数学科普知识

数学的科普知识

一、高等数学与初等数学的区别？

从研究“常量”发展到研究“变量”

从研究“有限”发展到研究“无限” 对于以上两点，我们从下面这几个方面加以阐述。1．什么是悖论

悖论：从“正确”的前提出发，经过“正确”的逻辑推理，得出荒谬的结论。例如：“甲是乙”与“甲不是乙”这两个命题中总有一个是错的；但“本句话是七个字”与“本句话不是七个字”又均是对的，这就是悖论。再如：“万物皆数” 学说认为“任何数都可表为整数的比” ；但以1 为边的正方形的对角线之长却不能表为整数的比，这也是悖论。

2．芝诺悖论

芝诺（前490？—前430？）是（南意大利的）爱利亚学派创始人巴门尼德的学生。他企图证明该学派的学说：“多”和“变”是虚幻的，不可分的“一” 及“静止的存在”才是唯一真实的；运动只是假象。于是他设计了四个例证，人称“芝诺悖论”。这些悖论是从哲学角度提出的。我们从数学角度看其中的一个悖论。下面的是芝诺悖论之一：

阿基里斯追不上乌龟：乌龟先出发，比如乌龟走到10 米处，兔子开始出发追乌龟。当兔子追到10处的时候，乌龟已经在下一个点了；当兔子追到下一个点，乌龟已经在下下个点了，以此类推，兔子永远追不上乌龟。

问题的症结：无限段长度的和，可能是有限的；无限段时间的和，也可能是有限的。

3. 芝诺悖论的意义：

1）促进了严格、求证数学的发展

2）较早的“反证法”及“无限”的思想

3）尖锐地提出离散与连续的矛盾：空间和时间有没有最小的单位？

芝诺的前两个悖论是反对“空间和时间是连续的” ，后两个悖论则是反对“空间和时间是离散的”。在芝诺看来，这两种理论都有毛病；所以，“运动只是假象，不动不变才是真实” 。

芝诺的哲学观点虽然不对，但是，他如此尖锐地提出了空间和时间是连续还是离散的问题，引起人们长期的讨论，促进了认识的发展，不能不说是巨大的贡献。下面我来做下面的问题：

有一个旅店有无穷个房间，已经住满旅客。现在又来了一个旅客，能住下么？有一个旅店有无穷个房间，已经住满旅客。现在又来了n 个旅客，能住下么？有一个旅店有无穷个房间，已经住满旅客。又来了无穷个旅客，能住下么？有一个旅店有无穷个房间，已经住满旅客。现在又来了n 旅游团，每个团的旅客都是无穷个，能住下么？

有一个旅店有无穷个房间，已经住满旅客。现在又来了无穷个旅游团，每个团的旅客都是无穷个，能住下么？这些问题的答案都是：能住下。可能出乎你的意料。部分应当小于总体！部分怎么能等于总体呢？！让我们接着看。

4．无限与有限的区别和联系

区别

1）在无限集中，“部分可以等于全体”（这是无限的本质），而在有限的情况下，部分总是小于全体。

2.）“有限”时成立的许多命题，对“无限”不再成立。例如：实数加法的结合律在“有限”的情况下，加法结合律成立：

（a+b）+c = a+（b+c）但在“无限”的情况下，加法结

合律不再成立。如5．数学中的无限在生活中的反映

1）大烟囱是圆的：每一块砖都是直的（整体看又是圆的）

2）锉刀锉一个光滑零件：每一锉锉下去都是直的（许多刀合在一起的效果又是光滑的，可以挫成圆形的）

3）不规则图形的面积：正方形的面积，长方形的面积三角形的面积，多边形的面积，圆面积。

6．数学对“无限”的兴趣

数学严密地研究有限与无限的关系，大大提高了人类认识无限的能力。在有限环境中生存的有限的人类，获得把握无限的能力和技巧，那是人类的智慧；在获得这些成果过程中体现出来的奋斗与热情，那是人类的情感；对无限的认识成果，则是人类智慧与热情的共同结晶。一个人，若把自己的智慧与热情融入数学学习和数学研究之中，就会产生一种特别的感受。如果这样，数学的学习不仅不是难事，而且会充满乐趣。

二、黄金分割1．斐波那契数列黄金分割这与“斐波那契数列”有关。若一个数列，前两项等于1，而从第三项起，每一项是其前两项之和，则称该数列为斐波那契数列。即：

1 , 1 ,

2 ,

3 , 5 , 8 , 13 , ⋯⋯

这个数列来源于“兔子问题” ：假设一对初生兔子要一个月才到成熟期，而一对成熟兔子每月会生一对兔子，那么，由一对初生兔子开始，12 个月后会有多少对兔子呢？

由上图可见，兔子问题的答案即是“斐波那契数列” 。而这个数列的后一项与前一项的比就是黄金分割！

2．黄金分割

斐波那契数列是从兔子问题中抽象出来的，如果它在其它方面没有应用，它就不会有强大的生命力。发人深省的是，斐波那契数列确实在许多问题中出现。黄金分割之所以称为“黄金”分割，是比喻这一“分割”如黄金一样珍贵。黄金比，是工艺美术、建筑、摄影等许多艺术门类中审美的因素之一。认为它表现了恰到好处的“和谐”。下面举例说明：

1）人体各部分的比

肚脐：（头—脚）

印堂穴：（口—头顶）

肘关节：（肩—中指尖）

膝盖：（髋关节—足尖）

2）著名建筑物中各部分的比

如埃及的金字塔，高（137 米）与底边长（227 米）之比为0.629 古希腊的巴特农神殿，塔高与工作厅高之比为340∶553≈0.615；

3）美观矩形

如国旗和其它用到矩形的地方（建筑、家具），这个矩形的长宽比即是黄金分割；4）风景照片中，地平线位置的安排应当占整个照片的61.8%；

5）正五角星中的比，正五角星的线段比为黄金分割。

6）舞台报幕者的最佳站位：在整个舞台宽度的0.618 处站立，效果较美；

7）小说、戏剧的高潮出现在整个作品的0.618 处较好；7）华罗庚将黄金分割理论用于“优选法”中，为我国社会主义事业的建设作出了杰出的贡献。

三、“对称”的观点

平面图形的对称

问：正三角形与正方形谁“更”对称一些？

16

可以把“平面图形的对称”看成是以下三种运动——轴对称、n次中心对称、平移对称中用到的运动分为三类：反射，旋转，平移

这些运动都是变换；这些变换共同的特点是，都保持平面上任意两点间的距离不变。所以，把反射、旋转、平移，以及它们的相继实施，统称为“保距变换”。由这一观点自然的延伸,就可以想到描述平面图形对称性强弱的一种量化的方法.这就是把所有使某平面图形K 不变的“保距变换”放在一起,构成一个集合,记为S(K) 并称其为K 的对称集.

从“对称”的现象，到发现“变中有不变”的本质，再提出“保距变换”；把保持图形K 不变的“保距变换”放到一起，构成一个集合，称之为“K 的对称集”，用它来描述K 的对称性；最后，我们把其中元素的个数，作为衡量平面图形的对称性强弱的一个量化指标。然后，再对照例子，验证我们的理论。由对称这个现象，数学家抽象出了“群”的概念，并通过“群”对“数”重新分类，给出了数学上大量的重要定理。

在数学历史中，有一个重要的定理一直没有得以证明：“在复数域内，五次以上方程是否有求根公式” 。对于这个问题，年仅18 岁的法国数学家伽罗瓦，探寻了“方程可用根式解”的总思路：不再去寻找求根公式，而是从“根集的置换”的角度去考虑问题。伽罗瓦引入”群”、“域”，创立“伽罗瓦理论”，彻底证明了五次以上方程没有求根公式！

四、分形与混沌

1967年法国数学家Mandelbrot 在《科学》杂志上发表文章谈到：“英国的海岸线有多长？”。

这个问题看似极其简单，但Mandelbrot 发现：