倒格子与布里渊区
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, b = 2π a a , b Ω
2
a = 2 π 3
a
Ω
,
3、倒格子的意义
正格子中一族晶面转化成了倒格子中的一个倒格点。
×a a = 2π (1)由 b Ω
1 3 2
和叉乘的几何意义可知,b3沿着a1×a2的方 向,或者说b3就是a1和a2所确定的晶面(001)的法线方向。 同时
倒格子基矢b3的方向表示了正格子中(001)晶面的法向,其 模值比例于(001)面的面间距。
(2)倒格子基矢(b1、b2、b3)及其对应的倒格点分别表示了正格子 中三族不同位向的晶面。 (3)倒格子空间中任一倒格点都体现了正格子中一族晶面的特征, 倒格点位矢的方向是这族晶面的法向,而它的大小比例于该晶面 族面间距的倒数。 倒格点与x射线斑点存在一一对应关系,从而使晶体衍射分析简 单而直观。
3、两种格子原胞间的关系
Ω
*
2π =
Ω
3
倒格子原胞体积与正格子原胞体积存在倒数关系。
4、正格子与倒格子互为对方的倒格子 根据倒格子基矢的定义,倒格子的倒格子基矢
b
* 1
×b b = 2π
2
3
Ω*
a1
同理,可以证明 b2*=a2, b3*=a3 倒格子的倒格子就是正格子。
5、正格子(h1h2h3)晶面族与倒格矢Kh正交 Kh•CA=(h1b1+h2b2+h3b3) •(a1/h1-a3/h3)=0 Kh•CB=(h1b1+h2b2+h3b3) •(a2/h2-a3/h3)=0
(4)各布里渊区的大小相 同,且都与倒格子原胞大 小相等。
4、简单立方格子的布里渊区
(1)设简单立方格子的基矢为a1=ai、a2=aj、a3=ak,则对应的 倒格子基矢为b1=(2/a)i 、b2= (2/a)j、b3=(2/a)k。 (2)由b1 、 b2 、 b3作出倒格子空间。倒格子原胞仍为简单立方, 原胞大小为(2/a)3。 (3)简约布里渊区是原点与六个最近邻倒格点连线的中垂面围 成的立方体,其体积为(2/a)3,且包含了一个格点。
二、正格子与倒格子的关系 1、两种格子基矢间的关系
a b
i
正格子基矢ai与倒格子基矢bj之间满足 2π 当i等于j时 2 0 j ij 当i不等于j时
2、两种格子格矢间的关系。
正格矢Rl=l1a1+l2a2+l3a3与倒格矢Kh=h1b1+h2b2+h3b3之 间满足Rl · Kh =2(为整数)。反之,若两矢量点积为 2 的整数倍,且其中一个矢量为正格矢,则另一矢量 必为倒格矢。
C a3/h3 O a2/h2 a1/h1 A Kh
B
6、倒格矢Kh的模与晶面族(h1h2h3)的面间距成反比
d h1h2 h3
a1 K h a1 .(h1b1 + h2 b2 + h3b3 ) 2π = . = = h1 K h h1 K h Kh
三、布里渊区
1、布里渊区的定义
布里渊区:倒格子空间被倒格矢Kh的垂直平分面分割成的区域。 (1)被倒格矢的垂直平分面包围的、围绕着原点的最小区域 称为第一布里渊区,又称为简约布里渊区。 (2)在第一布里渊区的外面, 由若干块对称分布且不相连的 较小区域分别组成第二、第三等布里渊区。 只要晶体的布拉维格子类型相同,倒格子类型就相同,布里渊区 的形状就一样。 同一晶格中每个布里渊区占据倒格子空间的体积相同,都等于倒 格子原胞体积*=(2)3/ 。 简约布里渊区以外的各布里渊区可以分别用适当的倒格矢平移到 简约布里渊区内,且既无空隙,又无重叠。
正格子
倒格子
简约布里渊区
4、体心立方格子的布里渊区
(1)体心立方格子的格子常数为a,倒格子是面心立方,倒格子常 数为2/a。 (2)第一布里渊区为正十二面体 (3)几个点的坐标 : 2/a(0,0,0) H: 2/a(0,1,0) P: 2/a(½,½,½) N: 2/a(0,½,½)
第九节 倒格子
一、倒格子的概念
1、 倒格点
布拉维格子由无数位向不同的晶面族构成,描述一族晶面的特征 必须有两个参量:面间距、晶面法向。 为了处理问题方便,在数学上将晶面族的特征用一个矢量综合体 现出来,矢量的方向代表这族晶面的法向,矢量的模值比例于这 族晶面的面间距,这样确定的矢量称为倒格矢。倒格矢的端点称 为倒格点。 倒格点的总体构成倒格子空间。 每个倒格点都表示了晶体中一族晶面的特征,倒格点的位置矢量 Βιβλιοθήκη Baidu倒格矢)体现了晶面的面间距和法向。
4、面心立方格子的布里渊区
(1)面心立方格子的格子常数(立方边长)为a,倒格子为体心 立方,倒格子常数(立方边长)为4/a。 (2)第一布里渊区为截角八面体(十四面体) (3) 几个点的坐标 : 2/a(0,0,0) X: 2/a(1,0,0) L: 2/a(-½,½ ,½ ) K: 2/a(0,¾,¾ )
矢量的乘积
标量积或点积 A· B=|A||B|cos(A,B) 矢量积或叉积 任何两个矢量A和B的矢量积是一个矢量,它的大小等于这两个矢 量作成的平行四边形的面积,方向与这个平行四边形所在的平面的 垂线方向平行。 |AB|=|ABsin(A,B)|
2、一维格子的布里渊区
一维晶格
基矢a=ai
一维倒格子空间 基矢b=(2/a)i
各布里渊区分布情况
3、二维正方格子的布里渊区
(1)二维正方格子的基矢为a1=ai、a2=aj,则对应的倒格子基矢 为b1=(2/a)i、b2=(2/a)j (2)由b1、b2作出倒格子空间。倒格子原胞仍为正方形,原胞大 小为(2/a)2。 (3)由原点O作最近邻、 次近邻等倒格点连线垂直 平分线,得到各布里渊区。
2、倒格子
布拉维格子的基矢a1、 a2 、a3为正格子基矢,称Rl=l1a1+l2a2+l3a3决 定的空间为正格子,=a1· (a2×a3)为正格子原胞体积。 × 2 × × 定义 1 2 3 3 1
b
1
= 2π a a Ω
为倒格子基矢,由Kh=h1b1+h2b2+h3b3决定的空间为倒格子, =b1· (b2×b3)为倒格子原胞体积。 正格子空间的长度量纲是m,倒格子空间的长度量纲为m-1。