新人教A版版高考数学一轮复习第十二章算法初步直接证明与间接证明教案理解析版

基础知识整合
１．直接证明
２．间接证明
（１）反证法的定义
假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明错误!假设错误，从而证明错误!原命题成立的证明方法．
（２）利用反证法证题的步骤
１假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；
２由假设出发进行正确的推理，直到推出矛盾为止；
３由矛盾断言假设不成立，从而肯定原命题的结论成立．简言之，否定→归谬→断言．
,分析法与综合法相辅相成，对较复杂的问题，常常先从结论进行分析，寻求结论与条件、基础知识之间的关系，找到解决问题的思路，再运用综合法证明，或者在证明时将两种方法交叉使用．
１．要证明错误!＋错误!<２错误!，可选择的方法有以下几种，其中最合理的是（）
Ａ．综合法Ｂ．分析法Ｃ．反证法Ｄ．归纳法
答案B
解析从要证明的结论——比较两个无理数的大小出发，证明此类问题通常转化为比较有理数的大小，这正是分析法的证明方法．故选Ｂ．
Ａ．假设a，b，c都是偶数
Ｂ．假设a，b，c都不是偶数
Ｃ．假设a，b，c中至多有一个偶数
Ｄ．假设a，b，c中至多有两个偶数
答案B
解析“a，b，c中至少有一个是偶数”的否定为“a，b，c都不是偶数”．故选Ｂ．
３．若a>b>0，且x＝a＋错误!，y＝b＋错误!，则（）
Ａ．x>y Ｂ．x<y Ｃ．x≥y Ｄ．x≤y
答案A
解析因为a＋错误!—错误!＝（a—b）错误!>0．所以a＋错误!>b＋错误!.故选Ａ．
４．若a，b，c为实数，且a<b<0，则下列命题正确的是（）
Ａ．ac２<bc２Ｂ．a２>ab>b２
Ｃ．错误!<错误!Ｄ．错误!>错误!
答案B
解析∵a２—ab＝a（a—b），a<b<0，∴a—b<0，
a２—ab>0，
∴a２>aＢ．１
又ab—b２＝b（a—b）>0，∴ab>b２，２
由１２得a２>ab>b２．
５．（２0１9·扬州调研）设a>b>0，m＝错误!—错误!，n＝错误!，则m，n的大小关系是________．答案m<n
解析解法一：（取特殊值法）取a＝２，b＝１，得m<n.
解法二：（分析法）错误!—错误!<错误!⇐错误!＋错误!>错误!⇐a<b＋２错误!·错误!＋a—b⇐２错误!·错误!>0，显然成立．
6．已知实数m，n满足mn>0，m＋n＝—１，则错误!＋错误!的最大值为________．
答案—４
解析∵mn>0，m＋n＝—１，∴m<0，n<0，
∴错误!＋错误!＝—（m＋n）错误!
＝—错误!≤—２—２错误!＝—４，
当且仅当m＝n＝—错误!时，错误!＋错误!取得最大值—４．
核心考向突破
考向一综合法证明
例１已知sinθ，sinx，cosθ成等差数列，sinθ，siny，cosθ成等比数列．证明：２cos２x＝cos２y.
证明∵sinθ与cosθ的等差中项是sinx，等比中项是siny，
∴sinθ＋cosθ＝２sinx，１
sinθcosθ＝sin２y, ２
１２—２×２，可得（sinθ＋cosθ）２—２sinθcosθ＝４sin２x—２sin２y，即４sin２x—２sin２y＝１．∴４×错误!—２×错误!＝１，
即２—２cos２x—（１—cos２y）＝１．
故证得２cos２x＝cos２y.
触类旁通
综合法证明的思路
（１）综合法是“由因导果”的证明方法，它是一种从已知到未知（从题设到结论）的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的正确判断（命题）出发，经过一系列中间推理，最后导出所要求证结论的真实性．
错误!
即时训练１．已知f（x）＝错误!，
证明：f（x）＋f（１—x）＝错误!.
证明∵f（x）＝错误!，
∴f（x）＋f（１—x）＝错误!＋错误!
＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!
＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!.
故f（x）＋f（１—x）＝错误!成立．
考向二分析法证明
例２已知：a>0，b>0，a＋b＝１．
求证：错误!＋错误!≤２．
证明要证错误!＋错误!≤２，
只需证a＋错误!＋b＋错误!＋２错误!≤４，
又a＋b＝１，故只需证错误!≤１，
只需证错误!错误!＝ab＋错误!（a＋b）＋错误!≤１，
只需证ab≤错误!.
因为a>0，b>0,１＝a＋b≥２错误!，所以ab≤错误!，
故原不等式成立错误!.
触类旁通
分析法证题的技巧
（１）逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件．正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键．
即时训练２．已知正数a，b，c满足a＋b＋c＝１．
求证：错误!＋错误!＋错误!≤错误!.
证明欲证错误!＋错误!＋错误!≤错误!，
则只需证（错误!＋错误!＋错误!）２≤３，
即证a＋b＋c＋２（错误!＋错误!＋错误!）≤３，
即证错误!＋错误!＋错误!≤１．
又错误!＋错误!＋错误!≤错误!＋错误!＋错误!＝１，当且仅当a＝b＝c＝错误!时取“＝”．
∴原不等式错误!＋错误!＋错误!≤错误!成立．
考向三反证法证明
角度错误!证明否定性命题
例３已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋Sn＝２．
（１）求数列{an}的通项公式；
（２）求证：数列{an}中不存在三项按原来顺序成等差数列．
解（１）当n＝１时，a１＋S１＝２a１＝２，则a１＝１．又an＋Sn＝２，所以an＋１＋Sn＋１＝２，两式相减得an＋１＝错误!an，
所以{an}是首项为１，公比为错误!的等比数列，所以an＝错误!.
（２）证明：假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为ap，aq，ar（p<q<r，且p，q，r∈N*），
则２·错误!＝错误!＋错误!，
所以２·２r—q＝２r—p＋１．（*）
又因为p<q<r，所以r—q，r—p∈N*.
所以（*）式左边是偶数，右边是奇数，等式不成立．
所以假设不成立，原命题得证．
角度错误!证明存在性问题
例４设x，y，z>0，a＝x＋错误!，b＝y＋错误!，c＝z＋错误!，求证：a，b，c三数至少有一个不小于２．
证明假设a，b，c都小于２，
则a＋b＋c<6．
而事实上a＋b＋c＝x＋错误!＋y＋错误!＋z＋错误!≥２＋２＋２＝6（当且仅当x＝y＝z＝１时取“＝”）
与a＋b＋c<6矛盾，
∴a，b，c中至少有一个不小于２．
角度错误!证明唯一性命题
例５已知四棱锥S—ABCD中，底面是边长为１的正方形，又SB＝SD＝错误!，SA＝１．
（１）求证：SA⊥平面ABCD；
（２）在棱SC上是否存在异于S，C的点F，使得BF∥平面SAD？若存在，确定F点的位置；若不存在，请说明理由．
解（１）证明：由已知得SA２＋AD２＝SD２，
∴SA⊥AＤ．同理SA⊥AＢ．
又AB∩AD＝A，∴SA⊥平面ABCＤ．
（２）假设在棱SC上存在异于S，C的点F，使得BF∥平面SAＤ．
∵BC∥AD，BC⊄平面SAＤ．
∴BC∥平面SAＤ．而BC∩BF＝B，
∴平面FBC∥平面SAＤ．这与平面SBC和平面SAD有公共点S矛盾，∴假设不成立．
故不存在这样的点F，使得BF∥平面SAＤ．
触类旁通
反证法的适用范围及证明的关键
（１）适用范围：当一个命题的结论是以“至多”“至少”“唯一”或以否定形式出现时，宜用反证法来证．
２关键：在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是与已知条件矛盾，与假设矛盾，与定义、公理、定理矛盾，与事实矛盾等，推导出的矛盾必须是明显的.
即时训练３．等差数列{an}的前n项和为Sn，a１＝１＋错误!，S３＝9＋３错误!.
（１）求数列{an}的通项an与前n项和Sn；
（２）设bn＝错误!（n∈N*），求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．
解（１）由已知得错误!
所以d＝２，故an＝２n—１＋错误!，Sn＝n（n＋错误!）．
（２）证明：由（１），得bn＝错误!＝n＋错误!.假设数列{bn}中存在三项bp，bq，br（p，q，r互不相等）成等比数列，
则b错误!＝bpbr，即（q＋错误!）２＝（p＋错误!）（r＋错误!），
所以（q２—pr）＋错误!（２q—p—r）＝0．
因为p，q，r∈N*，所以错误!
所以错误!２＝pr⇒（p—r）２＝0．
所以p＝r，这与p≠r矛盾，所以数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．
４．已知a，b，c∈（0,１），求证：（１—a）b，（１—b）c，（１—c）a不能同时大于错误!.
证明证法一：假设三式同时大于错误!，
即（１—a）b>错误!，（１—b）c>错误!，（１—c）a>错误!，
因为a，b，c∈（0,１），
所以三式同向相乘得（１—a）b（１—b）c（１—c）a>错误!.
又（１—a）a≤错误!２＝错误!，
同理（１—b）b≤错误!，（１—c）c≤错误!，
所以（１—a）a（１—b）b（１—c）c≤错误!，
这与假设矛盾，故原命题正确．
证法二：假设三式同时大于错误!，
因为0<a<１，所以１—a>0，
错误!≥错误!> 错误!＝错误!，
同错误!>错误!，错误!>错误!，
三式相加得错误!>错误!，这是矛盾的，故假设错误，
所以原命题正确．
５．已知函数f（x）＝ax＋错误!（a>１）．
（１）证明：函数f（x）在（—１，＋∞）上为增函数；（２）用反证法证明：方程f（x）＝0没有负数根．
证明（１）任取x１，x２∈（—１，＋∞），
不妨设x１<x２，则x２—x１>0．
∵a>１，∴ax２—x１>１且a x１>0，
∴a x２—a x１＝a x１（a x２—x１—１）>0．
又∵x１＋１>0，x２＋１>0，
∴错误!—错误!
＝错误!
＝错误!>0．
于是f（x２）—f（x１）＝a x２—a x１＋错误!—错误!>0，故函数f（x）在（—１，＋∞）上为增函数．
（２）假设存在x0<0（x0≠—１）满足f（x0）＝0，
则ax0＝—错误!.
∵a>１，∴0<a x0<１，
∴0<—错误!<１，即错误!<x0<２，与假设x0<0相矛盾，
故方程f（x）＝0没有负数根．。