3.1不等关系与不等式(课件)

③当 1＋x＞0 且 x≠0，即－1＜x＜0 或 x＞0 时，1＋x2 x＞0， ∴1＋1 x＞1－x.
【警示】作差比较大小，变形后的结果难以确定时，一般 要分类讨论，但需要有统一的分类标准．
1．在应用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条 件．不可强化或弱化成立的条件．
2．要注意“箭头”是单向的还是双向的，也就是说每条 性质是否具有可逆性．
【答案】B 【解析】an＝n＋n 2＝n＋n＋2－2 2＝1－n＋2 2，an＋1＝1－n＋2 3， 又 n∈N*，故 an<an＋1.
2．若 a＜b＜0，则下列不等式不能成立的是( )
A．1a＞1b
B．2a＞2b
C．|a|＞|b|
D．12a＞12b
【答案】B 【解析】∵a＜b，y＝2x单调递增，∴2a＜2b.故选B．
【方法规律】不等式性质的应用主要有：判断不等式的真 假，证明不等式，求参数的取值范围等．
(1)首先要注意不等式成立的条件，不要弱化条件； (2)解决有关不等式选择题时，也可采用特殊值法进行排 除，注意取值要遵循以下原则：一是满足题设条件；二是取值 要简单，便于验证计算； (3)若要判断某结论正确，应说明理由或进行证明，推理过 程应紧扣有关定理、性质等，若要说明某结论错误，只需举一 反例即可．
【错因】这里分类不完全，在 x＜－1 时，x2＞0，不应有1＋x2 x ≤0，最好把 x＝0 分一类进行讨论，这样比较恰当．
【正解】1＋1 x－(1－x)＝1＋x2 x，而 x2≥0. ①当 x＝0 时，1＋x2 x＝0，∴1＋1 x＝1－x. ②当 1＋x＜0，即 x＜－1 时，1＋x2 x＜0， ∴1＋1 x＜1－x.
不等式性质的应用
【例 3】 对于实数 a，b，c，有下列结论：
①若 a＞b，则 ac＜bc；
②若 ac2＞bc2，则 a＞b；
③若 a＜b＜0，则 a2＞ab＞b2；
④若 c＞a＞b＞0，则c－a a＞c－b b；
⑤若 a＞b，1a＞1b，则 a＞0，b＜0.
其中正确结论的个数是( )
A．2
B．3 C．4
a<0
b<0
a2>ab， ab>b2
⇒a2>ab>b2.故③正确．
④a>b>0⇒－a<－b⇒c－a<c－b. ∵c>a，∴c－a>0. ∴0<c－a<c－b. 两边同乘以c－a1c－b，得c－1 a>c－1 b>0. 又 a>b>0，∴c－a a>c－b b.故④正确．
⑤由 a>b⇒a－b>0， 1a>1b⇒1a－1b>0⇒b－aba>0. ∵a－b>0，∴b－a<0.∴ab<0. 又 a>b，∴a>0，b<0.故⑤正确． 综上可知，命题②③④⑤都正确．
3．下列结论中成立的是( ) A．若 a＞b，则ab＞1 B．若 a＞b，则 a2＞b2 C．若 a＞b，则 lg a＞lg b D．若(a－b)a2＜0，则 a＜b 【答案】D 【解析】a＝1，b＝－1时，A，B，C错误，排除A，B， C．故选D．
4．已知a1，a2∈(0,1)，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M 与N的大小关系是________．
3．a－b＞0，a－b＝0，a－b＜0反映了实数的运算性质， a＞b，a＝b，a＜b反映的是实数的大小顺序，二者结合起来即 是实数的运算性质与大小顺序之间的关系．
1．在数列{an}中，若 an＝n＋n 2，则 an 与 an＋1 的大小关系为
() A．an>an＋1 C．an＝an＋1
B．an<an＋1 D．不能确定
3.1 不等关系与不等式
目标定位
1.了解现实世界和日常生活中的不等关 系． 2．理解不等号的意义和不等式的概念， 会用不等式和不等式组表示各种不等关 系． 3．理解实数大小与实数运算的关系，会 用作差比较法比较两个实数的大小． 4．掌握不等式的性质及各自成立的条件.
重点难点
重点：比较两个 数大小的方法． 难点：掌握不等 式的性质及其应 用.
又 m2＋mn＋n2＝m＋n22＋34n2＞0， ∴(m－n)2(m2＋mn＋n2)＞0. ∴x－y＞0，∴x＞y.
(2)p－q＝loga(a3＋1)－loga(a2＋1)＝logaaa32＋ ＋11. 当 a＞1 时，a3＋1＞a2＋1， ∴aa32＋ ＋11＞1，∴logaaa32＋＋11＞0； 当 0＜a＜1 时，a3＋1＜a2＋1， ∴aa32＋ ＋11＜1，∴logaaa32＋＋11＞0. 综上，p－q＞0，∴p＞q.
比较两个数的大小Βιβλιοθήκη Baidu
【例2】 比较2x2＋5x＋3与x2＋4x＋2的大小． 【解题探究】根据“若p－q＞0则p＞q”的公理，用作差 法来解决． 【解析】(1)x－y＝(m4－m3n)－(n3m－n4) ＝(m－n)m3－n3(m－n) ＝(m－n)(m3－n3) ＝(m－n)2(m2＋mn＋n2)， ∵m≠n，∴(m－n)2＞0.
已知某学生有10元钱，打算购买单价分别为0.6元 和0.7元的铅笔和练习本．根据需要，铅笔至少买7支，练习本 至少买6本，试列出满足所有条件的不等式．
【解析】(2x2＋5x＋3)－(x2＋4x＋2)＝x2＋x＋1＝x＋122＋34. ∵x＋122≥0， ∴x＋122＋34≥34＞0. ∴(2x2＋5x＋3)－(x2＋4x＋2)＞0. ∴2x2＋5x＋3＞x2＋4x＋2.
D．5
【解题探究】判断不等关系的真假，要紧扣不等式的性
质，应注意条件与结论之间的联系．
【答案】C 【解析】①c 的范围未知，因而判断 ac 与 bc 的大小缺乏
依据，故该结论错误．
②由 ac2>bc2 知 c≠0，则 c2>0，
∴a>b，∴②是正确的．
③a<b， ⇒a2>ab，a<b， ⇒ab>b2，
推论(同向可加性)： ac>>db⇒a＋c＞b＋d；
(4)可乘性： ac>>0b⇒ac＞bc， ac<>0b⇒ac＜bc； 推论(同向同正可乘性)： ac>>db>>00⇒ac＞bd； (5)正数乘方性：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N*，n≥1)； (6)正数开方性：a＞b＞0⇒n a＞n b(n∈N*，n≥2)．
如果 a＜b＜0，那么下列不等式成立的是
()
A．－1a＜－1b
B．ab＜b2
C．－ab＜－a2
D．|a|＜|b|
【答案】A
【解析】∵a<b<0，∴－a>－b>0，ab>0，则－aab>－abb， 即－1b>－1a，A 成立．∵a<b，b<0，∴ab>b2，B 不成立．∵b>a， －a>0，∴－ab>－a2，C 不成立．∵a<b<0，∴|a|>|b|，D 错误．故 选 A．
【解析】设截得 500 mm 的钢管 x 根，截得 600 mm 的钢管
500x＋600y≤4 000，
y 根 ， 依 题 意 ， 可 得 不 等 式 组 3x≥y，
即
x，y∈N，
5x＋6y≤40， 3x≥y， x，y∈N.
【方法规律】用不等式表示不等关系的方法： (1)认真审题，设出所求量，并确认所求量满足的不等关 系； (2)找出体现不等关系的关键词：“至少”“至多”“不少 于”“不多于”“超过”“不超过”等．用代数式表示相应各 量 ， 并 用 关 键 词 连 接 ． 特 别 需 要 考 虑 的 是 “ ≤”“≥” 中 的 “＝”能否取到．
A．v≤120 km/h 或 d≥10 m B．dv≥≤11020mkm/h， C．v≤120 km/h D．d≥10 m
【答案】B
3．已知 a＞b＞c＞0，则 ab， bc， ac，c 从大到小的关 系是____________．
【答案】 ab＞ ac＞ bc＞c
4．若 a＝ln33，b＝ln22，则 a 与 b 的大小关系为________． 【答案】a>b
比较大小要注重分类讨论
【示例】设 x∈R 且 x≠－1，比较1＋1 x与 1－x 的大小． 【错解】∵1＋1 x－(1－x)＝1－1＋1－x x2＝1＋x2 x，而 x2≥0，∴ 当 x＞－1 时，x＋1＞0，1＋x2 x≥0，即1＋1 x≥1－x； 当 x＜－1 时，x＋1＜0，1＋x2 x≤0，即1＋1 x≤1－x.
2．作商法比较大小应注意的问题： 作商法即判断商与1的关系，得出结论，要特别注意当商 与1的大小确定后必须对商式分子分母的正负做出判断，这是 用作商法比较大小时最容易漏掉的关键步骤．
已知a>0，b>0且a≠b，试比较aabb与abba的大小．
【解析】aaabbbba＝aa－bbb－a＝aba－b. ①当 a>b>0 时，ab>1，a－b>0，∴aba－b>1； ②当 0<a<b 时，0<ab<1，a－b<0，∴aba－b>1. 综上可得aba－b>1，显然 abba>0，∴aabb>abba.
【 方 法 规 律 】 1. 作 差 法 比 较 两 个 实 数 ( 代 数 式 ) 大 小 的 步 骤：
第一步，作差并变形，其目标应是容易判断差的符号．变 形有两种情形：
(1)将差式进行因式分解转化为几个因式相乘； (2)将差式通过配方转化为几个非负数之和，然后判断． 第二步，判断差值与零的大小关系． 第三步，得出结论．
1．设 a＝3525 ，b＝2535 ，c＝2525 ，则 a，b，c 的大小关
系是( )
A．a＞c＞b
B．a＞b＞c
C．c＞a＞b
D．b＞c＞a
【答案】A
2．高速公路对行驶的各种车辆的最大限速为 120 km/h，行 驶过程中，同一车道上的车间距 d 不得小于 10 m，用不等式(组) 表示为( )
用不等式表示不等关系
【例1】 某钢铁厂要把长度为4 000 mm的钢管截成500 mm 和600 mm两种规格，按照生产的要求，600 mm 钢管的数 量不能超过500 mm钢管的3倍．试写出满足上述所有不等关系 的不等式．
【解题探究】应先设出相应变量，找出其中的不等关系， 即①两种钢管的总长度不能超过4 000 mm；②截得600 mm钢 管的数量不能超过500 mm钢管数量的3倍；③两种钢管的数量 都不能为负．于是可列不等式组表示上述不等关系．
1．不等式中常用的不等符号有_＞__，__＜__，__≤__，__≥_，__≠_____． 2．(1)a－b＞0⇔__a_＞__b___； (2)a－b＝0⇔__a_＝__b___； (3)a－b＜0⇔__a_＜__b___.
3．不等式的性质 (1)对称性：a＞b⇔b＜a； (2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c； (3)可加性：a＞b⇒a＋c＞b＋c.
【答案】M>N
【解析】M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)＝a1a2－a1－a2＋1＝ a1(a2 － 1) － (a2 － 1) ＝ (a1 － 1)(a2 － 1) ， 又 ∵a1∈(0,1) ， a2∈(0,1) ，∴a1 －1<0，a2 －1<0.∴(a1 －1)(a2 －1)>0，即M － N>0.∴M>N.