高中数学专题——概率统计专题

专题二概率统计专题

【命题趋向】概率与统计是高中数学的重要学习内容，它是一种处理或然问题的方法，在工农业生产和社会生活中有着广泛的应用，渗透到社会的方方面面，概率与统计的基础知识成为每个公民的必备常识．概率与统计的引入，拓广了应用问题取材的范围，概率的计算、离散型随机变量的分布列和数学期望的计算及应用都是考查应用意识的良好素材．在高考试卷中，概率与统计的内容每年都有所涉及，以解答题形式出现的试题常常设计成包含离散型随机变量的分布列与期望、统计图表的识别等知识为主的综合题，以考生比较熟悉的实际应用问题为载体，以排列组合和概率统计等基础知识为工具，考查对概率事件的识别及概率计算．解答概率统计试题时要注意分类与整合、化归与转化、或然与必然思想的运用．由于中学数学中所学习的概率与统计内容是最基础的，高考对这一部分内容的考查注重考查基础知识和基本方法．该部分在高考试卷中，一般是2—3个小题和一个解答题．

【考点透析】概率统计的考点主要有：概率与统计包括随机事件，等可能性事件的概率，互斥事件有一个发生的概率，古典概型，几何概型，条件概率，独立重复试验与二项分布，超几何分布，离散型随机变量的分布列，离散型随机变量的期望和方差，抽样方法，总体分布的估计，正态分布，线性回归等．【例题解析】

题型1 抽样方法

【例1】在1000个有机会中奖的号码（编号为000999

-）中，在公证部门监督下按照随机抽取的方法确定后两位数为的号码为中奖号码，该抽样运用的抽样方法是（）

A．简单随机抽样B．系统抽样C．分层抽样D．以上均不对

分析：实际“间隔距离相等”的抽取，属于系统抽样．

解析：题中运用了系统抽样的方法采确定中奖号码，中奖号码依次为：088，188，288，388，488，588，688，788，888，988．答案B．

点评：关于系统抽样要注意如下几个问题：（1）系统抽样是将总体分成均衡几个部分，然按照预先定出的规则从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本的一种抽样方法．（2）系统抽样的步骤：①将总体中的个体随机编号；②将编号分段；③在第一段中用简单随机抽样确定起始的个体编号；④按事先研究的规则抽取样本．（3）适用范围：个体数较多的总体．

例2（2008年高考广东卷理3）某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如表．已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19．现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为（）

A．24B．18C．16D．12

分析：根据给出的概率先求出x的值，这样就可以知道三年级的学生人数，问题就解决了．

解析：C 二年级女生占全校学生总数的19%，即20000.19380

x=⨯=，这样一年级和二年级学生的总数是3733773803701500

+++=，三年级学生

有500人，用分层抽样抽取的三年级学生应是

64

50016

2000

⨯=．答案C．

点评：本题考查概率统计最基础的知识，还涉及到一点分析问题的能力和运算能力，题目以抽样的等可能性为出发点考查随机抽样和分层抽样的知识．

例3．（2009江苏泰州期末第2题）一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，

要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在[)

2500,3500（元）月收入段应抽出人．

分析：实际上是每100人抽取一人，只要把区间内的人数找出来即可．

解析：根据图可以看出月收入在[)2500,3500的人数的频率是

()0.00050.00035000.4+⨯=，故月收入在[)2500,3500人数是100000.44000⨯=，

故抽取25人．

点评：本题把统计图表和抽样方法结合起来，主要目的是考查识图和计算能力．

题型2统计图表问题

例4（安徽省皖南八校2009届高三第二次联考理科数学第2题）从某校高三年级随机抽取一个班，对该班50名学生的高校招生体检表中视力情况进行统计，其结果的频率分布直方图如右图：若某高校A 专业对视力的要求在0.9以上，则该班学生中能报A 专业的人数为

A ．10

B ．20

C ．8

D ．16

分析：根据图找出视力在0.9以上的人数的频率即可．

解析：B ． 视力住0.9以上的频率为(10.75.025)0.20.4++⨯=，人数为0.45020⨯=．

点评：在解决频率分别直方图问题时容易出现的错误是认为直方图中小矩形的高就是各段的频率，实际上小矩形的高是频率除以组距．

例5 （2009年杭州市第一次高考科目教学质量检测理科第13题）某篮球运动员在一个赛季的40场比赛中的得分的茎叶图如图所示，则这组数据的中位数是 ；众数是 ．

分析：根据茎叶图和中位数、众数的概念解决．

解析：由于中位数是把样本数据按照由小到大的顺序排列起来，处在中间位置的一个（或是最中间两个数的平均数），故从茎叶图可以看出中位数是23；而众数是样本数据中出现次数最多的数，故众数也是23． 点评：一表（频率分布表）、三图（频率分布直方图、频率折线图、茎叶图）、三数（众数、中位数、众数）和标准差，是高考考查统计的一个主要考点．

例5（2008高考广东文11）为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量．产品数量的分组区间为[)45,55，[)[)[)55,65,65,75,75,85，

[)85,95由此得到频率分布直方图如图，则这20名工人中一天生产该产品数量在[)55,75 的人数是 ．

分析：找出频率即可．

解析： ()200.0400.00251013⨯+⨯=⎡⎤⎣⎦．

点评：本题考查频率分布直方图，解题的关键是明确这个直方图上的纵坐标是频率/组距，得出生产数量在[)55,75的人数的频率．

题型3 平均数、标准差（方差）的计算问题

例6 （2008高考山东文9）从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表，则这100 人成绩的标准差为（ ）

A 3

B 210

C ．3

D ．85

分析：根据标准差的计算公式直接计算即可．

解析： 平均数是

5204103302301103100

⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， 标准差是 ()()()()()222222053104330333023101310080103040821010055

s ⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+⨯-=+++===

答案B ．

点评：本题考查数据组的平均数和标准差的知识，考查数据处理能力和运算能力．解题的关键是正确理解统计表的意义，会用平均数和标准差的公式，只要考生对此认识清楚，解答并不困难．

例7．（中山市高三级2008—2009学年度第一学期期末统一考试理科第9题）若数据123,,,

,n x x x x 的平均数5x =，方差22σ=，则数据12331,31,31,,31n x x x x ++++的平均 数为 ，方差