第八章 一元气体动力学基础-终1

d


du dA 0 u A
二、可压缩气体的能量方程式
理想流体做定常流动，沿流线的积分方程为：
W dp u2 fds C 2
忽略质量力，力的势函数 W 0 则：
并且等熵气流不计摩擦

dp
u2 C 2
fds 0
——理想气体一元恒定流的能量方程
微分得：
当地音速
（4）空气
T 288K
c 340m / s
二、马赫数Ma
1．定义： 即流体速度u与介质中音速C之比。
V Ma c
在流速一定的情况下，当地声速越大，Ma越小，气体压缩性就越小。 例：在风洞中，空气流速u＝150 m/s，其温度为25℃，试求其马赫数Ma？
解;当空气为25℃，其声速为：
密度ρ 温度为T
活塞突然以微小速度向右运动 dv 微弱的扰动以速度c向右传播 波后气体处于受扰动状态：
p dp
d
T dT
（1）受到扰动的气体在dt时间前和dt时间后的质量守恒方程式 dt时间前气体的质量为：
m V cAdt
d )(c du ) Adt
cd cd du ＝ d
（2）等温过程
RT p
代入积分得
1
v2 RT ln p c 2
（3）绝热过程
可压缩理想气体在等温过程 中的能量方程
理想气体的绝热过程→等熵过程
p

k
c
k
cp cv
——绝热指数
代入积分得
k p v2 c k 1 2
证明：
或
1 p p v2 c k 1 2
增大
减小
dv与dp、dρ 、dT异号
3．拉瓦尔喷管 （1）拉瓦尔喷管的结构 收缩段加速→喉部声速→扩张段超声速
忽
（2）拉瓦尔喷管的目的
将气流由亚声速加速到超声速
其收缩段如果按照下列维托辛斯基 公式绘制，可以避免流场的不均匀性。
r r1 x2 2 (1 2 ) r1 2 l 1 [1 ( ) ] x2 3 r2 (1 2 ) 3l
即：加速气流，必然引起压强降低，密度下降，气体体积膨胀；
减速气流，必然引起压强升高，密度上升，气体体积压缩； （2）Ma＜1时．密度的相对变化量小于速度的相对变化量，即：
d
d


du u
du u
（3）Ma＞1时．密度的相对变化量大于速度的相对变化量，即：
2．气流速度与流道截面积的关系 由连续性方程:
内能u
u cvT cv
cv p p p 1 p cv R c p cv c p cv k 1


v2 u c 2 p
或
可压缩理想气体在绝热过程
中的能量方程
v2 h c 2
hu
p

——焓
（4）多变过程
p

n
c
n
c cp c cv
cdt Adu
F ( p dp) A pA dp A
dpAdt cdtA(du 0)
dp du c
dp 得： du c
解得：
cd
dp c d
2
c
dp d
——声速定义式
dp E c 液体： d
dp d 则越小
E

d 代表密度随压强的变化率，可压缩性越大，其倒数 dp
第八章
§8.1 §8.2 §8.3 §8.4
一元气体动力学基础
声速和马赫数 一元气流的流动特性 等熵和绝热气流的基本方程式与基本概念 收缩喷管和拉瓦尔喷管的计算
前言
1．气体动力学：就是研究可压缩气体运动规律及其在工程中应用的一门科学。 2．气体的一元流动：是气体动力学中最基本的内容，只研究气体流动参数在 过流断面上的平均值的变化规律，而不研究气体流场的 空间变化情况。 气体的一元流动虽然简单但很实用。除航空科学外，许多技术领域中 气体问题大都可简化为一元流动问题，如发动机的空气供给、风动工具、 燃气轮和涡轮增压器等。 3．气体状态参数： 压强
v1 35.66m / s
Qm 1v1 A1 1.735kg / s
例2：理想气体在两个状态下的参数分别为T1、p1和T2、p2
（1）密度的相对变化率
p RT
密度相对变化率
2 1 p2 T2 p1 T1 p2T1 T2 p1 1 1 p1 T1 T2 p1
dA 0 A
2.讨论 收缩管
dA 0
扩张管 dA 0
Ma<1
Ma>1
dV>0
dV<0
dV<0
dV>0
一元等熵气流各参数沿程的变化趋势
Ma<1
流动参数 渐缩管 渐扩管 渐缩管 渐扩管
Ma>1
流速v
压强p 密度ρ
增大
减小 减小
减小
增大 增大
减小
增大 增大
增大
减小 减小
温度T
减小
增大
p


v :气体的比体积 C dp p p 1 1 C d
pv p
绝热或等熵指数
又根据完全气体状态方程：
Rg T c Nhomakorabeadp d
p RT
Rg－气体常数（空气：287J/kg²K）
对于空气来说，绝热指数： 1.4 因此空气中的音速为： c
下面通过讨论一元气流的基本方程式研究流动特性。 对于液体或气体的一元流动都是普遍适用的。
一、可压缩气体总流的连续性方程式
u A C
1u1 A1 2u2 A2
可压缩气体 密度变化
对上式取对数，得： ln u A ln ln u ln A C 再微分：
因而：
d / dp
越大，越易压缩，c
dp d
越小
音速是反映流体压缩性大小的物理参数
c
dp d
3．声速方程式的另外两种形式
因为微弱的扰动波的传播速度很快，所引起的气体的压强、温度和密
度的变化也很微小，因此可以假设此过程不仅绝热而且可逆（等熵过程） 对于绝热并且可逆的等熵过程，有：
pv
流速 V=0 0<V<c V=c V>c
马赫数 Ma=0 0<Ma<1 Ma=1 Ma>1
是否有寂静区 无 无 声源上游 马赫锥外
听到声音的频率 相同 不同 不同 不同
§8.2 可压缩气体一元流动的基本
方程式及流动特性
气体在管道中作定常等熵流动时，取有效截面上流动参数的平均值代
替截面上各点的参数值，这洋的管道流动即可认为是一维定常等墒流动。
dp d d udu c 2 d dp
d udu u 2du 2 du M a c2 c 2u u
由两式可以看出：
（1）不论Ma＜1或Ma＞1，只要du＞0， 则dp＜0， d 0
反之，du＜0时，则dp＞0， d 0
（2）内能变化
u u2 u1 cv T2 T1 cv 5R 2
R 287 J / kg K
（3）焓的变化
ds dQ T
dQ du pd 1 Cv dT d p dp
（4）熵的变化
h h2 h1 c p T2 T1 dQ dh dp cp 7R 2 dS dh T dp T C p dT T R dp p
流速
p u
密度

T
气体的绝对温度
本章主要介绍气体动力学的基础知识和基本理论。
§8.1
一、声速的定义及声速方程式
声速 c 和马赫数 M a
1.声速的定义： 微弱扰动在介质中的传播速度。 将声速作为微弱扰动波传播速度的统称。声波即是一种微弱扰动波。 2.声速方程式 等直圆管中充满着静止的可压缩流体，
压强为 p
M>1 超音速流动
M<1 亚音速流动
M=1 音速流动
M>1 超音速流动
3．超声速流场中马赫角
sin
at a 1 ut u M a
马赫数越大，马赫角越小。一般M＞3称为高超音速流动，此时扰动 区域只有2d＜40°的范围，马赫锥外320°空间中皆不受扰动。
流场名称 静止 亚声速 声速 超声速
dp udu
p RT
dp udu 0
状态方程

R——气体常数（空气：287J/kg²K）
dp

vdv 0 vdv c
——欧拉运动微分方程

dp

——理想气体一元恒定流的能量方程
一些常见的热力过程 （1）等容过程 积分：
v2 c 2 p
——机械能守恒
T2 p2 S S 2 S1 c p ln R ln T1 p1
dh C p dT Cv dT RdT Cv dT d RT Cv dT d p
三、一元气流所独特具有的两个重要基本特性 为了分析通道截面积的变化对一维定常等熵流动流速变化的影响，可 以由连续性方程的微分形式与忽略重力作用的理想流体一维定常流动欧拉 微分方程联立、推导出如下的微分方程式： 1．流速度与密度的关系
若要：气流减速(dv＜0)，则有dA＜0，即通道截面必须沿流动方向减小。
（3）当Ma＝l，即气流速度v＝c，气流作音速流动，这时有：
这意味着：通道截面积在此时有极值。最小断面才可能达到音速 实验证明，该极值是极小值。通道中截面积最小的部分称为喉部。 因此可以说，Ma＝1的临界状态只能出现在通道的截面最小处，即喉部。
又：
d


du dA 0 u A
dA d du ( ) A u
d

M a2
du u
∴
dA du 2 ( M a 1) A u
由此可以看到： （1）当Ma＜1，即气流速度v＜c。，气流作亚音速流动时，dA与dv异号。 若要：气流加速(dv＞0)，则dA＜0，即通道截面积须沿流动方向变小。 若要：气流减速(dv＜0)，则dA＞0，即通道截面积须沿流动方向增大， （2）当Ma>1，即气流速度v＞c，气流作超音速流动时，dA与dv同号。 若要：气流加速(dv＞0)，须有dA＞0，即通道截面积须沿流动方向增大。
c 20.1 T 20.1 273 25 346 m / s
则，其马赫数Ma为： M V 150 0.43 a c 346 2．气流流动状态 在无界可压缩流场中，某处设一间隙性声源，每隔1秒法一次声。
M<1 亚音速流动
设：声速为c来流速度为V，观察者与声源距离为r
M=1 音速流动
dt时间后气体的质量为: ( d )(c du ) Adt 根据质量守恒定律： cdtA (
消去dtA，展开，并略去高阶微量得：
c c du cd ddu
（2）分析受到扰动这部分气体的动量方程：
F
d (mu) dt
dt时间前气体的动量为0，dt时间后气体的动量为： 气体所受的合外力为： 因此，动量方程为： 消去dtA：
——多变指数
n p v2 c n 1 2
n=0 n=1 n=k
等压过程 等温过程 绝热过程
可压缩理想气体的能量方程
n→±∞ 等容过程
例1：文丘里流量计，进口直径d1=100mm，温度t1=20℃，压强
p1=420kPa，喉管直径d2=50mm，压强p2=350kPa，已知当地大气压 pa=101.3kPa，求通过空气的质量流量
气体常数：Rg 287 kg ( J K )
1.4 287 T 20.1 T m s
讨论： （1）音速与本身性质有关 （2 ）
c
1 d dp
d / dp
越大，越易压缩，c越小
音速是反映流体压缩性大小的物理参数
（3 ）
c f T f p,V , T
c 1.4 287T
281.2 K
p1 1 6.199kg / m3 RT1 p2 2 5.592kg / m3 RT2
连续性方程
1v1 A1 v2 4.434v1 2 A2
能量方程
2 k p1 v12 k p2 v2 k 1 1 2 k 1 2 2
解得
解：喷管——等熵过程
空气k=1.4 R=287J/kg²K
T——热力学温标（K） p——绝对压强
解题思路：状态（过程）方程、连续性方 程、能量方程
绝热过程方程
k 1 k 1.4 1 1.4
p2 T2 T1 p 1
状态方程
350 101.3 293 420 101.3