2020-2021学年河北省保定市雄县四校联考九年级(上)期中数学试卷 (解析版)

2020-2021学年河北省保定市雄县四校联考九年级第一学期期中
数学试卷
一、选择题（共16小题）.
1．（3分）剪纸艺术是中华文化的瑰宝，下列剪纸图案中，既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是（）
A．B．
C．D．
2．（3分）抛物线y＝（x﹣2）2﹣1的顶点坐标是（）
A．（﹣2，1）B．（﹣2，﹣1）C．（﹣2，1）D．（2，﹣1）3．（3分）下列方程中，关于x的一元二次方程是（）
A．3（x+1）2＝2（x+1）B．
C．ax2+bx+c＝0D．x2+2x＝x2﹣1
4．（3分）下列说法正确的是（）
A．长度相等的两条弧是等弧
B．平分弦的直径垂直于弦
C．直径是同一个圆中最长的弦
D．过三点能确定一个圆
5．（3分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2ax+4＝0的一个根是2，则a的值为（）A．1B．﹣1C．2D．﹣2
6．（3分）已知点A与点B关于原点对称，若点A的坐标为（﹣2，3），则点B的坐标是（）
A．（﹣3，2）B．（﹣2，﹣3）C．（3，﹣2）D．（2，﹣3）7．（3分）方程（x+2）（x+4）＝x+2的解是（）
A．x＝﹣2B．x＝﹣4C．x＝﹣2或x＝﹣4D．x＝﹣2或x＝﹣3
8．（3分）如图，四边形ABCD为圆内接四边形∠A＝85°，∠B＝105°，则∠C的度数为（）
A．115°B．75°C．95°D．无法求
9．（3分）将抛物线y＝﹣（x+1）2+3向右平移2个单位再向上平移2个单位后得到的新抛物线的表达式为（）
A．y＝﹣（x+3）2+1B．y＝﹣（x﹣1）2+5
C．y＝﹣（x+1）2+5D．y＝﹣（x+3）2+5
10．（3分）如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连接AA′，若∠1＝25°，则∠BAA′的度数是（）
A．55°B．60°C．65°D．70°
11．（2分）如图，有一张矩形纸片，长10cm，宽6cm，在它的四角各剪去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32cm2，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形边长是xcm，根据题意可列方程为（）
A．10×6﹣4×6x＝32B．（10﹣2x）（6﹣2x）＝32
C．（10﹣x）（6﹣x）＝32D．10×6﹣4x2＝32
12．（2分）已知某二次函数，当x＞1时，y随x的增大而增大；当x＜1时，y随x的增大而减小，则该二次函数的解析式可以是（）
A．y＝2（x+1）2B．y＝﹣2（x+1）2C．y＝2（x﹣1）2D．y＝﹣2（x﹣1）2
13．（2分）如图，AB、AC是圆O的两条切线，切点为B、C．且∠BAC＝50°，D是优弧BDC上一动点（不与B、C重合），则∠BDC的度数为（）
A．130°B．65°C．50°或130°D．65°或115°14．（2分）已知点A（﹣3，y1），B（1，y2）在二次函数y＝﹣（x+2）2+m的图象上，则y1，y2的大小关系是（）
A．y1＜y2B．y1＞y2C．y1＝y2D．不能确定15．（2分）图中的五个半圆，邻近的两半圆相切，两只小虫同时出发，以相同的速度从A 点到B点，甲虫沿ADA1、A1EA2、A2FA3、A3GB路线爬行，乙虫沿ACB路线爬行，则下列结论正确的是（）
A．甲先到B点B．乙先到B点
C．甲、乙同时到B D．无法确定
16．（2分）如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2019次得到正方形OA2019B2019C2019，如果点A的坐标为（1，0），那么点B2019的坐标为（）
A．（1，1）B．C．D．（﹣1，1）
二、填空题（本共3个小题，共15分，17-18小题各3分；19小题有3个空，每空3分）
17．（3分）已知m为一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的一个根，则代数式2m2﹣6m+2016的值为．
18．（3分）设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣x2﹣2x+2上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为．
19．（9分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（﹣2，0），B的坐标为（2，0），等边三角形AOC经过平移或轴对称或旋转都可以得到△OBD．△AOC沿x轴向右平移得到△OBD，则平移的距离是个单位长度；△AOC与△BOD关于直线对称，则对称轴是；△AOC绕原点O顺时针旋转得到△DOB，则旋转角度可以是度．
三、解答题（共6个小题，共63分）
20．（10分）用适当方法解下列方程：
（1）5x2﹣18＝9x；
（2）4（x﹣3）2＝（x﹣3）．
21．（9分）如图，在⊙O中，半径OC⊥弦AB，垂足为点D，AB＝12，CD＝2．求⊙O半径的长．
22．（10分）如图，△ABC中，∠B＝15°，∠ACB＝25°，AB＝4cm，△ABC按逆时针方向旋转一定角度后与△ADE重合，且点C恰好成为AD的中点，
①指出旋转中心，并求出旋转的度数；
②求出∠BAE的度数和AE的长．
23．（10分）已知△ABC中，∠A＝60°，BC＝6．完成下面问题．
（1）用尺规作△ABC的外接圆⊙O；
（2）求∠BOC的度数．
24．（12分）某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．
（1）若设该种品牌玩具上涨x元（0＜x＜60）元，销售利润为w元，请求出w关于x 的函数关系式；
（2）若想获得最大利润，应将销售价格定为多少，并求出此时的最大利润．
25．（12分）如图，△ABC中，∠B＝∠C＝30°，点O是BC边上一点，以点O为圆心、OB为半径的圆经过点A，与BC交于点D．
（1）试说明AC与⊙O相切；
（2）若AC＝2，求图中阴影部分的面积．
参考答案
一、单选题（共16个小题，共42分，1-10小题各3分，11-16小题各2分）
1．（3分）剪纸艺术是中华文化的瑰宝，下列剪纸图案中，既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是（）
A．B．
C．D．
解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意，故此选项错误；
B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，符合题意，故此选项正确；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形，不合题意，故此选项错误；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意，故此选项错误．
故选：B．
2．（3分）抛物线y＝（x﹣2）2﹣1的顶点坐标是（）
A．（﹣2，1）B．（﹣2，﹣1）C．（﹣2，1）D．（2，﹣1）解：∵抛物线y＝a（x﹣h）2+k的顶点坐标是（h，k），
∴抛物线y＝（x﹣2）2﹣1的顶点坐标是（2，﹣1），
故选：D．
3．（3分）下列方程中，关于x的一元二次方程是（）
A．3（x+1）2＝2（x+1）B．
C．ax2+bx+c＝0D．x2+2x＝x2﹣1
解：
A、3（x+1）2＝2（x+1）化简得3x2+4x+1＝0，是一元二次方程，故正确；
B、方程不是整式方程，故错误；
C、若a＝0，则就不是一元二次方程，故错误；
D、是一元一次方程，故错误．
故选：A．
4．（3分）下列说法正确的是（）
A．长度相等的两条弧是等弧
B．平分弦的直径垂直于弦
C．直径是同一个圆中最长的弦
D．过三点能确定一个圆
解：A、长度相等的两条弧是等弧，错误．
B、平分弦的直径垂直于弦，此命题错误；
B、直径是同一个圆中最长的弦，命题正确；
C、过三点能确定一个圆，此命题错误；
故选：C．
5．（3分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2ax+4＝0的一个根是2，则a的值为（）A．1B．﹣1C．2D．﹣2
解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2ax+4＝0的一个根是2，
∴22﹣2a×2+4＝0，
即﹣4a＝﹣8
解得，a＝2．
故选：C．
6．（3分）已知点A与点B关于原点对称，若点A的坐标为（﹣2，3），则点B的坐标是（）
A．（﹣3，2）B．（﹣2，﹣3）C．（3，﹣2）D．（2，﹣3）解：∵点A与点B关于原点对称，点A的坐标为（﹣2，3），
∴点B的坐标是（2，﹣3）．
故选：D．
7．（3分）方程（x+2）（x+4）＝x+2的解是（）
A．x＝﹣2B．x＝﹣4C．x＝﹣2或x＝﹣4D．x＝﹣2或x＝﹣3解：∵（x+2）（x+4）＝x+2，
∴（x+2）（x+4）﹣（x+2）＝0，
则（x+2）（x+3）＝0，
∴x+2＝0或x+3＝0，
解得x＝﹣2或x＝﹣3．
故选：D．
8．（3分）如图，四边形ABCD为圆内接四边形∠A＝85°，∠B＝105°，则∠C的度数为（）
A．115°B．75°C．95°D．无法求
解：∵四边形ABCD为圆内接四边形∠A＝85°，
∴∠C＝180°﹣85°＝95°，
故选：C．
9．（3分）将抛物线y＝﹣（x+1）2+3向右平移2个单位再向上平移2个单位后得到的新抛物线的表达式为（）
A．y＝﹣（x+3）2+1B．y＝﹣（x﹣1）2+5
C．y＝﹣（x+1）2+5D．y＝﹣（x+3）2+5
解：抛物线y＝﹣（x+1）2+3的顶点坐标为（﹣1，3），把点（﹣1，3）向右平移2个单位，向上平移2个单位得到对应点的坐标为（1，5），所以平移后的抛物线解析式为y ＝﹣（x﹣1）2+5，
故选：B．
10．（3分）如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连接AA′，若∠1＝25°，则∠BAA′的度数是（）
A．55°B．60°C．65°D．70°
解：∵Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△A′B′C，
∴AC＝A′C，
∴△ACA′是等腰直角三角形，
∴∠CA′A＝45°，∠CA′B′＝20°＝∠BAC
∴∠BAA′＝180°﹣70°﹣45°＝65°，
故选：C．
11．（2分）如图，有一张矩形纸片，长10cm，宽6cm，在它的四角各剪去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32cm2，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形边长是xcm，根据题意可列方程为（）
A．10×6﹣4×6x＝32B．（10﹣2x）（6﹣2x）＝32
C．（10﹣x）（6﹣x）＝32D．10×6﹣4x2＝32
解：设剪去的小正方形边长是xcm，则纸盒底面的长为（10﹣2x）cm，宽为（6﹣2x）cm，根据题意得：（10﹣2x）（6﹣2x）＝32．
故选：B．
12．（2分）已知某二次函数，当x＞1时，y随x的增大而增大；当x＜1时，y随x的增大而减小，则该二次函数的解析式可以是（）
A．y＝2（x+1）2B．y＝﹣2（x+1）2C．y＝2（x﹣1）2D．y＝﹣2（x﹣1）2解：∵当x＜1时，y随x的增大而减小；当x＞1时，y随x的增大而增大，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，
∴抛物线y＝2（x﹣1）2满足条件．
故选：C．
13．（2分）如图，AB、AC是圆O的两条切线，切点为B、C．且∠BAC＝50°，D是优弧BDC上一动点（不与B、C重合），则∠BDC的度数为（）
A．130°B．65°C．50°或130°D．65°或115°解：连接BO，CO，
∵AB、AC是⊙O的两条切线，切点分别为B、C，
∴∠ABO＝∠ACO＝90°，
∵∠BAC＝50°，
∴∠BOC＝130°，
∴∠BDC＝65°．
故选：B．
14．（2分）已知点A（﹣3，y1），B（1，y2）在二次函数y＝﹣（x+2）2+m的图象上，则y1，y2的大小关系是（）
A．y1＜y2B．y1＞y2C．y1＝y2D．不能确定
解：二次函数y＝﹣（x+2）2+m图象的开口向下，对称轴为直线x＝﹣2，
而点A（﹣3，y1）到直线x＝﹣2的距离小，点B（1，y2）到直线x＝﹣2的距离大，所以y1＞y2．
故选：B．
15．（2分）图中的五个半圆，邻近的两半圆相切，两只小虫同时出发，以相同的速度从A 点到B点，甲虫沿ADA1、A1EA2、A2FA3、A3GB路线爬行，乙虫沿ACB路线爬行，则下列结论正确的是（）
A．甲先到B点B．乙先到B点
C．甲、乙同时到B D．无法确定
解：π（AA1+A1A2+A2A3+A3B）＝π×AB，因此甲虫走的四段半圆的弧长正好和乙虫走的大半圆的弧长相等，
因此两个同时到B点．
故选：C．
16．（2分）如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2019次得到正方形OA2019B2019C2019，如果点A的坐标为（1，0），那么点B2019的坐标为（）
A．（1，1）B．C．D．（﹣1，1）解：∵四边形OABC是正方形，且OA＝1，
∴B（1，1），
连接OB，
由勾股定理得：OB＝，
由旋转得：OB＝OB1＝OB2＝OB3＝…＝，
∵将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，
相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45°，依次得到∠AOB＝∠BOB1＝∠B1OB2＝…＝45°，
∴B1（0，），B2（﹣1，1），B3（﹣，0），…，
发现是8次一循环，所以2019÷8＝252 (3)
∴点B2019的坐标为（﹣，0）
故选：C．
二、填空题（本大题共3个小题，共15分，17-18小题各3分；19小题有3个空，每空3分，把答案写在题中横线上。

）
17．（3分）已知m为一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的一个根，则代数式2m2﹣6m+2016的值为2020．
解：∵m为一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的一个根．
∴m2﹣3m﹣2＝0，
即m2﹣3m＝2，
∴2m2﹣6m+2016＝2（m2﹣3m）+2016＝2×2+2016＝2020．
故答案为2020．
18．（3分）设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣x2﹣2x+2上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为y1＞y2＞y3．
解：∵抛物线y＝﹣x2﹣2x+2＝﹣（x+1）2+3，开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，
而C（2，y3）离直线x＝﹣1的距离最远，A（﹣2，y1）点离直线x＝﹣1最近，
∴y1＞y2＞y3．
故答案为y1＞y2＞y3．
19．（9分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（﹣2，0），B的坐标为（2，0），等边三角形AOC经过平移或轴对称或旋转都可以得到△OBD．△AOC沿x轴向右平移得到△OBD，则平移的距离是2个单位长度；△AOC与△BOD关于直线对称，则对称轴是y轴；△AOC绕原点O顺时针旋转得到△DOB，则旋转角度可以是120度．
解：∵点A的坐标为（﹣2，0），B的坐标为（2，0），
∴OA＝OB＝2，
∴△AOC，△BOD都是等边三角形且全等，
∴△AOC沿x轴向右平移得到△OBD，则平移的距离是2个单位长度；△AOC与△BOD 关于直线对称，则对称轴是y轴，△AOC绕原点O顺时针旋转得到△DOB，则旋转角度可以是120度．
故答案为：2，y轴，120．
三、解答题（本大题共6个小题，共63分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

）20．（10分）用适当方法解下列方程：
（1）5x2﹣18＝9x；
（2）4（x﹣3）2＝（x﹣3）．
解：（1）5x2﹣18＝9x，
移项得，5x2﹣9x﹣18＝0，
（5x+6）（x﹣3）＝0，
5x+6＝0，x﹣3＝0，
∴x1＝﹣，x2＝3；
（2）4（x﹣3）2＝（x﹣3）．
移项得，4（x﹣3）2﹣（x﹣3）＝0．
（x﹣3）（4x﹣13）＝0，
x﹣3＝0，4x﹣13＝0，
∴x1＝3，x2＝．
21．（9分）如图，在⊙O中，半径OC⊥弦AB，垂足为点D，AB＝12，CD＝2．求⊙O半径的长．
解：连接AO，
∵半径OC⊥弦AB，
∴AD＝BD，
∵AB＝12，
∴AD＝BD＝6，
设⊙O的半径为R，
∵CD＝2，
∴OD＝R﹣2，
在Rt△AOD中，OA2＝OD2+AD2，即：R2＝（R﹣2）2+62，
∴R＝10，
答：⊙O的半径长为10．
22．（10分）如图，△ABC中，∠B＝15°，∠ACB＝25°，AB＝4cm，△ABC按逆时针方向旋转一定角度后与△ADE重合，且点C恰好成为AD的中点，
①指出旋转中心，并求出旋转的度数；
②求出∠BAE的度数和AE的长．
【解答】①∵△ABC逆时针旋转一定角度后与△ADE重合，A为顶点，
∴旋转中心是点A，
根据旋转的性质可知：∠CAE＝∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝140°，
∴旋转角度是140°；
②由旋转可知：△ABC≌△ADE，
∴AB＝AD，AC＝AE，∠BAC＝∠EAD＝140°，
∴∠BAE＝360°﹣140°×2＝80°，
∵C为AD中点，
∴AC＝AE＝AB＝×4＝2cm．
23．（10分）已知△ABC中，∠A＝60°，BC＝6．完成下面问题．
（1）用尺规作△ABC的外接圆⊙O；
（2）求∠BOC的度数．
解：（1）如图，⊙O即为所求△ABC的外接圆；
（2）∵∠A＝60°，
∴∠BOC＝2∠A＝120°．
24．（12分）某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．
（1）若设该种品牌玩具上涨x元（0＜x＜60）元，销售利润为w元，请求出w关于x 的函数关系式；
（2）若想获得最大利润，应将销售价格定为多少，并求出此时的最大利润．
解：（1）根据题意得：w＝（600﹣10x）（10+x）＝﹣10x2+500x+6000；
（2）w＝（600﹣10x）（10+x）＝﹣10x2+500x+6000＝﹣10（x﹣25）2+12250，
∵a＝﹣10＜0，
∴对称轴为x＝25，
∴当销售价格定为40+25＝65时，W最大值＝12250（元）
答：商场销售该品牌玩具获得的最大利润是12250元，此时玩具的销售单价应定为65元．25．（12分）如图，△ABC中，∠B＝∠C＝30°，点O是BC边上一点，以点O为圆心、OB为半径的圆经过点A，与BC交于点D．
（1）试说明AC与⊙O相切；
（2）若AC＝2，求图中阴影部分的面积．
【解答】证明（1）如图：连接OA．
∵OA＝OB
∴∠OAB＝∠B
∵∠B＝30°
∴∠OAB＝30°
∵∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C，且∠B＝∠C＝30°，
∴∠BAC＝120°
∴∠OAC＝∠BAC﹣∠OAB＝120°﹣30°＝90°
∴OA⊥AC且点A是半径OA的外端
∴AC是⊙O的切线即AC与⊙O相切
（2）连接AD．
∵∠C＝30°，∠OAC＝90°
∴OC＝2OA
设OA的长度为x，则OC＝2x
在△OAC中，∠OAC＝90°，AC＝2
根据勾股定理可得：x2+（2）2＝（2x）2
解得：x1＝2，x2＝﹣2（不合题意，舍去）
∴S△OAC＝×＝2，S扇形OAD＝×π×22＝π∴S阴影＝2﹣π
答：图中阴影部分的面积为2﹣π．。