固体物理 5_2一维单元子链

2 q h Na
波矢的取值范围

a
q

a
q 取N个不同分立值
N N h 2 2
h — N个整数值
5-2一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
N N h 2 2 2 q h Na
结论:
h — N个整数值
q 取N个不同分立值
晶格振动的波矢数目=晶体的原胞数
，q 数目=独立振动模式数
(m M ) 4mM 2 {1 [1 sin aq] } 2 mM (m M )
2 1 2
(m M ) 4mM 2 {1 [1 sin aq] } 2 mM (m M )
2 1 2
5-2一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
(m M ) 4mM 2 {1 [1 sin aq] } —— 声学波 mM (m M ) 2 1 (m M ) 4mM 2 2 {1 [1 sin aq] 2 } —— 光学波 mM (m M ) 2
q q a
2n Ae

a
i[t ( 2 n1) aq ]
dU f un1 un d
d 2U ( 2 )a dr
5-2一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
原子的运动方程 —— 只考虑相邻原子的作用，第n个原子受到的作用力
(un1 un ) (un un1 ) (un1 un1 2un )

1 2
( ) min ( ) max
5-2一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
( ) min ( ) max —— 不存在频率为此区间的格波
频率间隙 ( ) min
~ ( ) max
一维双原子晶格 叫做带通滤波器
5-2一维单原子链 —— 晶格振动与晶ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的热学性质
m 2 A (eiaq e iaq ) B 2 A 2 iaq iaq M B (e e ) A 2 B
(2 m 2 ) A (2 cos aq) B 0 2 (2 cos aq) A (2 M ) B 0
—— A、B有非零的解，系数行列式为零
5-2一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
2 m 2 2 cosaq
2
2 cosaq 2 M
2
0
1 2
(m M ) 4mM {1 [1 sin 2 aq] } mM (m M ) 2
—— 一维复式晶格中存在两种独立的格波
—— 两种原子m和M _( M > m) —— M原子位于2n-1， 2n+1， 2n+3 …… —— m原子位于2n， 2n+2， 2n+4 …… —— 同种原子间的距离2a（晶格常数）
—— 系统有N个原胞 ——力常数为
5-2一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
第2n+1个M原子的方程 M 2 n 1 (22 n 1 2 n 2 2 n )
频率极小值 频率极大值

min 0
max 2 / m
0 2 /m
0q

a
只有频率在 0 2
/ m 之间的格波才能在晶体中传播，
其它频率的格波被强烈衰减
一维单原子晶格看作成低通滤波器（频率大于上限的波不能通过）
5-2一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
第2n个m原子的方程 m2 n (22 n 2 n 1 2 n 1 )
—— N个原胞，有2N个独立的方程 方程解的形式
2 n Aei[t (2 na ) q ] and 2 n 1 Bei[t (2 n 1) aq ]
两种原子振动的振 幅A和B一般不同
5-2一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
格波的色散关系的特点
4 2 aq sin ( ) m 2
2
aq 2 sin( ) m 2
频率是波数的偶函数
色散关系曲线具有周期性

2 —— q空间的周期 a
5-2一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
aq 2 sin( ) m 2
un1 Ae
得到 m (e
2 iaq
i t n1aq i t n1aq
un1 Ae
e 2)
iaq
4 2 aq sin ( ) m 2
2
~ q —— 一维简单晶格中格波的色散关系，即振动频谱
5-2一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
两种格波的频率
q - q
( ) max ( ) min
因为 M＞m
2 ( ) {( m M ) ( M m)} ( ) mM M 1 1 1 2 2 2 2 ( ) {( m M ) ( M m)} ( ) mM m
1 2 1 2
5-2一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
格波 —— 短波极限情况 ( q ) a
aq 2 / m sin( ) 2
max 2 / m
5-2一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
格波q的取值：
un Aei (t naq )
q q
平衡位置时，两原子间的作用势能 U (a )
发生相对位移
un1 un
后，相互作用势能 U (a )
2
dU 1 dU 2 U (r ) U (a ) U (a) ( ) a ( 2 ) a High items dr 2 dr
常数
0
简谐近似 —— 振动很微弱，势能展式中只保留到二阶项 相邻原子间的作用力
5-2一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
设第n个原子的位移 un 再增加N个原子之后，第N+n个原子的位移 u N n 则有 uN n un 要求 e iNaq 1
Ae
i [t ( N n ) aq ]
Ae
i [t naq ]
Naq 2h
—— h为整数
m 2 B ( ) A 2 cos aq
2 2 m 2 B ( ) A 2 cos aq
—— 光学波
—— 声学波
5-2一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
色散关系的特点
q q a 短波极限 q 2a
2 mM , mM
m 2 B ( B ) m 2 ( ) M A A 2 cos aq
—— 长光学波中，相邻不同原子振动方向相反.
长光学波代表原胞质心不变的振动,原胞中原子相对动
5-2一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
波矢q范围及取值
问题2：一维晶格振动的特点？
1、一维单原子晶格 N个原胞,各含一原子(m)， 平衡时原子间距a t时刻n原子偏离平衡位 置位移 u
n
xn
a
xn 1
un
un1
n、n＋1原子间的相对位移 t时刻，n、n＋1原子间距 r
un1 un
a
5-2一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
第n个原子的运动方程
d un m 2 (un1 un1 2un ) dt
—— 每一个原子运动方程类似
5-2一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
2
d un m 2 (un1 un1 2un ) dt
设方程解
2
un Aei (t naq )
naq — 第n个原子振动位相因子
5-2一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
第2n+1个M原子 M 2 n 1 (2 2 n 1 2 n 2 2 n ) 第2n个m原子 m2 n (2 2 n 2 n 1 2 n 1 )
方程的解
2 n Ae i [t ( 2 na ) q ] 2 n 1 Be i [t ( 2 n 1) aq ]
2 (a )q mM
长声学波的色散关系与连续介质中弹性波的色散关系形式 相同.
5-2一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
长声学波中相邻原子的振动
2 (a )q mM
q 0, 0
2 m 2 B ( ) A 2 cosaq
B ( ) 1 A
4 2 aq sin ( ) m 2
2
2 n 时， 当 q q a un q un q
2 格波1(Red)波矢 q 4a 2a 2 5 格波2(Green)波矢q 4a / 5 2a
n为整数
两种波矢的格波中，原子的振动完全相同
5-2一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
格波 —— 长波极限情况 ( q 0, a )
aq 2 sin( ) m 2

qa qa 当 q 0 sin( ) 2 2
格波传播速度 a / m 速度一致
a /m q
连续介质弹性波相速度 Elastic K /
—— 长波极限下，一维单原子晶格格波可看作是弹性波 —— 晶格可以看成是连续介质
波矢的取值


a
q

a
第一布里渊区
—— 只研究清楚第一布里渊区的晶格振动问题
—— 其它区域不能提供新的物理内容
格波波矢取值限定于一个倒格子原胞，即倒格子空间的一个区域。
5-2一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
玻恩－卡门（Born-Karman）周期性边界条件
uN n un
—— 实际的晶体为有限，形成的链不是无穷长，链两头的 原子不能用中间原子的运动方程来描述
2 1 2
—— 与q之间存在着两 种不同的色散关系
—— 一维复式格子存在 两种独立的格波
5-2一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
两种格波的振幅
(m M ) 4mM {1 [1 sin 2 aq] } mM (m M )2
2 1 2
(2 m 2 ) A (2 cosaq) B 0 (2 cosaq) A (2 M 2 ) B 0
—— 原胞中的两个原子振动的振幅相同，振动方向一致
长声学波代表原胞质心的振动
5-2一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
长波极限
q0
2 1 2
(m M ) 4mM {1 [1 sin 2 aq] } 光学波 mM (m M ) 2 4m M sin 2 (aq) 1 (m M ) 2
长波极限 q 0
(m M ) 4m M 2 {1 [1 sin 2 aq] 2 } 声学波 mM (m M ) 2 q 0时，4m M 2 sin 2 (aq) 1 应用 1 x 1 x / 2 (m M )
1
2 sin( qa ) mM
=格波数目 =晶体总的自由度数 给定一组 ，q ， n u
Ae
i (t naq ) 表一种振动模式
标志晶体中的一种格波
5-2一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
模型
运动方程
试探解
色散关系
波矢q范围
B--K条件
波矢q取值
5-2一维单原子链 —— 晶格振动与晶体的热学性质
2、一维复式格子
格波的意义 格波方程
un Aei (t naq )
i (t 2 x
波数 q
i (t qx )
2

对比连续介质波 Ae

)
Ae
—— 格波和连续介质波具有完全类似的形式
晶体中所有原子共同参与的一种频率相同的振动,不同 原子间有振动位相差，这种振动以波的形式在整个晶体 中传播，称为格波。