第四章 仿射坐标系

，设点 (1 ， 1)
P ' 在坐标系
O' x' y' 下的坐标为 ( x '，y ') ，则有
x'
y'
O ' Px' ' O ' Ex' '
O ' Py ' ' O ' Ey ' '


Px' ' O ' Ex' ' O '
Py ' ' O ' Ey ' ' O '
( Px' ' Ex' ' O ')
§3 仿射变换
x1/ a11x1 a12y1 a1 / x2 a11x2 a12y2 a1 ， / x3 a11x3 a12y3 a1
(2)
x1 y1 1 因P1、P2 、P3不共线，故 x2 y2 1 0， x3 y3 1
§3 仿射变换
？ ？
仿射变换是否保持长度不变
仿射变换是否保持角度不变 一般都不保持！
因为透视仿射变换由平行射影生产的！
定义1.3 若三点 P1，P2，P 是共线的，且有 ，则系数
叫做三点 P1，P2，P 的简单比(简称单比)，记为
，其中点 P 1，P 2 叫做基点，点
P 1P P 2P
( P1 P2 P)
P 叫做分点。
由定义可知，若
PP 是有向线段，则单比 1 ，P 2P
P1 P ( P1 P2 P) 。 P2 P 显然，当点 在点 ；否则 (P 之间时，单比 P1，P P 1P 2 P) 0 2 单比 ( P P P) 0 当点 与点 P P 重合时， 1 1 2
特别地，当平面
与 1
到自身的 仿射变换。 1
n 重合时，则把 到 1
的仿射对应叫做平面 n
由上的定义可知，仿射对应是由有限次透视仿射对应组成 的，所以仿射对应是透视仿射对应链，透视仿射对应是最简单 的仿射对应。而一个仿射对应是否是透视仿射对应，只需看两 对对应点的连线是否平行。
由于仿射对应(变换)可以理解成为一个透视仿射对应链， 所以不难证明仿射对应(变换)的下列性质： (1) 保持同素性和结合性； (2) 保持共线三点的单比不变； (3) 保持直线的平行性。
第四章
Байду номын сангаас
仿射坐标系、仿射平面与仿射变换
本章内容主要是介绍仿射变换的概念，研究仿射变换的性质，并在仿射 坐标系下用代数法研究仿射变换后的不变量和不变性质。 1.1 平行射影 定义1.1 设在一平面上有两条直线 a和a’,l是平面上与a和a’都不 平行的另一条直线，通过直线a上各点 A，B，C，......分别作直线l的平 行线，交a’与点A’，B’，C’，......，这样便得到了直线a上的点到 直线a’上的点之间的一个一一对应，叫做两条直线间的平行射影或透 视仿射对应，如右图所示。记这个平行射影为 ，则有 ( A) A '， ( B) B '， 很明显，平行射影和直线 l 的 位置有关，当直线 l 的位置改变， 就得到另外的平行射影。
关于平面上仿射变换的确定，我们有
§3 仿射变换
5．重要定理
定理4 设 Pi(xi, yi) 和 Pi/(xi/, yi/) ( i 1, 2, 3)分别是平面 上不共线三点，则存在唯一仿射变换将 Pi 映成 Pi/． 证明：设仿射变换为 x/ a11x a12y a1 ，det(aij) 0． / y a21x a22y a2 将 (xi, yi)(xi/, yi/)代入，得 xi/ a11xi a12yi a1 ， / yi a21xi a22yi a2 在上式的第一式中，令 i 1, 2, 3，得 (1)
y3 y1 同理可证， ( P 1P2 P3 ) y3 y 2
。
§2 仿射变换的相关问题
2.1 仿射变换的代数表达式 仿射变换是仿射平面上一个保持同素性，结合性和共线 三点的单比的点变换，从代数上讲，它的代数表达式是什么 呢？下面在给定的仿射坐标系下，我们来求出仿射变换的代 数表达式。 设在仿射平面上给定一个仿射坐标系 O e1 e 2，经过一个 仿射变换T，将仿射坐标系 O e1 e 2 变成仿射坐标系 O'e1 ' e 2 ' ，将平面上的点 P(x，y) 变成点 P'( x'，y') ，如下图所示。 如果求出了 ( x'，y' ) 与 ( x，y) 之间的关系，我们就得到了 仿射变换的代数表达式。
，则有
x3 x1 y3 y1 (P 1P 2P 3) x3 x2 y3 y2
(P 1P2 P3 ) ( P 1x P2 x P3x ) P P3x OP3x OP 1 x 1x P2 x P3x OP3x OP2 x
OP3 x OP 1x OEx OEx x x 3 1 OP3 x OP2 x x3 x2 OEx OEx
E(1 ， 1)， P (1 ， 1) 顺次变为 点 例1 求使三点 O(0，0)，
O'(2， 3)， E '(2， 5)， P'(3， 7) 的仿射变换。
解 设所求仿射变换为
x a11x a12 y a13 ( 0) y a21x a22 y a23
OP' OO' O ' P '
13 1
e a
23 2
e ) ( xe ' ye ' )
1 2
(a13 e1 a 23 e2 ) x(a11 e1 a 21 e2 ) y (a12 e1 a 22 e2 ) (a11 x a12 y a13 )e1 (a 21 x a 22 y a 23 )e2 ，
显然，如果两个平面交于直线 n，则直线 n 上的每一个点都是平行射影 下的自对应点，我们把直线 n 叫做自对应直线，也叫做透视轴，简称轴。 对于以上两个平行射影中的直线都可以改成向量，如果改为向量，则该 向量就叫做投射方向。 从图4-3，利用初等几何知识不难 证明，透视仿射对应具有如下基本性质： 即透视仿射对应将 (1) 同素性： 点变成点，直线变成直线。 (2) 结合性： 若点A，E，B在一 直线上，经过透视仿射对应后，其对 应点 A’，E’，B’在对应直线上， 即透 视仿射对应保持点和直线的结合关系。 (3) 平行性： 即设有直线AB和CD在透视仿射对应下对应直线 分别为 A’B’和C’D’，若AB//CD，则A’B’//C’D’。
。

如果直线a和a’相交，则交点是平行 射影下的自对应点，或叫做不变点(或二 重点)。 类似可得，空间中两个平面之间的 平行射影，即 定义1.2 设在一空间中两平面，l 为 空间中两个平面都不平行的一条直 线，通过一个平面上各点A,B,C,...分 别作直线 l 的平行线，交另一个平面 于点A’,B‘,C’, ... ，这样便得到 了一个平面上的点到另一个平面上 的点之间的一个一一对应，叫做两 个平面间的 平行射影 或 透视仿射对 应 ，如左图所示，这个平行射影记 为 ，则有 ( A) A '， ( B) B '，
x2/ x1/ y2/ y1/ x2 x1 y2 y1 a11 a21 / ， / / / x3 x1 y3 y1 x3 x1 y3 y1 a12 a22
§3 仿射变换
因P1/、P2/、P3/不共线，故 x2/ x1/ y2/ y1/ / 0． / / / x3 x1 y3 y1 a11 a21 从而， 0． a12 a22 故定理成立． 推论1 仿射变换是透视仿射变换 该仿射变换有一 条由不动点构成的直线． 推论2 仿射变换是恒等变换 该仿射变换有不共线 三不动点．
O xy 经过仿射
' 变换作用后所得的新坐标系 O' x' y 叫做 仿射坐标系，点O叫做 O ' E ' y叫做 坐标原点，向量 O ' E '和 基本向量。点 P 在新坐标系 x' ' ' O' x'下的坐标 y' ') ( x '， y叫做点 ') 的 P ' 仿射坐标，记为 P ' ( x '， y。
当点 当点 与点 P 重合时， P 2 单比 ( P 不存在。 1P 2 P) 为线段 P 的中点时， P 1P 2
(P 1P 2 P) 0
1 单比 ( P 1P 2 P) 。
如果已知两点
P1，P2 ，且单比 ( P1 P2 P)为定值时，则点 P 在直线
P 1P 2 上的位置是被唯一确定的。
又由于
OP' x' e
1
y' e
2
比较以上两个等式，从而得到
x a11 x a12 y a13 y a21 x a22 y a23
(2-1)
或者式(2-1)写成如下矩阵形式
x' a11 y' a 21
a12 x a13 ， det(aij ) 0 a22 y a23
将三对对应点的仿射坐标代入上式，则有
2 3 2 5 3 7 a13 a 23 a11 a12 a13 a 21 a 22 a 23 a11 a12 a13 a 21 a 22 a 23
解上方程组，得
1 1 a11 ，a12 ，a13 2，a21 4，a22 6，a23 3 2 2
故所求仿射变换是
1 1 x y2 x 2 2 y 4x 6 y 3
。
例2 求使三点 的像点；点
(2-1’)
仿射变换的逆变换代数表达式
x b11 x ' b12 y ' b13 y b21 x ' b22 y ' b23
(2-2)
2.2 关于仿射变换的确定及其重要定理
即 由仿射变换的代数表达式(2-1)表示可知，确定一个仿射变换需要6个量， ，那么什么条件可以确定唯一一个仿射变换呢？ a1i，a2i (i 1 ， 2， 3 )
( Py ' ' E y ' ' O ')
由于仿射变换T 保持单比不变，所以有 x' x， y' y 。 新坐标系 O' x' y' 的特点是：两个单位向量 O ' E 'x ' 与 O ' E ' y '
不一定垂直，但不共线，且它们的长度不一定相等。
定义1.6 我们把平面上的笛卡儿直角坐标系
定义1.5 若两个平面间(平面到自身)的一个点对应(变换) 保持同素性，结合性和共线三点的单比，则该点对应(变换) 叫做仿射对应(变换)。
1.2 仿射坐标系与仿射平面
由前面透视仿射对应的定义，我们知道，透视仿射对应 一般将正方形映成平行四边形。
' 为新坐标系 若取点 E
O' x'的单位点 y'
直观上，我们把建立了仿射坐标系的平面叫做仿射平面。
事实上，仿射坐标系是笛卡儿直角坐标系的推广，而笛卡儿 直角坐标系是仿射坐标系的特殊情况。 由于点的仿射坐标与笛卡儿坐标相似，所以可以推得 一些相关的结论。
定理1.2 在仿射平面上，已知三点
P ，y1 )，P2 ( x2，y2 )，P3 ( x3，y3 ) 1 ( x1
定理1.1 平行射影(透视仿射对应)保持共线三点的单比不变。
平行射影(透视仿射对应)的推广
这个对应叫做直线 a1 到直线 a n 的仿射对应，记为 ，于是有
n 1n 2 21
。
特别地，当直线 a1 与 a n 重合时，则把 a1 到 a n 的仿射对应叫做直线 a1 到自身的仿射变换。
P`
x` Px `
y` y Py P
Py `
e2` O`
e1`
e2 O e1
Px
x
e ' a e a e 1 11 1 21 2 e 2 ' a 12 e1 a 22 e 2 OO' a e a e 13 1 23 2
因为 所以
OP' (a