高数 第十一章 无穷级数第四讲 幂级数

第四讲 幂级数
授课题目（章节）： §11.3 幂级数 教学目的与要求：
了解函数项级数的收敛域及和函数的概念；
掌握幂级数的收敛半径、收敛域的求法；
了解幂级数在收敛区间内的基本性质，会求幂级数的和函数。

教学重点与难点：
幂级数的收敛半径、收敛域的求法
讲授内容：
一、函数项级数的概念
定义1.12(),(),,()
n u x u x u x 是定义在区间I 上的函数列，称和式 12()()()n u x u x u x ++++
为定义在区间I 上的（函数项）级数，记为
1
()n n u x ∞
=∑
定义2.若0x I ∈，常数项级数0()n u x 收敛，则称0x 为函数项级数1()n n u x ∞
=∑的收敛点；
若0x I ∈，常数项级数0()n u x 发散，则称0x 为函数项级数
1
()n n u x ∞
=∑的发散点；
1
()n
n u x ∞
=∑的收敛点（发散点）的全体称为1
()n
n u x ∞
=∑的收敛域（发散域）。

定义3.在收敛域上，函数项级数
1
()n n u x ∞
=∑的和是关于x 的函数，称之为和函数()s x 。

即在收敛域上，
1
()n n u x ∞
=∑()s x =
例求函数项级数21n x x x +++++
的收敛域及和函数。

二、幂级数及其收敛域
定义 4.函数项级数2012n n a a x a x a x +++++
称为关于x 的幂级数，记为
n
n n a x
∞
=∑；（0
0n n n x a x ∞
==∑
时，收敛）
函数项级数2010200()()()n n a a x x a x x a x x +-+-++-+称为关于0()x x -的幂
级数，记为
()
n
n
n a x x ∞
=-∑。

定理 1.(Abell 定理)如果幂级数
n
n n a x
∞
=∑当00(0)x x x =≠时收敛，则0||||x x <时，
n
n n a x
∞
=∑绝对收敛；如果
n
n n a x
∞
=∑当0x x =时发散，则0||||x x >时，
n
n n a x
∞
=∑发散。

推论 如果幂级数
n
n n a x
∞
=∑不是仅在0x =一点收敛，也不是在整个数轴上都收敛，则
必有一个正数R ，使得 当||x R <时，幂级数
0n
n n a x
∞
=∑绝对收敛；
当||x R >时，幂级数
0n
n n a x
∞
=∑发散；
当x R =±时，幂级数
n
n n a x
∞
=∑可能收敛可能发散。

定义5.正数R 称为幂级数0
n
n n a x
∞
=∑的收敛半径；区间(,)R R -+称为幂级数
n
n n a x
∞
=∑的
收敛区间。

注：（1）若
n
n n a x
∞
=∑仅在0x =一点收敛，则规定收敛半径0R =，这时收敛域为点0x =
（2）若
n
n n a x
∞
=∑在整个数轴上都收敛，则规定收敛半径R =+∞，这时收敛域为
区间(,)-∞+∞；
（3）若收敛半径0R >，则收敛域为(][)[](,)R R -+或-R,+R 或-R,+R 或-R,+R 。

收敛半径的求法：公式法、比值法
定理2. 如果
n n n a x ∞
=∑满足0(0,1,2,)n a n ≠=，1
lim n n n
a a ρ+→∞
= 则收敛半径1
000R ρρ
ρρ⎧≠⎪⎪⎪
=+∞
=⎨⎪=+∞⎪⎪⎩
例1、补例1、例5 求下列级数的收敛域 （1）
1
1
(1)
n
n n x n
∞
-=-∑ （2）∑
∞
=--1
222
12n n n
x n
（3）1
(1)2n
n
n x n ∞
=-∑ 解：① 因ρ=||lim 1n n n a a +∞→=1lim
+∞→n n
n =1，则R=1。

当x =-1时级数∑∞=-11n n
发散；当x =1时级数∑∞
=--1
1
)1(n n n 收敛，故收敛区间为(-1, 1]。

②|)12(22)12(|
lim 2
212-+∞
→-⋅+n n
n n
n x n x n =22
x ，当|x |<2时级数收敛，当|x |>2时级数发散，
则R=2。

x =±2时级数∑
∞
=-121
2n n 均发散，故收敛区间为(-2,2)。

③ 设t=x -1，级数可改写为∑∞
=⋅12n n n
n
t ，因ρ=||lim 1n n n a a +∞→=)1(22lim 1
+⋅+∞→n n
n n n =21，则R=2。

当t=-2时级数∑∞
=-1)1(n n n 收敛，当t=2时级数∑∞
=11
n n
发散，故收敛区间为[-1,3]。

例2求幂级数
2
1112!
!
n
x x x n ++
++
+
的收敛区间。

三、幂级数的运算
加减运算：
00,n n
n
n
n n a x b x
∞∞
==∑∑的收敛半径分别为12,R R ，12min(,)R R R =
则
(),(,)n n
n n n n
n n n n a x b x a
b x x R R ∞
∞
∞
===±=±∈-+∑∑∑
和函数的性质： 性质1幂级数
n
n n a x
∞
=∑的和函数()s x 在其收敛域I 上连续。

性质2幂级数0
n
n n a x
∞
=∑的和函数()s x 在其收敛区间(,)R R -+上可积，并有逐项积分公
式
10
00
000()1x
x
x n n
n n n n n n n a s x dx a x dx a x dx x n ∞∞∞+===⎡⎤===⎢⎥+⎣⎦
∑∑∑⎰
⎰⎰ （收敛半径不变）
性质3幂级数0
n
n n a x
∞
=∑的和函数()s x 在其收敛区间(,)R R -+上可导，并且有逐项求导
公式
1000
()()()n
n
n n n n n n n s x a x a x na x ∞∞∞
-==='''===∑∑∑ （收敛半径不变）
例6 求0
1n
n x n ∞
=+∑的和函数。

解：设s(x )=∑∞
=+01n n n x ，则有x s(x )=∑∞=++011n n n x ，逐项求导得：[x s(x )]'=∑∞
=0
n n x =x -11
(-1<x <1)，
两端同时积分得：x s(x )=⎰-x
x dx 01=-ln(1-x )，显然s(0)=1，则s(x )=⎪⎩⎪⎨⎧=<<--011
||0)
1ln(x x x x ，由和函数的连续性知，s(x )在(-1, 1)内连续。

补例2 求幂级数∑∞
=-1
1n n nx 的和函数。

解：设s(x )=∑∞
=-1
1
n n nx
，逐项积分得：⎰x
dx x s 0
)(=∑∞
=1
n n x =
x
-11
(-1<x <1)，两端同时求导得：s(x )=
2
)1(1x -(-1<x <1)。

课外作业： 215P
1. （2）（4）（6）（8）
2.。