1
s
n|
连续支付的 永续年金的现值
a 1 |
第三章变额年金
n
n
d
期初付递增年金的累积值
(Is) =(1+i)n(Is)
s n
n
n
nd
建议：只记忆期末付年金的现值公式，其他可以推出。
第三章变额年金
10
1 1i 11
di
i
当 n时，还可以得到递增永续年金的现值为
a nvn
(Ia) |
lim(Ia) n n|
lim
n
n|
i
1 di
1 (1 1 ) ii
第三章变额年金
6
用第二式减去第一式则有
i( I a ) ( 1 v v 2 v 3 v n 1 ) n v n n | a nvn n|
所以递增年金的现值为
(Ia)n|
an|
nvn i
第三章变额年金
7
时期
0
递增年金
等 额 年 金
递增年金分解表
1
2
3 … n –1 n
1
2
3 … n –1 n