1.1.1 空间向量及其线性运算(PPT)-

C→D＝7a－2b，则一定共线的三点是( )
A．A，B，D
B．A，B，C
C．B，C，D
D．A，C，D
【例 5】 如图，已知四边形 ABCD 是空间四边形，E，H 分别 是边 AB，AD 的中点，F，G 分别是边 CB，CD 上的点，且C→F＝23C→B， C→G＝23C→D.
求证：四边形 EFGH 是梯形．
学科素养
1.数学抽象； 2.数学运算； 3.直观想象
第一阶段 课前自学质疑
情境导学 感知新课
情境导学 在滑翔过程中，飞行员会受到来自不同方向、大小各异的力，例 如绳索的拉力、风力、重力等．显然，这些力不在同一个平面内．联 想用平面向量解决物理问题的方法，能否把平面向量推广到空间向 量，从而利用空间向量研究滑翔运动呢？
2．在正六棱柱 ABCDEF A1B1C1D1E1F1 中，化简A→1F1－E→F＋ D→F＋A→B＋C→C1，并在图中标出化简结果所表示的向量．
解：在正六棱柱 ABCDEF A1B1C1D1E1F1 中，四边形 AA1F1F
是平行四边形，所以A→1F1＝A→F.
同理A→B＝E→D，C→C1＝D→D1，D→F＝D→1F1，
则向量a也可以记作A→B，其模记为|a|或|A→B|.
2．几类特殊向量 特殊向量
定义
零向量
模为___0___的向量
单位向量
模为___1___的向量
相反向量 与向量 a 长度__相__等__而方向_相__反___ 的向量
相等向量 方向__相__同__且模__相__等__的向量
表示法 0课堂探究评价
关键能力 素养提升
类型一：向量的基本概念 典例示范
【例 1】 (1)下列关于空间向量的说法中正确的是( ) A．若向量 a，b 平行，则 a，b 所在直线未必平行 B．若|a|＝|b|，则 a，b 的长度相等而方向相同或相反 C．若向量A→B，C→D满足|A→B|＞|C→D|，则A→B＞C→D D．相等向量其方向未必相同
1．在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量 的相关概念完全一致．两向量相等的充要条件是两个向量的方向相 同，模相等．两向量互为相反向量的充要条件是两个向量的模相等， 方向相反.
2．判断有关向量的命题时，要抓住向量的两个主要元素：大小 与方向，两者缺一不可，相互制约.
如图，在长方体 ABCD-A′B′C′D′中，AB＝3，AD＝2，AA′＝1， 分别以长方体的顶点为起点和终点的向量中：
例 4 A 解析： 因为A→D＝A→B＋B→C＋C→D＝3a＋6b＝3(a＋2b) ＝3A→B，所以A→D∥A→B.因为A→D与A→B有公共点 A，所以 A，B，D 三 点共线．
例 5 证明： 因为 E，H 分别是 AB，AD 的中点，
所以A→E＝21A→B，A→H＝21A→D，
所
以
→ EH
＝
→ AH
判断(正确的打“√”，错误的打“×”). (1)若两个空间向量相等，则它们的模相等，而且它们的起点相同， 终点也相同．( × ) (2)零向量没有方向．( × )
(3)空间两个向量的加减法运算与平面内两个向量的加减法运算 完全一致．( √ )
(4)若空间向量 a，b 满足|a|＝|b|，则 a＝b.( × ) (5)空间中任意三个向量一定是共面向量．( × )
②对任意两个空间向量 a，b(b≠0)，a∥b 的充要条件是存在实数
λ，使___a_＝__λ_b_.____
(2)共面向量 ①定义：平行于____同__一__个__平__面______的向量，叫做共面向量. ②如果两个向量 a，b 不共线，那么向量 p 与向量 a，b 共面的充 要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使__p_＝__x_a_＋__y_b__．
数学（人教版）
选择性必修第一册
第一章 空间向量与立体 几何
1.1 空间向量及其运算
1.1.1 空间向量及其线性运算
素养目标 1.理解并掌握空间向量基本概念和性质； 2.掌握空间向量的加减法及数乘运算和运算 律； 3.了解共线(平行)向量和共面向量的意义，掌 握表示方法并能运用它们说明空间内共线与共面 问题.
－
→ AE
＝
1 2
→ AD
－
1 2
A 解析：①A→1D1－A→1A－A→B＝A→D1－A→B＝B→D1. ②B→C＋B→B1－D→1C1＝B→C1＋C→1D1＝B→D1. ③A→D－A→B－D→D1＝B→D－D→D1＝B→D－B→B1＝B→1D≠B→D1. ④B→1D1－A→1A＋D→D1＝B→D＋A→A1＋D→D1＝B→D1＋A→A1≠B→D1.故选 A.
(2)A 解析： ①为真命题，根据向量相等的定义知，两向量相 等，模一定相等；②为真命题，平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中，A→C与 A→1C1的方向相同，模也相等，故A→C＝A→1C1；③为真命题，向量相等满 足传递性；④为假命题，空间中任意两个单位向量的模均为 1，但方 向不一定相同，故不一定相等．故选 A.
1．空间向量的运算仍然遵循三角形法则和平行四边形法则，在 进行加法、减法运算时，要注意找准向量所在的三角形或平行四边 形.
2．向量的加法和减法是互逆运算，在进行减法运算时，可将减 去一个向量转化为加上这个向量的相反向量.
1．如图，已知平行六面体 ABCD A1B1C1D1，化简下列向量 表达式，并标出化简结果所表示的向量．
1．利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、 平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量.
2．运用空间向量的数乘运算律可以简化运算，注意与实数的有 关运算律进行区别.
如图，在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中，M 为 AC 的三等分点 (靠近 A 点)，N 是 A1D 的三等分点(靠近 D 点)．设A→B＝a，A→D＝b， A→A1＝c，试用 a，b，c 表示M→N.
①A→B＋B→C；②A→B＋A→D＋A→A1；③A→B－D→A－B→1B－C→C1.
解：①A→B＋B→C＝A→C.
②A→B＋A→D＋A→A1＝A→C＋C→C1＝A→C1.
③
A→B－
D→A－B→1B
－
→ CC1
＝
→ AB
＋
→ AD
－B→1B
－
→ CC1
＝
A→C－
→ C1C
－
C→C1＝A→C＋C→C1－C→C1＝A→C.(图略)
解：(1)因为O→Q＝P→Q－P→O＝P→Q－12(P→A＋P→C)＝P→Q－12P→C－12P→A， 所以 x＝1，y＝z＝－12. (2)因为 O 为 AC 的中点，Q 为 CD 的中点， 所以P→A＋P→C＝2P→O，P→C＋P→D＝2P→Q， 所以P→A＝2P→O－P→C，P→C＝2P→Q－P→D， 所以P→A＝2P→O－2P→Q＋P→D， 所以 x＝2，y＝－2，z＝1.
1 6
解析：由四点共面的充要条件知，x＋12＋13＝1，因此 x＝16.
5．在三棱锥 A BCD 中，若△BCD 是正三角形，E 为其中心，
则A→B＋12B→C－23D→E－A→D化简的结果为________． 0 解析：如图，延长 DE 交边 BC 于点 F，则有A→B＋21B→C＝A→F，
32D→E＋A→D＝A→D＋D→F＝A→F，故A→B＋12B→C－32D→E－A→D＝0.
所以A→1F1－E→F
＋D→F＋A→B＋C→C1＝A→F＋F→E＋E→D＋D→D1＋
→ D1F1
＝A→F1.(图略)
类型三：空间向量的数乘运算 典例示范
【例 3】 如图，已知正四棱锥 P ABCD，O 是正方形 ABCD 的中心，Q 是 CD 的中点.
求下列各式中 x，y，z 的值. (1)O→Q＝xP→Q＋yP→C＋zP→A； (2)P→A＝xP→O＋yP→Q＋zP→D.
于( )
A．a＋b－c
B．－a－b＋c
C．－a＋b＋c
D．－a＋b－c
C 解析：C→D＝C→B＋B→A＋A→D＝C→B－A→B＋A→D＝－a＋b＋c.
3．化简P→M－P→N＋M→N的结果是( )
→ A.PM
→ B.NP
C．0
→ D.MN
C 解析：P→M－P→N＋M→N＝N→M＋M→N＝0.
4．已知点 M 在平面 ABC 内，并且对空间任一点 O，O→M＝xO→A＋ 12O→B＋13O→C，则 x 的值为________．
预习验收 衔接课堂
1．在平行六面体 ABCD A1B1C1D1 中，以顶点为起点和终点的 向量中，与向量A→D相等的向量共有( )
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 C 解析：与向量A→D相等的向量有B→C，A→1D1，B→1C1，共 3 个．
2．已知空间四边形 ABCD 中，A→B＝a，C→B＝b，A→D＝c，则C→D等
解：M→N＝M→A＋A→A1＋A→1N＝－13A→C＋A→A1＋23A→1D＝－13(A→B＋A→D) ＋A→A1＋23(A→D－A→A1)＝－13(a＋b)＋c＋32(b－c)＝－31a＋13b＋31c.
类型四：向量共线充要条件的应用 典例示范
【例 4】 已知非零向量 a，b，且A→B＝a＋2b，B→C＝－5a＋6b，
类型二：空间向量的加法、减法运算 典例示范
【例 2】 如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，下列各式运算结
果为B→D1的是( )
①A→1D1－A→1A－A→B； ③A→D－A→B－D→D1； A．①② C．③④
②B→C＋B→B1－D→1C1； ④B→1D1－A→1A＋D→D1. B．②③ D．①④
图1
图2
4．空间向量的线性运算满足的运算律 交换律：a＋b＝__b_＋__a___; 结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)·a(其中 λ，μ∈R)； 分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝__λ_a_＋__λ_b___ (其中 λ，μ∈R).
5．共线向量、共面向量 (1)共线向量 ①定义：如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线 __互__相__平__行__或__重__合____，那么这些向量叫做共线向量或__平__行__向__量____.
必备知识 深化预习
1．空间向量的有关概念 (1)定义：在空间，我们把具有_大__小___和_方__向___的量叫做空间向量. (2)空间向量的长度：空间向量的_大__小___叫做空间向量的长度或 __模____.
①几何表示法：空间向量用__有__向__线__段____表示. (3)表示法：②字母表示法：若向量a的起点是A，终点是B，
(2)由于长方体的左、右两侧面的对角线长均为 5，故模为 5的 向量有AD→′，D→′A，A′→D，D→A′，B→ C′，C′→B，B→′C，C→ B′.
(3)与向量A→B相等的所有向量(除它自身之外)有A′→B′，D→C及 D′→C′.
(4)向量AA→′的相反向量有A→′A，B′→B，C′→C，D′ →D.
－a
a＝b 或A→B＝C→D
3．空间向量的加法、减法及数乘运算 (1)如图 1，a＋b＝O→A＋A→B＝__O→_B___； (2)如图 1，a－b＝O→A－O→C＝C→A；
(3)如图 2，当 λ>0 时，λa＝λO→A＝P→Q； 当 λ<0 时，λa＝λO→A＝M→N； 当 λ＝0 时，λa＝___0___．
(1)单位向量共有多少个？ (2)试写出模为 5的所有向量． (3)试写出与向量A→B相等的所有向量． (4)试写出向量A→ A′的所有相反向量． 解：(1)因为长方体的高为 1，所以长方体的四条高所对应的向 量AA→′，A′→A，B→ B′，B′→B，C→ C′，C′→C，DD→′，D′ →D都是 单位向量，而其他向量的模均不为 1，故单位向量共有 8 个．
(2)给出下列命题：
①若空间向量 a，b 满足 a＝b，则|a|＝|b|;
②平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中，必有A→C＝A→1C1； ③若空间向量 m，n，p 满足 m＝n，n＝p，则 m＝p；
④空间中任意两个单位向量必相等.
其中假命题的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
(1)A 解析： A 中，向量 a，b 平行，则 a，b 所在的直线平行或 重合；B 中，|a|＝|b|只能说明 a，b 的长度相等而方向不确定；C 中， 向量作为矢量不能比较大小；D 中，相等向量指的是两个向量长度相 等、方向相同．故选 A.