金属学基础--晶向指数和晶面指数

Total: 4×3！=24
16
立方晶系常见的晶面为
{100} : (100)、 )、 ) (010 (001 {110} : (110)、 )、 )、 10)、 01)、 1 1) (101 (011 (1 (1 (0 {111} : (111)、 11)、 1 1)、 1) (1 (1 (11
a
linear density
1 2 21 a a
1 2 2 0.7 a 2a 1 2 1 1.16 2 a 3a
linear density
2 1 21 a a
<100>
<110>
2a
2a
1 2 1 1.4 2 a 2a 1 2 2 0.58 a 3a
<111>
h1
k1 k2
u h 1 h2
v k1 k2
u=k1l2-k2l1; v=l1h2-l2h1; w=h1k2-h2k1
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晶带定律的应用 （2）若已知两个晶向[u1v1w1]和[u2v2w2]，则由此二 晶向所决定的晶面指数（hkl) 可以从下式求得
h:k :l
u h 1 h2

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{110}
Z （110） （011） （011） （101）
（101） Y （110）
X
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说明：
① 在立方晶系中，指数 相同的晶面与晶向相互 垂直。 ② 遇到负指数，“-”号 放在该指数的上方。 ③ 晶向具有方向性，
(221) [110] [221] [110]
Z
Y X

U 2u v
V 2v u
W w
25

或
U 2u v
V 2v u
W w
u 1 3 (2U V ) v 1 3 (2V U ) w W t (u v)
26
例如
2 u 3
[100] :
1 v 3 1 t 3

[2 1 1 0]

8
<111>
[111] [111] Z [111] [111]
Y X
9
晶面指数（Indices of Crystallographic Plane）
求法： 1） 在所求晶面外取晶胞的某一顶点为原点o，三棱 边为三坐标轴x，y，z 2） 以棱边长a为单位，量出待定晶面在三个坐标轴 上的截距； 3） 取截距之倒数，并化为最小整数h，k，l并加以 圆括号（h k l）即是。
（6） 在立方晶系中 [h k l] ⊥(h k l)
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晶面间距（Interplanar crystal spacing）
两相邻近平行晶面间的垂直距离—晶面间距，用dhkl表示。
从原点作（h k l）晶面的法线，则法线被最近的（h k l） 面所交截的距离即为晶面间距
a b c d hkl cos cos cos h k l h 2 k 2 l 2 2 d hkl a b c 2 2 2 cos cos cos
晶向：连接晶体中任意原子列的直线。
晶面：穿过晶体的原子面（平面）。
国际上通用米勒指数标定晶向和晶面。
3
阵点A坐标
ruvw OA ua1 va2 wa3
晶向指数（Orientation index） 求法： 1） 确定坐标系 2） 过坐标原点，作直线与待 求晶向平行； 3） 在该直线上任取一点，并 确定该点的坐标x，y，z） 4） 将此值化成最小整数u，v， w并加以方括号[u v w]即是。
[x2-x1,y2-y1,z2-z1]
*指数看特征，正负看走向 晶向族<u v w>：指数虽然不同，但原子排列完全 相同的晶向称作晶向族。
7
立方晶系常见的晶向
100 : [100 ]、 ]、 ]、 00 ]、 1 0]、 1] [010 [001 [1 [0 [00 110 : [110 ]、 ]、 ]、 10 ]、 01]、 11]、 [101 [011 [1 [1 [0 aaaaaa11 0]、 0 1]、 11]、 1 0]、 1]、 1] [ [1 [0 [1 [10 [01 111 : [111]、 11]、 11]、 1]、 [1 [1 [11 aaaaaa111]、 11]、 11]、 11] [ [1 [1 [1
a a
{110}
2a
a
1 4 1 1.4 4 2 a 2a 2
3 1 6 0.58 a2 3 2 a 2
a
2a 2a 2a
{111}
2a 2a
2a
2a
立方晶系中重要晶向的原子的排列及其线密度
linear indices
BCC
atomic arrangement
a
FCC
atomic arrangement
Total: 12
{123} (123) ( 1 23) (123) (12 3) (132) ( 1 32) (1 3 2) (132) (231) ( 231) (2 3 1) (23 1 ) (213) ( 213) (2 1 3) (21 3) (312) ( 3 12) (3 1 2) (312) (321) ( 3 21) (321) (32 1 )
14
{110} (110) ( 1 10) (101) (10 1 ) (011) (0 1 1)
Total: 6
{111} (111) ( 1 11) (1 1 1) (11 1 )
Total: 4
15
{112} (112) ( 1 12) (1 1 2) (112) (121) ( 1 21) (121) (12 1 ) (211) ( 211) (2 1 1) (21 1 )
( 010)
在简单立方晶系中，（020）晶面上没有原子。因 而，（020）晶面的面密度和填充系数都是0。
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晶带（Crystal zone） 所有相交于某一晶向直线或平行于此直线的晶面构 成一个 “晶带”（crystal zone）；此直线称为晶带轴 （crystal zone axis），所有的这些晶面都称为共带面。 晶带轴[u v w]与该晶带的 晶面（h k l）的关系 hu＋kv＋lw＝0
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正交晶系
d hkl
1 h k l a b c
2 2 2
立方晶系
d hkl
12
13
晶面族{hkl}：晶体内晶面间距和晶面上原子的分布 完全相同，只是空间位向不同的晶面。
晶面族{h k l}中的晶面数：
a）hkl三个数不等，且都≠0，则此晶面族中有24组,如{123}。
b）hkl有两个数字相等 且都≠0，则有12组，如{112}。 c) h k l三个数相等，则有4组，如{111}。 d）h k l 有一个为0，应除以2，则有12组， 如{110}。 有二个为0，应除以22，则有3组，如{100}。
10
11

练习1、求截距为、1、晶面的指数 截距值取倒数为0、1、0，加圆括弧得 （010） 练习2、求截距为2、3、 晶面的指数 取倒数为1/2、1/3 、 0, 化为最小整 数加圆括弧得（320）


练习3、画出（112）晶面
取三指数的倒数1、1、1/2, 即为X、Y、 Z三坐标轴上的截距
-如[110]与[110]方
向相反。
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六方晶系指数 （Indices of hexagonal crystal system orhexagonal indices） c
(1 1 0)
(100)
b a
[Байду номын сангаас00]
[110]
20
三坐标系 a1，a2，c
120°
四轴坐标系 a1，a2，a3，c
120° 120°
21
22
23
三指数系统
→
四指 数系统
three－index system four－index system
（h k l）
[u v w]
（h k i l） i＝（h＋k）
[u v t w] t=-(u+v)
当沿着平行于a1、a2、a3轴方向确定a1、a2、a3坐标 值时，必须使沿a3轴移动的距离等于沿a1、a2轴移动的 距离之和的负数。这种方法的优点是相同类型晶向的指
问题
空间点阵的阵点与晶体结构中的原子有什么不同？ 空间点阵与晶体结构的区别和联系是什么？ 分别说出七个晶系及其棱边长度及其夹角的关系。
1
思考
布拉维点阵中为什么没有底心四方和面心四方？
2
1.2 晶向指数和晶面指数
（Miller Indices of Crystallographic Direction and Planes）
—晶带定律
凡满足此关系的晶面都 属于以[u v w]为晶带轴的晶带。
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晶带定律的应用 （1）若已知两个不平行的晶面(h1k1l1)和（h2k2l2)， 则其晶带轴的晶向指数[uvw]可以从下式求得
u :v:w
或写作
k1 k2
w l1 l2
l1
l2 l2
:
l1
h1
h2 h2
:
数相同，但比较麻烦。
24
六方晶系中任一晶向可表示为
L ua1 va2 ta3 wc Ua1 Va2 Wc 已知 a3 (a1 a2 ) t (u v) ua1 va 2 (u v)(a1 a2 ) wc Ua1 Va2 Wc (2u v)a1 (u 2v)a 2 wc Ua1 Va2 Wc
1 4 1 2 4 2 a2 a
1 1 4 2 4 2 1.4 a2 2a 2
1 1 3 3 6 2 2.3 a2 3 2 a 2
31
atomic atomic planar density arrangement arrangement
a a
{100}
4
1 4 1 a2 a2
w1 w2 0 w3
则三个晶轴在同一个晶面上。
37
晶带定律的应用
（4）已知三个面(h1 k1 l1)、(h2 k2 l2)和(h3 k3 l3),若
h1 h2 h3
k1 k2 k3
l1 l2 0 l3
则三个晶面属于同一个晶带。
（5） 若hu＋kv＋lw＝0，则晶向[u v w] 在晶面 (h k l)上。
3a
3a
32
例：计算简单立方 (010)、 (020) 晶面的面密度, 假
设点阵常数为 0.334nm。 解：
面密度
( 010)
1 area of face 0.334 2
atom per face
8.96 1014 atoms/cm 2
填充系数 area of atoms per face area of face 1 (r 2 ) 0.79 2 ( 2r )
4
5

例1、已知某过原点晶向上一点的坐标为1、1.5、2，
求该直线的晶向指数。 将三坐标值化为最小整数加方括弧得[234]。 例2、已知晶向指数
[234]


为[110], 画出该晶
向。

找出1、1、0坐标点, 连接原点与该点的 直线即所求晶向。
[110]
6
晶向指数代表一组互相平行，方向一致的晶向。 （x1,y1,z1）,(x2,y2,z2)二点连线的晶向指数：
v1 v2
v k1
w1
w l1 l2
w2 w2
:
w1
u1
u2 u2
:
u1
v1 v2
或写作
k2
h=v1w1-v2w2; k=w1u2-w2u1; l=u1v2-u2v1
36
晶带定律的应用
（3）已知三个晶轴[u1v1w1]、[u2v2w2]和[u3v3w3]，若
u1 u2 u3
v1 v2 v3
w0
27
六方晶系常见的晶面
c
(10 1 2)
(0001)
a3 a2 a1
(1120)
(10 1 1)
(10 1 0)
28
六方晶系常见的晶向
[0001]
[ 1 011]
[01 1 0]
[2 1 1 0]
29
30
立方晶系中原子的排列及其面密度
plane indices
BCC
FCC
planar density