2018高考数学专题复习 三角换元法

三角换元法

摘要：本文归纳总结了三角换元法的基本用法，以常见例题的形式讲述了三角换元法在解题过程中的具体应用。

大家知道，换元法的实质是通过换元将原来比较复杂的、非标准的形式转化为简单的、标准的形式，以利于揭示问题的本质、题目的分析和解决。三角换元法是众多换元法中的一种，它以三角函数为“元”，将代数问题转化为易于应用三角函数性质求解的问题，三角换元法在求解方程、不等式、解析几何和函数最值等方面都有着广泛的应用。一般情况下，在运用三角换元的题目中，往往在表达式的形式或字母的取值范围等方面明显反映出三角函数式的特征，这一点给三角换元法的应用提供了线索。具体表现在该方法对于含有被开方式为二次式的二次根式问题能起到除去二次根式的作用，因为二次根式c bx ax ++2总是可以转化为22t k -、t k +2或22k t -的形式，其中t 为变量，k 为非负常量。现对于此类问题归纳如下：

1．形如),(22x a x f y -=的形式，其中f 是x 和

22x a -的代数函数。令

)2

2

,0(,sin π

π

≤

≤-

>=t a t a x 此时，[]a a x ,-∈或令),0,0(,cos π≤≤>=t a t a x

同理[]a a x ,-∈，

2．形如),(22a x x f y +=的形式，其中f 是x 和22x a +的代数函数。令

),2

2

,0(,tan π

π

<

<-

>=t a t a x 此时，),(+∞-∞∈x 或令),0,0(cot π<<>=t a t a x

),(+∞-∞∈x 。

3．形如),(22a x x f y -=的形式，其中f 是x 和22a x -的代数函数。令

),2

3

,20,0(,sec πππ

<≤<≤>=t t a t a x 此时，),,[],(+∞⋃--∞∈a a x 或令t a x csc = ),2

0,02

,0(π

π

≤

<<≤-

>t t a 其中),[],(+∞⋃--∞∈a a x 。

注：上面替换中应注意，t 的范围应满足：

1°根式中变量的取值要求。 2°二次根式的化简唯一。

以上是常见的用法，其具体应用现分类介绍如下：

一、三角换元法在解方程及解不等式中的应用。

例1． 解方程：12

351

2=

-+

x x x 解：该方程的根必然为正（否则左负右正），所以设)2

0(,sec π

≤

≤=t t x ，则方程变为

12

35

tan sec sec =

+

t t t 变形整理得：05762sin 5762sin 12252

=--t t ∴ 25242sin =t 或49

242sin -=t ∵ 2

0π

<

≤t

∴ π<≤t 20

故 49242sin -

=t 应舍去，由25242sin =t 得25

7

2cos ±=t 当2572cos +=t 时，得54cos =t ，∴ 45

=x

当2572cos -=t 时，得53cos =t ，∴ 35

=x

故原方程的根为 45=x 或 3

5

=x

说明：此题关键是去掉根式，易联想到αα2

2

tan 1sec =-的形式，换元也就水到渠成了。

例2． 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+2

39

22y x y x 。

解：由题意知,0,0>>y x 则设,sin 3α=x 其中,2,0⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡∈πα那么αsin 3=y 此时 ααcos 3sin 3+=+y x )4

sin(23π

α+=

23= 即 1)4

sin(=+

π

α

∴4πα= 从而 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧==22

322

3y x

所以方程组的解为⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧==22322

3y x

说明：题目的实质是在圆上找一点，使其纵坐标之和为定值，注意到半径与定值的大小关系，设参数时角的范围可适当缩小。 例3． 实数y x ,满足1,1x y ≥≥，且

2222(log )(log )log ()log ()a a a a x y ax ay +=+

当1a >时，求log ()a xy 的取值范围。

解：此题直接求解较难，若令log ,log ,a a u x v y ==由1,1x y ≥≥可得0,0u v ≥≥，于是问题转化为：“已知0,0u v ≥≥，且2

2

(1)(1)4,u v -+-=求u v +的取值范围”，再做三角变换，令[]12cos ,12sin ,0,2u v θθθπ=+=+∈，

则 22cos 2sin u v θθ+=++

2)4

π

θ=++

由0,0u v ≥≥得1

1

cos ,sin 2

2

θθ≥-≥-

∴ 211

,6312412

ππππθθπ-≤≤≤+≤

∴当sin()14

π

θ+

=时，max ()2u v +=+

当sin()sin

4

12

π

π

θ+

=或11

sin

12

π时，min ()1u v +=

∴ 12u v +≤+≤+

故 log ()a xy 的取值范围是1⎡++⎣。

说明：本题条件较为复杂，解题方向不明确，所以通过有理代换，三角代换揭示了问题的几何意义。

二、三角换元法在证明中的应用

例4． 若*

2

2

2

,,,,3,,a b c R a b c n n N ∈+=≥∈则n n n

a b c +<。

证明：设

sin ,cos ,(0,)2

a b c c πααα==∈ ∵0sin 1,0cos 1αα<<<< ∴2

2

sin sin ,cos cos n

n

αααα<< ∴ sin cos n n n n n n

a b c c αα+=+ (cos sin )n

n

n

c αα=+