理论力学--振动基本理论

振动沉拔桩机等。
消耗能量，降低精度等。
研究振动的目的：
消除或减小有害的振动，充分利用振动为人类服 务。
振动的分类：
按系统的自由度分
单自由度系统的振动 多自由度系统的振动 弹性体的振动
按振动产生的原因分：
自由振动
无阻尼的自由振动 有阻尼的自由振动（衰减振动）
强迫振动
无阻尼的强迫振动 有阻尼的强迫振动
mg k st
x
m
d2x dt2

k
x
令

2 n

k m
（17-2）
d2x dt2


2 n
x

0
（17-3）
单自由度系统无阻尼自由振动（Free vibration）微分方程的标准形式。
通解： x C1 cosnt C2 sin nt
（17-4）
任意瞬时的速度为
v
（1）小阻尼情形 （ n n ）阻尼系数 C 2 mk
x Aent sin n2 n2t
（17-17）
x Aent sin(d t )
d

2 n

n2
—有阻尼自由振动的圆频率
设 t 0 时, x x0, v v0 , 则
A
x02
nt 称为振动的相位（Phase）（或相位角）
，单位是弧度（rad），相位决定了物块在某瞬时t
的位置，而 称为初相位，它决定了物块运动的
起始位置。
例17-1 求如图17-3所示单摆的微幅振动周期。
已知摆球质量为m，摆绳长为l。
解： 单摆的静平衡位置为铅垂位置，用摆绳偏
离垂线的夹角 j 作为角坐标。摆球受到重力 mg和绳
为固有圆频率（固有频率（Natural frequency））。
其单位与频率 f 相同，为赫兹（Hz）。
mG g
k G
st
n2

k m
n
g
st
（17-10）
（2）振幅和初位相
x Asinn t
A表示物块偏离振动中心的最大距离，称为振幅 （Amplitude），它反映自由振动的范围和强弱；
无阻尼自由振动的周期
2
T
n
（17-7）
无阻尼自由振动的频率
f 1 n T 2
（17-8）
n 2 f
（17-9）
表示物体在 2 秒内振动的次数，称为圆频率 （Circular frequency）。
只与系统本身的质量m及弹簧刚度k有关，而与运 动的初始条件无关，是振动系统的固有特性，所以称
对于质量弹簧系统，固有频率为：
n
k m
这种求振动系统固有频率的方法称为能量法。
例17-3 如图17-7所示系统中，圆柱
o
l0
x
x
体半径为 r，质量为 m，在水平面上滚
k
A
而不滑；弹簧刚度系数为 k。试求系统
的固有频率。 图 17-7 解： 以弹簧处于原长时圆柱圆心为坐标原点，
以圆柱圆心偏离原点的距离 x为系统的运动坐标。设
A2
机械能守恒，有
Tmax Vmax
3 4
mn2 A2

k 2
A2
n
2k 3m
例17-4 用能量法计算例17-2题，如图17-4所示。
解： 以滑轮偏离其平衡位置的转角j为系统的坐
标。设系统作自由振动，振动规律为
j jm sinnt
当系统在任意位置j 时，其动能为
T


dx dt

C1 n
sin n
t

C2
n
cos n
t
当t = 0时，x = x0，v = v0，可求出积分常量
C1 x0
C2

v0
n
令 C1 Asin
C2 A cos
式（17-4）可写成
x Asinn t （17-5）
A
C12 C22
对于如图17-1所示无阻尼振动系统，当系统作
自由振动时，物块的运动规律为 x Asin nt
速度：
v

Байду номын сангаас
dx dt

An
cosnt

动能：
T

1 2
mv 2

1 2
mA2n2
cos2 nt

选静平衡位置为零势能位置，系统的势
能：
V 1 k 2
x02


v0
n
2

tan n x0
v0

无阻尼自由振动是简谐 振动，其运动图线如图 17-2所示。
x t
A0 x0 0
A0
（17-6）
T t
图 17-2
17.1.2 自由振动的特点 （1）周期与频率。物体的无阻尼自由振动是 周期运动，设周期为T
xt xt T n T t n t 2
系统作自由振动，坐标 x 的变化规律为
x Asin nt
动能：T

1 2
J 2

1 2
mv 2

3 4
mx2

3 4
mn2 A2
cos2 nt

最大动能：
Tmax

3 4
mn2
A2
势能： 最大势能：
V

k 2
x2

k 2
A2
s in 2
nt


Vmax

k 2
n
2gk G 2G1 2G2
T 2 2 G 2G1 2G2
n
2gk
17.1.3 弹簧的并联与串联 （1）弹簧并联。图17-5表示刚性系数为k1，k2 的弹簧组成的两种并联系统。
在物块重力作用下，每个弹簧产生的静变形相 等，由物块的平衡条件可得
mg k1 s t k2 s t 将并联弹簧看成为一个弹簧，其刚度 系数 keq mg s t ，称为等效刚度系 数（Equivalent stiffness）。
簧刚度系数的倒数之和。
keq

k1 k 2 k1 k2
串联弹簧系统的固有频率为
（17-13）
n
keq m
k1 k 2
mk1 k2
17.2 计算固有频率的能量法
求系统固有频率的方法：
（1）运动微分方程法 n
k m
（2）静变形法
n
g
st
（3）能量法。能量法是从机械能守恒定律 出发，对于计算较复杂的振动系统的固有频率， 用能量法来求更为简便。
拉力 F 的作用。取j 的增大方向为正向，依据动量矩
定理，得
ml 2
d 2j
dt 2

m g l sinj
O jl
d2j g sinj

0
dt 2
l
Fv
mg 图 17-3
微幅振动 sinj j
d 2j
dt 2

g l
j

0
固有圆频率
n
g l
周期为
T 2 2 l
n
g
例17-2 滑轮重量为 G，重物 M1，M2重量为 G1， G2。弹簧的刚度系数为k，如图17-4所示。设滑轮为 均质圆盘，略去弹簧与绳子的质量，求重物垂直振动
1 2
J 0j 2

1 2

G1 g
jr 2

1 2

G2 g
jr 2

r2 2g

1 2
G

G1

G2

jm2n2
cos2
nt


最大动能：
Tmax

r2 4g
G 2G1 2G2
jm2n2
系统在任意位置j 时，其势能为
V

k 2

(v0 nx0 )2
n2 n2
; tan x0 n2 n2
v0 nx0
由小阻尼情形下的自由振动表达式式（17-17） 知 ，振幅随时间不断衰减，所以又称为衰减振 动（Damped Vibration）。运动图线如图17-9所示。
衰减振动的特点：
x
振幅在曲线 x Aent 与 A
x Aent 之间逐次递减。
x0
Ae-nt A1
A2
t
这种振动已不是周期振动， O
但仍然是围绕平衡位置的往

复运动，仍然具有振动的特 d
-Ae-nt Td
点。
图 17-9
Ae nt
瞬时振幅
d
衰减振动的圆频率
n C n 2 mk
称为阻尼比（Damping ratio）。
的周期。
j
解： 以滑轮偏离其平衡位置的转角j O
为确定系统位置的坐标。设滑轮半径为r。
当系统在任意位置j 时，弹簧的变形量
M1
M2
为
s t rj
k1
依据动量矩定理，有
图 17-4
J0j k st rj r G1r G2r
系统对点O的转动惯量
J0

1 2

G g
弹性力相等，即 G mg kst
k
弹簧的静变形为
l0
δs t
st

mg k
（17-1）
F
取物块的静平衡位置为坐标原点，x轴铅垂向
x
下，当物块在任意位置x处时，弹簧对物块的 G
作用力大小为
F k st x
x 图 17-1
根据牛顿第二定律，物块的运动微分方程为
d2x
m d
t2

mg k
st
x
C dx dt
ok x
C F FR
m
x （a）
G （b）
图 17-8
d2x dt 2

C m
dx dt

k m
x

0
n2

k m
n C 2m
d2x dt 2

2n
dx dt

n2
x

0
（17-16）
有阻尼自由振动微分方程的标准形式。
17.3.2 微分方程的通解：
分三种情况讨论：
keq k1 k2 （17-11）
k1
k2
m
k1 m
k2
（a）
（b）
图 17-5
并联弹簧系统的等效刚度系数等于各弹簧刚度系数之 和。
这一结果说明弹簧并联后总的刚度系数增大了。 该系统的固有圆频率为
n
keq m
k1 k2 m
（2）弹簧串联。 图17-6表示两个弹簧串联，两
个弹簧的刚度系数分别为k1，k2。在物块重力作用下 每个弹簧所受的拉力相同，因此每个弹簧的静变形为
FR Cv
（17-14）
其中比例常数 C 称为阻尼系数（Coefficient of damping），负号表示阻力与速度的方向相反。
17.3.1 振动微分方程
质量—弹簧系统存在黏性阻
尼。取静平衡位置为原点，坐标轴
x 向下为正（见图17-8）。物块的
运动微分方程为
m d2 x dt 2
17 振动基本理论
振动（Vibration ）:系统在平衡位置附近作往复 运动。
振动是日常生活和工程实际中常见的现象。
例如：钟摆的往复摆动，汽车行驶时的颠簸，电 动机、机床等工作时的振动，以及地震时引起的建筑 物的振动等。
振动的利弊：
利：振动给料机；
弊：磨损，减少寿命，影响强度
振动筛；
引起噪声，影响劳动条件
r2

G1 g
r2

G2 g
r2


G 2

G1

G2

r2 g
系统在平衡位置时弹性力对点O之矩与重物重力对
点O之矩相互抵消，即
kstr G1r G2r 0

G 2

G1

G2

r2 j kr2j
g
j 2gk j 0
G 2G1 2G2
s t
rj
2


2 st


G1rj

G2rj

k 2
r 2j 2

k 2
r
j2 2 m
sin 2
nt


最大势能：
Vmax

k 2
r
2j
2 m
Tmax Vmax
1 4g
G

2G1

2G2
n2

k 2
n
2gk G 2G1 2G2
T 2 2 G 2G1 2G2
自激振动
17.1 单自由度系统的自由振动 实际中的振动往往很复杂，为了便于研究，需
简化为力学模型。
振 体
质量—弹 簧系统
17.1.1 自由振动微分方程
如图17-1所示振动系统，设物块的质量为m，弹簧
原长为 l0，刚度系数为 k。物块在平衡位置时，弹簧的
变形为 st ，称为静变形。平衡时，重力G与
s t1

mg k1
s t2

mg k2
弹簧总的静变形为
st
s t1
s t2

mg

1 k1

1 k2

k1
k2 m 图 17-6
将则串有联弹簧看成为一个s t 弹 k簧megq，其等效刚度系数为keq，
1 11
keq k1 k2
（17-12）
表明串联弹簧系统的等效刚度系数的倒数等于各弹
n
2gk
17.3 单自由度系统有阻尼自由振动 自由振动是简谐运动，振幅不随时间而变。但实
际中振动的振幅几乎都是随时间逐渐减小的，这是由 于阻尼（Damping）的存在。
阻尼：振动过程中，系统所受的阻力。 阻尼有多种形式：如黏性阻尼、干摩擦阻尼、结 构变形产生的内阻尼等。这里只讨论黏性阻尼。
当振动速度不大时，阻力近似地与速度成正比， 方向与速度相反。这样的阻尼称为黏性阻尼（Viscous damping）。设振动质点的速度为 v ，黏性阻尼的阻 尼力可表示为
x st
2


2 st
mgx
k st mg
V

1 2
kx2

1 2
k A2
sin2 nt


物块处于静平衡位置时，势能为零，动能最大，即
Tmax

1 2
mn2
A2
物块距振动中心最远时，动能为零，势能最大，即
Vmax

1 2
k
A2
无阻尼自由振动系统是保守系统，机械能守恒
Tmax Vmax