特殊曲面及其方程--柱面、锥面、旋转面知识讲解

特殊曲面及其方程--柱面、锥面、旋转面
引言
空间解析几何所研究的曲面主要是二次曲面。

但是也可以研究一些非二次特殊曲面。

本论文中将利用直线或曲线适合某几何特征来建立一些曲面的方程。

主要讨论由直线产生的柱面和锥面，曲线产生的旋转曲面这三大类。

1.柱面
定义1：一直线平行于一个定方向且与一条定曲线Γ
相交而移动时所产生的曲面叫做柱面（图1），曲线Γ作叫做准线。

构成柱面的每一条直线叫做母线。

显然，柱面的准线不是唯一的，任何一条与柱面所有母线都相交的曲线都可以取做柱面的准线，通常取一条平面曲线作为准线。

特别地，若取准线Γ为一条直线，则柱面为一平面，可见平面是柱面的特例。

下面分几种情形讨论柱面的方程。

1.1 母线平行于坐标轴的柱面方程
选取合适的坐标系，研究对象的方程可以大为化简。

设柱面的母线平行于
z 轴，准线为Oxy 面上的一条曲线，其方程为：
(),0
0f x y z =⎧⎪⎨
=⎪⎩
图1
u v
又设(),,P x y z 为柱面上一动点（图2），则过点P 与z 轴平行的直线是柱面的一条母线，该母线与准线Γ的交点记为(),,0M x y ，因点M 在准线上，故其坐标应满足准线方程，这表明柱面上任一点(),,P x y z 的坐标满足方程(),0f x y =
反过来，若一点(),,P x y z 的坐标满足方程(),0f x y =，过P 作z 轴的平行线交Oxy 面于点M ，则点M 的坐标(),,0x y 满足准线Γ的方程
(),0,0f x y z ==，这表明点M 在准线Γ上，因此直线MP 是柱面的母线 (因为直线MP 的方向向量为{}{}0,0,||0,0,1z )，所以点P 在柱面上。

综上所述，我们有如下结论：
母线平行上于z 轴，且与Oxy 面的交线为(),0,0f x y z ==的柱面方程为：
(),0f x y = （1）
它表示一个无限柱面。

若加上限制条件a z b ≤≤，变得它的一平截段面。

同理，母线平行于x 轴，且与Oyz 面的交线为(),0,0g y z x ==的柱面方程为(),0g y z =；母线平行于y 轴，且与Ozx 面的交线为(),0,0h x z y ==的柱面方程为(),0h x z =。

定理1：凡三元方程不含坐标,,x y z 中任何一个时必表示一个柱面，它的母线平行于方程中不含那个坐标的坐标轴。

应该注意，如果母线不平行于坐标，柱面方程就要包含所有的坐标。

例1：以Oxy 面上的椭圆22221,0x y z a b +==，双曲线22
221,0x y z a b
-==和抛
物线22,0y Px z ==为准线，母线平行于z 轴的柱面方程分别为
22
222
22221,1,2x y x y y Px a b
a b
+=-==
它们分别叫做椭圆柱面、双曲柱面、抛物柱面，由于它们的准线是二次曲线，
故又统称为二次柱面，其图形见（图3）。

例2：证明，若柱面的准线为
(),0:0f x y z =⎧⎪Γ⎨=⎪⎩
母线方向为{}(),,0V l m n n =≠r
，则柱面方程为
,0l m f x z y z n n ⎛
⎫--= ⎪⎝
⎭ （2）
证：设()111,,0P x y 为准线Γ上一点，则过此点的柱面母线的参数方程为：
11,,
x x l y y m z n ρρρ=+=+= （ρ为叁数） ①
当点1P 遍历准线Γ上的所有点，那么母线①就推出柱面，消去参数ρ，由①式中最后一个式子得z
n
ρ=
，代入其余两个式子，有 11,l m
x x l x z y y m y z n n
ρρ=-=-=-=-
因点1P 在准线上，代入()11,0f x y =，即得(2)式
若柱面的准线为 ()1,0
:0f x z y =⎧⎪Γ⎨=⎪⎩
母线方向为 (){,,}0V l m n m =≠u v
则柱面方程为： 1:,0l n f x y z y m m ⎛
⎫
Γ--
= ⎪⎝
⎭
（3）
图3
若柱面的准线为： ()2,0
:0
f y z x =⎧⎪Γ⎨=⎪⎩
母线方向为 (){,,}0V l m n l =≠u v
则柱面方程为 2:,0m n f y x z x l l ⎛
⎫Γ--= ⎪⎝
⎭ （4）
1.2 柱面的一般方程
设柱面的准线Γ是一条空间曲线，其方程为
()()12,,0
:,,0
F x y z F x y z =⎧⎪Γ⎨=⎪⎩
母线方向为{},,l m n ，在准线Γ上任取一点()1111,,P x y z ，则过点1P 的母线方程是： 11,,
x x l y y m z n ρρρ=+=+= （ρ为叁数）
这里,,x y z 是母线上点的流动坐标。

因点1P 的坐标应满足：
()()11112111,,0,,,0F x y z F x y z ==
()(
)12,,0,,0F x l y m z n F x l y m z n ρρρρρρ---=⎧⎪⇒⎨---=⎪⎩
从上面这两组式子中消去参数ρ，最后得一个三元方程
(),,0F x y z = (5)
这就是以Γ为准线，母线的方向数为,,l m n 的柱面方程。

例3：柱面的准线是球面2221x y z ++=与平面0x y z ++=的交线，母线方向是{}1,1,1，求柱面的方向。

解：设()111,,x y z 是准线上任一点，则过这点的母线方程为
111,,
x x y y z z ρρρ=+=+=+ 由此得 111,,
x x y y z z ρρρ=-=-=-
代入准线方程，得 ()()()222
1
30
x y z x y z ρρρρ⎧-+-+-=⎪⎨++-=⎪⎩
消去参数ρ，得 222
1333x y z x y z x y z x y z ++++++⎛
⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
展开，化简后得 ()22223x y z xy yz zx ++---= 这就是所求的柱面方程。

1.3 柱面的参数方程
设柱面的准线的参数方程为： Γ：()
()
()()
x f t y g t a t b z h t =⎧⎪
=≤≤⎨⎪
=⎩
母线方向为{},,l m n 又设()()()()1111,,P f t g t h t 是准线Γ上的一点，则过1P 的母线方程为
()()()111,,x f t l y g t m z h t n ρρρ=+=+=+ （ρ为参数）
令1P 在准线Γ上移动，即让1t 取所有可能的值，并让ρ取所有可能的值，则由上式决定的点(),,x y z 的轨迹就是所求的柱面。

因此，柱面的参数方程是：
()()()x f t l
a t
b y g t m z h t n ρρρρ=+⎧⎪≤≤⎛⎫⎪
=+⎨ ⎪-∞<<+∞⎝⎭
⎪
⎪=+⎩
（6） 例4：设柱面的准线为： ()cos sin 020x a y b z θ
θ
θπ=⎧⎪
=≤≤⎨⎪=⎩
母线方向为{0,1,1}，求柱面的方程。

解：由(6)式，柱面得参数方程为： cos 02sin x a y n z θρπθρ
ρρ
=⎧⎪≤≤⎛⎫
⎪
=+⎨ ⎪-∞<<∞⎝⎭
⎪⎪=⎩
从上式中消去参数θ和ρ，得住面的一般方程 ()2
222
1y z x a b -+= 1.4 由生成规律给出柱面的方程
有时不给出柱面的准线，只给出生成规律下面举一例。

例5：求以直线q 为轴，半径为r 的圆柱面方程，其中直线q 通过点()0000,,P x y z ,方
向向量为{,,}V l m n =v。

解：设(),,P x y z 为所求柱面上的一点
（图4），按题意P 到q 的距离为PM r =，设0PP M θ=∠，按向量的定义有
00P P V P P ⨯=uuu r v sin V r V θ=v v
两端平方即得所求柱面的向量是方程：
(
)
2
22
0P P V r V ⨯=uuu r v v ①
写成坐标式，即
()()()()22
0000n y y m z z l z z n x x ---+---⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦
()()2
00m x x l y y +---⎡⎤⎣⎦
()2222r l m n =++ ②
若利用公式 ()
()2
2
22
000P P V
P P V P P V
⨯=-⋅uuuu r uuu r
uuu r ③
则②式又可写成
()()()()222222000x x y y z z l m n ⎡⎤-+-+-++⎣⎦
()()()2
000l x x m y y n z z --+-+-⎡⎤⎣⎦
()2222r l m n =++ 或
z z n
-=
图4
()()()
222
2000x x y y z z r -+-+--
=()()()2
000222
l x x m y y n z z l m n -+-+-⎡⎤⎣
⎦++ 特别地，若取直线q 为z 轴，令0000x y z ===，则比时柱面方程为
222x y r +=。

1.5 曲线的射影柱面
定义2：设Γ是一条空间曲线，π为一平面，经过Γ上每一点作平面的垂线，由这些垂线构成的柱面叫做从Γ到π的射影柱面（图5）
显然，Γ在π上的射影就是从Γ到π的射影柱面与π的交线。

通常我们将平面π取为坐标平面。

给定空间曲线 ()(
)12,,0
:,,0F x y z F x y z =⎧⎪Γ⎨=⎪⎩
那么怎样求曲线Γ到Oxy 平面上的射影柱面方
程？因为这个柱面的母线平行于z 轴，因此它的方程中不应含变量z ，这样只要消去z 即从Γ的某一个方程中解出z 来，把它代入另一个方程中，就得到从Γ向Oxy 面的射影柱面方程：
(),0f x y =
同理，曲线Γ在另外两个坐标平面上的射影柱面方程分别为：
图5
()(),0,,0g y z h x z ==
因为射影柱面方程比一般三元方程简单，所以常用两个射影柱面方程来表示空间曲线。

具体做法是：从曲线Γ的方程中轮流消去变量,x y 与z ，就分别得到它在Oyz 面，Ozx 面和Oxy 面上的射影柱面方程，然后于这三个柱面方程中选取两个形式简单的联立起来，那么就得到了原曲线的形式较简单的方程且便于作图。

例6：求曲线()()2
2
2222:1,111x y x x y z Γ++=+-+-=在Oxy 面上的射影。

解：欲求曲线在Oxy 面上的射影，需先求出曲线到Oxy 面上的射影柱面，这又须从曲线方程消去z ，由Γ的第一个方程减去第二个方程并化简得
1y z += 或 1z y =-
将1z y =-代入曲线的方程中的任何一个，得曲线Γ到Oxy 面的射影柱面：
22220x y y +-=
故两球面交线在Oxy 面的射影曲线方程是 2220
x y y z ⎧+-=⎨=⎩ 这是一椭圆.
2. 锥面
定义3：通过一定点0P 且与一条曲线Γ相交的一切直线所构成的曲面叫做锥面（图6），定点0P 叫做锥面的顶点，
定曲线Γ叫做锥面的准线，构成锥面的直线叫做锥面的母线。

由定义3，可见，锥面有个显著的特点：顶点与曲面上任意其它点的联线全在曲面上。

显然，锥面的准线不是唯一的，任何一条与所有母线相交的曲线都可以作为锥面的准线。

通常取一条平面曲线作为准线。

下面分几种 情形讨论锥面的方程：
2.1 顶点在原点，准线为平面曲线的锥面方程
设锥面的准线Γ在平面z h =上，其方程为
(),0:f x y z h
=⎧⎪Γ⎨=⎪⎩ 又设(),,P x y z 为锥面上一动点（图7），
()111,,P x y h 为准线Γ上一点，且P 、1P 、O 三点共线，则1OP OP λ=u u u v u u u v
或
11{,,}{,,}x y z x y h λ=即11,,x x y y λλ==z h λ=，于是
11,x
hx y hy x y z z
λ
λ=
=
==。

由于11,x y 应满足()11,0f x y =，可见(),,x y z 应满足方程：
,0h h f x y z
z ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
反过来，若一点P '的坐标(),,x y z 满足方程(1)，则将上式逆推可知，点P '在过点O 与1P 的直线上，因而在锥面的母线上，即点P '是锥面上的点。

图7
因此，以原点为锥顶，准线为(),0,g y z x k ==或(),0,h x y y m ==的锥面方程分别为：
,0;
,0k
k m m g y z h x z x
x y
y ⎛⎫
⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
例7：采用上式易知，以原点为锥顶，准线为椭圆 22
221x y a b z h ⎧+
=⎪⎨⎪=⎩ 双曲线
22
221
x y a b
z h
⎧-=⎪⎨⎪=⎩
和抛物线 22y Px z h ⎧=⎨=⎩ 的锥面方程分别是： 2
2
2
2
222211111,1h h h h x y x y a z b z a z b z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 和 2
20h h y P x z z ⎛⎫⎛⎫
-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
即 222222
222222,x y z x y z a b h a b h
+=-= 和 220hy Pxz -=。

这三个二次方程都是关于x 、y 、z 的二次齐次方程，因此统称为二次锥面
图8
222222x y z a b h
+= 222
222x y z a b h
-= 220hy Pxz -=
（图8）。

2.2 锥面的一般方程
设锥面的准线Γ为一空间曲线： ()()12,,0
:,,0
F x y z F x y z =⎧⎪Γ⎨=⎪⎩
顶点0P 的坐标为()000,,x y z 。

又设()1111,,P x y z 为准线上一点，则过点1P 的母线方程为：
()()()010010010,,x x x x y y y y z z z z ρρρ=+-=+-=+-
因为1P 在准线上，故应有 ()()
11112111,,0
,,0F x y z F x y z =⎧⎪⎨=⎪⎩
()()()()()()00010002111,,0111,,0x x y y z z F x x y y z z F ρρρρρρρρρρρρ⎧------⎛⎫
=⎪ ⎪⎪⎝⎭
⎨
------⎛⎫
⎪= ⎪⎪⎝
⎭⎩ （7） 从以上一组方程中消去ρ可得 (),,0F x y z = 这就是以Γ为准线0P 为顶点的锥面方程。

例8：锥面的顶点在原点，且准线为 22
221x y a b z c ⎧+
=⎪⎨⎪=⎩
求锥面的方程。

解：设()1111,,M x y z 为准线上的任意点，那么过1M 的母线为
111
x y z
x y z == ① 且有 22
11221x y a b
+= ②
1z c = ③
由①、③得 11,x y
x c y c z z
== ④
④代入②得所求的锥面方程为 222
2220x y z a b c
+-=
这个锥面叫做二次锥面。

定理2：关于,,x y z 的齐次方程表示以坐标原点为顶点的锥面。

证：设(),,0F x y z =是关于,,x y z 的n 次齐次方程，点()1111,,P x y z 是方程所表示的曲面∑上的任意一点（但不是原点），那么
()111,,0F x y z =
连结1OP ，在此直线上任取一点(),,P x y z ⅱ?，因为1OP tOP =u u u v u u u v
，故有
11,,x tx y ty z tz ⅱ?===
把点P 的坐标代入曲面S 的方程，利用F 是n 次齐次函数，有
()()()111111,,,,,,0n F x y z F tx ty tz t F x y z ⅱ?===
这表示直线1OP 上任何点都在曲面S 上，因而S 是由过原点的动直线构成的，这就证明了它是一个以原点为顶点的锥面。

推论：关于000,,x x y y z z ---的齐次方程表示以()000,,x y z 为顶点的锥面。

证：平移坐标轴，以()000,,x y z 为新原点，利用定理(2)即得证明。

例9：求顶点在()00,,0P b ，准线为 22
22
:1,0z x y c a
G -== 的锥面方程。

解：设(),,P x y z 是锥面上一动点，则母线0P P 的方程为
11,,
x x y b b z z r r r ==-= （ρ为叁数）
其中()111,0,P x z 为母线0P
P 与准线G 的交点，从上式可解得交点1P 的坐标 11,0,x z
x y b b z r r r
=
=-+= 由此可解得y b
b
r -=-
，将点1P 的坐标代入准线方程中，得 2222
221z x c a r r -= 或 22
2220z x c a
r --= 此即 ()2
22
22
20y b z x c b a
---= 这就是所求的锥面方程。

2.3 锥面的参数方程
设锥面的准线的参数方程为 ()()()()
:x f t y g t a t b z h t ì=ïïï
ïG =＃íïïï=ïî
顶点为()0000,,P x y z ，又设()()()()1111,,P f t g t h t 为准线上一点，则母线01P P 的参数方程为
()()()()010010010x x f t x y y g t y z z h t z r r r r ì轾ï=+-ï臌ïïï轾=+--?<+?í臌ïïï轾=+-ï臌ïî
当点1P 在准线G 上移动时，母线01P P 的轨迹就是锥面，因此锥面的参数方程是
()()()()()()
00
0111x x f t a t b y y g t z z h t r r r r r r r ì=-+ïï镦?＃ï÷ç=-+?íç÷÷
çï-?<+?桫
ïï=-+ïî （8） 从(8)式可见，锥面有两叶，0r >是一叶，0r <是另一叶。

例10：已知锥面的顶点为()0,0,0，准线为
()cos ,sin ,02x a y b z c q q q
p ===＃
求它的方程。

解：由(8)式，所求锥面的参数方程是
cos 02sin x a y b z c r q q p r q r r
ì=ïï骣＃ï
÷ç=?íç÷÷
çï-?<+?桫
ï=ïïî （9） 消去参数r 和q ，就得所求锥面的一般方程，它是二次锥面
222
222x y z a b c
+= （9¢）
2.4 由生成规律给出锥面的方程
定义4：已知一定直线q 上的一定点0P ，过空间一点P 与0P 作直线使与q 所成锐角等于定角q ，则动点P 的轨迹叫做(直)圆锥面，q 叫做锥面的轴 ，锐角q 叫做半锥项角，定点0P 叫做锥顶。

例11：求以000
:
x x y y z z q l m n
---==
为轴，半锥角为q 的圆锥面方程。

解：设(),,P x y z 为所求圆锥面上的一点，
()0000,,P x y z 为锥顶(图9)。

0P P uuu r
与q 的夹角为q 的条件是：
x
00P P P P u ?uuu r r uuu r cos r
u q × （10）
其中{,,}l m n u =r
为直线q 的方向向量，
0000{,,}P P x x y y z z =---uuu r。

方程(10)即为所求圆锥面的向量式方程，写成坐标形式是：
()()()()222
2222000cos l m n x x y y z z q 轾++-+-+-犏臌
()()()2
0000l x x m y y n z z 轾--+-+-=臌
（10¢） 它是关于000,,x x y y z z ---的二次齐次式，因而是二次锥面。

两个特例是:
1o 以原点()0,0,0为锥项，且轴的方向为{,,}l m n 的锥面方程为
()()()2
2222222cos 0l m n x y z lx my nz q ++++-++= （11）
若设l 、m 、n 为方向余弦，则(11)式简化为
()()2
2222cos 0x y z lx my nz q ++-++= （11¢）
2o 以原点()0,0,0为锥顶，z 轴为轴，q 为半锥项角的圆锥面方程是（此时
{,,}{0,0,1}l m n =）：
()22222cos 0x y z z q ++-= 或 ()()2
2
2
2
2
2
2
cos 1cos sin x y z z q q q
+=-=此即 2222tan x y z q += （12） 其图形见图10
例12：求以原点为顶点且过三条坐标轴的圆锥面方程。

解：设将过原点且方向角为α、β、γ的直线q 取作轴，因为所求圆锥面
包含三条坐标轴，所以它的轴必与三条坐标轴交成等角，因而有
直圆锥面：2222tan x y z θ+=
图10
cos cos cos αβγ±=±=±，但222cos cos cos 1αβγ++=
，故有cos 3
α=±
，cos 3β=±
，cos 3
γ=±。

根据不同的符号，q 的位置共有四种，且分别在八个封限内，但圆锥的半锥顶角θ满足21
cos 3
θ=（因为此时
22221
cos cos cos cos 3
θαβγ====）。

1o 设q 位于第Ⅰ、Ⅶ封限，则有
cos cos cos 3
αβγ===
写出母线方向{,,}x y z 与{cos ,cos ,cos }αβγ成角为θ的条件：
cos θ==
=
由此出锥面的方程为： 0xy yz zx ++= 此时轴的方程是： x y z ==
2o 设q 位于第Ⅱ、Ⅷ封限内，同理得锥面的方程为：
0xy yz zx -+=
此时轴的方程是： x y z -==
3o 设q 位于第Ⅲ、Ⅴ封限内，则锥面方程为： 0xy yz zx +-=
且轴的方程是： x y z =-=
4o 设q 位于第Ⅳ、Ⅵ封限内，则锥面方程为： 0xy yz zx -++= 且轴的方程是： x y z ==-
3. 旋转曲面
定义5：一条曲线G 绕一条定直线
q 旋转而产生的曲面叫做旋转曲面（图11），曲线G 叫做旋转曲面的母线，直线q 叫做旋转轴，G 上每一点在旋转过程中生成的圆叫做纬线圆或平行圆。

当G 为直线时，若与轴平行，则旋转曲面是（直）圆柱面；若G 与轴相交时，旋转曲面是（直）圆锥面；若G 与轴垂直，则旋转曲面是平面（图12），因此圆柱面、圆锥面，还有平面都可看作是旋转曲面的例子。

下面分几种 情形讨论旋转面的方程：
3.1 旋转曲面的一般方程
设旋转曲面的母线是一条空间曲线 ()()12,,0:,,0
F x y z F x y z ì=ï
ïG í
ï=ïî 旋转轴q 是过点()0000,,P x y z ，方向为{,,}l m n 的直线
000:x x l g y y m z z n r r r
ì=+ïïï
ï=+íïïï=+ïî ()r -?<+?
旋转曲面 图
11
q
图12
又设()1111,,P x y z 是母线上任意一点，(),,P x y z 是过1P 的纬线圆（它的圆心是q 上的一点）上的任意一点（图13），则
1,q CP q CP ^^ 且 1CP CP = 1001,PP q P P P P ^=，所以有
()()()1110l x x m y y n z z -+-+-= ①
()()()222
000x x y y z z -+-+-
()()()2
2
2
101010x x y y z z =-+-+- ②
②式表示以0P 为中心，以01P P 为半径的球面，而①式表示通过点1P 且垂直于轴q 的平面。

所以①和②联立表示通过1P 的纬线圆。

又因点1P 在母线G 上，故有 ()()11112111,,0,,,0F x y z F x y z == ③
由三式①、②、③消去111,,x y z ，即得旋转曲面方程：
(),,0F x y z = （13）
例13：求直线
1122
x y z
-==绕直线:q x y z ==旋转所得的旋转曲面方程。

解：设(),,P x y z 是旋转曲面上的任意一点，过P
作轴x y z ==的垂直平面，交母线
1122
x y z
-==于一点1P ()111,,x y z （图14），因为旋转轴通过点，不妨取原点为0P ，于是由上述，过点1P 的纬线圆方程是：
()()()1112
2222111
x x y y z z x y x y z ì-+-+-=ïïíï+=++ïî④⑤
由于点1P 在母线上，故
111
1122
x y z -== 或 ()()111121,21y x z x =-=- ⑥
图13
),z
)111,,x y z 22
y z
= :g x y z == 图14
⑥代入④
1111222254x y z x x x x ++=+-+-=-
因此
()()()()()
111111
45
2
21152
2115
x x y z y x x y z z x x y z ìïï=+++ïïïïïï=-=++-íïïïïï=-=++-ïïïî
上式代入⑤，得 ()()22
22218412525
x y z x y z x y z ++=++++++- 这就是所求的旋转曲面方程。

在实际运用中，我们常把旋转轴取为坐标轴。

特别地，若母线是一条平面曲线，我们又常把母线所在的平面取作一坐标面，旋转轴取作该平面内的某一坐标轴，这时旋转曲面的方程具有较简形式。

3.2 平面曲线绕坐标轴旋转生成的旋转曲面
设G 是坐标平面Oxy 上的曲线（图15），，它的方程是
(),0:0
g y z x ì=ï
ïG íï=ïî 旋转轴为z 轴：001
x y z
==，如果()111,,P O y z 为母线G 上的一点，那么过1P 的纬线圆方程为：
122222110z z x y z y z ì-=ïïíï++=+ïî
①②
且有 ()11,0g y z = ③
图15
从上面两组式子消去参数11,y z ，具体做法是：将①代入②，得
22211,
y x y y =+=?
将1y =1z z =代入⑦即得
()
0g z = （14）
同样，把曲线Γ绕y 轴旋转所得的旋转曲面的方程是：
(
,0g y = （15）
同理可知，坐标平面Ozx 上的曲线 ():,0,0h x z y Γ==
绕x 轴或z 轴旋转所生成的旋转曲面方程分别为：
(
,0h x =和()
0h z =
Oxy 面上的曲线 ():,0,
0f x y z Γ==
绕x 轴或y 轴旋转所生成的旋转曲面方程分别为：
(
,0f x =和()
0f y =
因此，我们有如下结论：
定理3：当坐标平面上的曲线Γ绕此坐标平面内的一个坐标轴旋转时，只要将曲线Γ在坐标平面里的方程保留和旋转同名的坐标，而以其余两个变量的平方和的平方根去替换方程中的另一坐标，即得旋转曲面的方程。

例14：将Oxy 面上的圆()()2
22:,0C x a y r z a r -+==>绕y 轴旋转，求所得旋转曲面的方程。

解：因为绕y 轴旋转，所以方程()2
22x a y r -+=中保留y 不变，而x 用
()2
2
2
2a
y
r +=，即222222x y z a r +++-=±
()
()2
2
2
2
2
22224x
y z a r
a x z +++-=+
这样的曲面叫做圆环面（图16），它的形状象救生圈。

3.3 旋转二次曲面
例
15：圆222:,0C x y r z +==绕x 轴旋转所得的曲面方程为：
(
2
2
2x r +=，即2222x y z r ++=
它是以原点为中心，r 为半径的球面。

例16：椭圆：22
221,0x y z a b
+==分别绕长轴（即x 轴）与短轴（即y 轴）
旋转二的的旋转曲面方程分别为：
222
221x y z a b ++= （16） 222
2
21x z y a b
++= （17）
图16
曲面（16）叫做长形旋转椭球面（图17），曲面（17）叫做扁形旋转椭球面（图18）。

在研究地球时，常把地球的表面看成是扁形旋转椭球面；有些锅炉为了减轻蒸汽对炉壁的冲击力，而把它做成旋转椭球面的形状。

例17：将双曲线22
221,0y z x b c
-==，绕虚轴（即z 轴）旋转的曲面方程
为：
222
2
21x y z b c
+-= （18） （图19） 绕实轴（即y 轴）旋转的曲面方程为：
222221y x z b c
+-= （19） （图20）
222
长形旋转椭球面（图
扁形旋转椭球面（图
曲面（18）叫做旋转单叶双曲面，曲面（19）叫做旋转双叶双曲面。

旋转单叶双曲面在工程技术中很有用。

例如发电厂和水泥厂的冷却塔多半建成旋转单叶双曲面的形式。

例18：将抛物线22,0y py x ==，绕它得对称轴（即z 轴）旋转的曲面方程为：
222x y pz += （20） 它叫做旋转抛物面。

（图21）
旋转抛物面有着广泛的用途，如探照灯，车灯和太阳灶的反光面就是这种曲面。

为了保持发射与接收电磁波的良好性能，雷达和射电望远镜的天线多做成旋转抛物面。

旋转双叶双曲面
1 图19
旋转单叶双曲面
旋转抛物面（图
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