第四章量纲分析和相似理论

pl 2
l2u2
p
u2
Eu
Eu称为欧拉准数。它体现了流体在运动过程中压力与惯性力
之间的比值关系。
当流体在流动过程中，重力起主导作用时，如液体在明渠
内的流动，将流体的惯性力与重力相比，得
惯性力 重力
l 2u2 gl3
u2 gl
Fr
第一节 有因次量和无因次量
Fr称为付鲁德准数。它体现了运动流体的惯性力与重力之间 的比值关系。
导出量纲是指由基本量纲组合来表示的量纲。 除长度、时间、质量和温度，其它物理量的量纲均为 导出量纲。
任意一个物理量x的量纲都可以用L、T、M这三 个基本量纲的指数乘积来表示，即
x LαTβMγ
（3）无量纲量 各量纲的指数为零，即α=β=γ=0时，物理
量 x L0T0M0 1，则称x为无量纲量。
p
g
f1
Re， d
l d
v2 2g
令
f1
Re，，则
d
hf
p
g
l
d
v2 2g
上式即为有压管流压强损失的计算公式，又称达西公式。
§4.2 相似理论
4.2.1 流动相似 为了保证模型流动（用下标m表示）与原型流动
（用下标p表示）具有相同的流动规律，并能通过模 型实验结果预测原型流动情况，模型与原型必须满足 流动相似，即两个流动在对应时刻对应点上同名物理 量具有各自的比例关系，具体地说，流动相似就是要 求模型与原型之间满足几何相似、运动相似和动力相 似。
x x x x a n-3 bn-3 cn-3
n-3
1
2
3
n
（4）根据量纲和谐原理，确定各π项基本量的指数ai、 bi、ci，求出π1、π2、…πn－3。
（5）整理方程式 F1，2， ，n-3 0 。
例4-1 不可压缩粘性流体在水平圆管内流动，试用π定理导 出其压强损失Δp的表达式。 （1）确定有关物理量。根据实验可知，压强损失Δp与管径d， 管长l，管壁粗糙度Δ，断面平均流速v，流体的动力粘度µ和 管内流体密度ρ有关，即
x1 Lα1 Tβ1 Mγ1 x2 Lα2 Tβ2 Mγ2 x3 Lα3 Tβ3 Mγ3
满足x1、x2、x3量纲独立的条件是量纲式中的指数行
列式不等于零 。
（3）基本量依次与其余物理量组成（n－m）个无量
纲π项
1
x x x x a1 b1 c1 12 34
2
x x x x a 2 b2 c2 12 35
当流体在流动过程中，粘性力起主导作用时，将惯性力与
粘性力相比，得
惯性力 l 2u2 ul 粘性力 lu Re
Re称为雷诺准数。它体现了流体运动过程中惯性力与粘性力 之间的比值关系。
第一节 有因次量和无因次量
当流体在流动过程中，压力起主导作用时，如管内有压流 动，将压力与惯性力相比，得
压力 惯性力
第四章 相似理论与量纲分析
流体力学的研究方法主要有三种： 理论分析、实验研究、数值模拟
其中，流体力学实验是发展流体力学理论，验证 流体力学假说，理解流体力学现象，解决流体力学 工程问题的一个重要手段。
本章将探讨流体力学实验的基础理论： 相似理论 量纲分析
第一节 有因次量和无因次量
一、因次的概念
因次又称量纲，它指的是物理量的物理属性，或者说是指 具有相同物理意义的物理量的类别。
第一节 有因次量和无因次量
这七个基本量的因次相应地用［Ｌ］、［Ｍ］、［Ｔ］、 ［Ｅ］、［Θ］、［Ｎ］、［Ｃ］来表示，称为基本因次。其 它一些物理量的因次是用上述基本因次根据一定的物理方程 推导出来的，称为“导来因次”。如速度的因次［LT－1］是 根据运动方程u=dl/dτ用长度的因次［Ｌ］和时间的因次［Ｔ］ 推导而来的，是导来因次。
一、几何相似 几何相似：指模型和原型流动流场的几何形状相似， 即模型和原型对应边长成同一比例、对应角相等。
lm2 lp2
θm3
θm2 θm1
lm3
பைடு நூலகம்
lm1
θp3
θp2
lp3
θp1
lp1
l m1 l p1
lm2 lp2
lm3 lp3
lm lp
kl
m1 p1，m2 p2，m3 p3
式中kl称为长度比尺，则
阐述无量纲量的特点 2. 量纲和谐原理
量纲和谐原理：凡正确反映客观规律的物理方 程，其各项的量纲都必须是一致的。 4.1.2 量纲分析法
在量纲和谐原理基础上发展起来的量纲分析法 有两种：一种为瑞利法；一种为π定理。
1. 瑞利法
若某一物理过程与n个物理量有关，即
f x1，x2， ，xi-1，xi，xi1， xn 0
up2
由于各对应点速度成同一比例，相应断面的平均速度
必然有同样的比尺
kv
ku
vm vp
lm lp
tm lmtp tp lptm
kl kt
式中
kt
称tm为时间比尺。
tp
同理，其它运动学物理量的比尺
ka
am ap
vm vp
tm tp
vm tm
vp tp
kv kt
klkt2
v的单位是m/s a的单位是m/s2
鲁德准数(Fr)的函数关系，它是一个准数方程。
第一节 有因次量和无因次量
再如对流传热过程中，奴谢尔特准数(Nu)依变于雷诺数 (Re)、普朗特准数(Pr)和格拉晓夫准数(Gr)的函数关系式
Nu=f(Re，Pr，Gr)
它也是一个准数方程。 准数方程比一般的有因次方程更能体现同类现象变化的一
般规律。在科学实验中，把得到的某些有因次量之间的依变 关系转换为准数方程，可以把由个别现象得来的规律共性化， 一般化，有利于把研究结果推广到相似的同类现象中去。
用加(＋)、减(－)、等号(＝)等运算符号把描述现象的各有 因次参量联系在一起组成的方程，称为有因次方程。
对有因次方程而言，各项的因次必须是相同的，否则将不 能保持因次的和谐性。
如水静力学基本方程
p p0 h
各项的因次都必须是［ML－1T－2］。
第一节 有因次量和无因次量
再如伯努利方程
p1
z1
以小时、分、秒为例，它们是测量时间的不同单位，但这 些单位都是用来测量时间的，都属于时间的类别。
因次的符号一般用方括号内英文字母等来表示，如质量的 因次［Ｍ］、长度的因次［Ｌ］、时间的因次［Ｔ］、压力的 因次［ML－1T－2］和温度的因次［Θ］等等。
在国际单位制中，取长度、质量、时间、电流、热力学温 度、物质的量和发光强度这七个物理量作为“基本量”。
在流体力学中，常用的基本因次为：长度［Ｌ］、质量 ［Ｍ］、时间［Ｔ］、温度［Θ］等；常用的导来因次列于表 4-1中。在因次运算过程中，在不致于引起混淆的情况下可将 因次外的方括号省略，否则必须加上方括号。
第一节 有因次量和无因次量
二、有因次量和有因次方程
具有因次的物理量称为有因次量。如速度u、压力p和密度 ρ等物理量都是有因次量。
面积比尺
kA
Am Ap
lm2 lp2
k
2 l
体积比尺
kV
Vm Vp
lm3 lp3
k
3 l
二、运动相似 运动相似：指模型和原型流动的速度场相似，即两 个流动在对应时刻对应点上的速度方向相同，大 小成同一比例。
u m1 u p1
um2 u p2
ku
式中ku称为速度比尺。
um1
up1
Dm Dp
um2
以某一有因次量作为参考尺度，其它具有相同因次的量都 用该尺度所度量，得出的失去了因次的量称为无因次量。
如管道的无因次长度l/d；无因次坐标r/R ；管内流动的无 因次速度u/umax等。
参考尺度可选取固定量，也可选取有规律的变量。如马赫 数M=u/a，其中a kRT 为当地音速，它是个有规律的变量。
（4）确定各π项基本量的指数，求π1、π2、π3、π4。
1
l d
，
2
vd
1 Re
，
3
d
，
4
p
v2
（5）整理方程式。
F
l d
，1 Re
，，p d v2
0
p
v2
f l ，Re，
d
d
hf
p
g
2f l ，Re， v2
d
d 2g
实验证明，沿程水头损失hf与管长l成正比，与管径d成反比，
故
hf
u12 2g
p2
z2
u
2 2
2g
各项的因次都必须是［Ｌ］。
由此可给出因次分析的一个重要原理，即
因次和谐原理：“凡正确的物理方程，其中各项的因次都
必须相同，这是完整物理方程所必然具有的特征”。
有因次方程体现了参与过程的各物理参量之间的具体的依
变关系，给人以直观感。
第一节 有因次量和无因次量
三、无因次量和无因次方程
第一节 有因次量和无因次量
惯性力 弹性力
l 2u2 a2l 2
u2 a2
M2
或
Mu a
M称为马赫准数。它体现了可压缩流体在运动过程中惯性力与
弹性力之间的比值关系。
以后将证明，准数相等是两现象相似的必要条件。
由准数所组成的方程式称为准数方程。如
Eu=f(Re，Fr)
上式体现了运动流体的欧拉准数(Eu)依变于雷诺准数(Re)和付
a i-1
a i1
an
i
12
i-1 i1
n
根据量纲和谐原理，确定待定指数a1、a2……，即可 求得该物理过程的方程式。 2. π定理 π定理的基本内容：若某一物理过程包含有n个物理 量，存在函数关系
f x1，x2， ，xn 0
其中有m个基本量（量纲独立，不能相互导出的物 理量），则该物理过程可由（n－m）个无量纲项所 表达的关系式来描述。即
§4.1 量纲分析
4.1.1 量纲和谐原理 1. 量纲分析的基本概念 （1）量纲 流体力学中涉及到许多物理量都由两个因素构成： 一是自身的物理属性，二是量度单位。我们把物理 量的属性称为量纲或因次，通常用[x]表示物理量x 的量纲。 （2）基本量纲和导出量纲
基本量纲是指具有独立性的，不能由其它基本量 纲的组合来表示的量纲。对不可压缩流体，基本量纲 共有三个：长度量纲L、时间量纲T和质量量纲M。
再如，当研究液体薄膜或液体薄膜的破碎问题时，表面张 力起主导作用。将液体的惯性力与表面张力相比，得
惯性力 表面张力
l 2u2 l
u2l
We
We称为伟伯准数。它体现了液体的惯性力与表面张力之间的
比值关系。
又如，可压缩流体在运动过程中，弹性力起主导作用，可
将惯性力与弹性力相比，(弹性力 N E A a2l 2 )得
f p，d，l，，v，， 0
（2）选取基本量。在有关物理量中选取d、v、ρ为基本量， 它们的指数行列式不等于零，符合基本量条件。
（3）组成π项，应有n－m = 7－3 = 4个π项。即
1 da1 vb1 c1l， 2 da2 vb2 c2 3 da3 vb3 c3 ， 4 da4 vb4 c4 p
由于所有物理量的量纲均可表示为基本量纲的指数
乘积形式，因此上式中任一物理量xi可以表示为其 它物理量的指数乘积形式，即
x kx x x x x a1 a2
a i-1
a i1
an
i
12
i-1 i1
n
式中k为常数，a1、a2……为待定指数。上式的量纲
式为
x x x x x x a1 a2
用加(＋)、减(－)、等号(＝)等运算符号将描述现象的无因 次量联系起来组成的方程,称为无因次方程。一般地，无因次 方程比有因次方程更能体现同类现象或物理过程的一般规律。
第一节 有因次量和无因次量
如管内层流的无因次速度(u/umax)与无因次坐标(r/R)之间的 函数关系式为
u 1 ( r )2
umax
R
可压缩流体按等熵过程膨胀加速时,无因次速度(u/umax)与
无因次压力(p/p0)之间的函数关系式为
u
[1 (
p
k 1 1
) k ]2
umax
p0
式中umax为可压缩流体的极限速度，p0为可压缩流体的滞止压
力。
第一节 有因次量和无因次量
四、准数和准数方程
无因次量可以是两个简单的同类量之间的比值关系，也可 以把一些具有一定物理含义和相同因次的复合数群相比，得 出新的无因次值，这个无因次值就称为准数或称准则数，也 有人称作特征数。简单地说，准数就是“由某些有关的物理量 所组成的无因次复合数群”。即它是一个复杂的无因次量。
F1，2， ，n-m 0
式中 1，2， ，n-m为（n－m）个无量纲数，因为 这些无量纲数是用π来表示的，所以称此定理为π定 理。 π定理的应用步骤 （1）确定物理过程的有关物理量
f x1，x2， ，xn 0
（2）从n个物理量中选取m个基本量。对于不可压 缩流体运动，一般取m = 3。设x1、x2、x3为所选的 基本量，由量纲公式，可得
例如，与流体质点运动相关的有四种力：惯性力、粘性力、 重力和压力。研究流体流动时，常常将它们进行无因次化(准 数化)，推导过程如下：
第一节 有因次量和无因次量
惯性力
F ma l3 u l3 u l2u2
lu
粘性力
T A du l2 u lu
dl
l
重力
G V gl3
压力
P p A pl2