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第七章力法

？？？本章的问题：

A.什么是超静定结构？如何判断超静定结构的次数？

B.用力法解超静定结构的思路是什么？

C.什么是力法的基本体系、基本结构和基本未知量？

D.基本体系与原结构有何异同？

E.超静定结构的特点是什么？为什么超静定结构的内力状态与EI有

关？

F.如何建立力法典型方程？其物理意义是什么？其主系数、副系数？自

由项如何求解？

G.如何灵活运用图乘法来求解各系数？

H.如何化简力法方程的计算？

I.什么叫对称性结构？为什么利用对称性可以使计算得到简化？

J.试比较在荷载作用下用力法计算刚架、排架、桁架和组合结构的异同？

通过前六章的学习，已经掌握了如何从几何组成分析结构的几何性质，分清了静定结构和超静定结构。且利用平衡条件分析了静定结构受力，还掌握了静定结构位移计算的原理和方法。上述内容虽有其本身的工程意义，但更多的是为解决大量工程中的超静定结构计算奠定基础。

超静定结构从受力上看，需求反力或内力的未知量总数多于能建立的独立平衡方程数。因此仅仅利用平衡方程不能全部解决反力或内力的计算，必须建立补充方程。在材料力学推导应力公式时，已经介绍了综合“平

衡、变形和材料力学行为分析”解决超静定问题的一般方法。下面主要介绍以力和位移作为基本未知量解超静定结构的力法和位移法，同时还将介绍与求解相关的方法、技巧和超静定结构的特性。

§7-1 求解超静定结构的一般方法

静定结构是没有多余约束，因此仅利用平衡条件就可以求出全部反力

和内力。

超静定结构由于存在多余约束，待求未知量总数多于可建立的独立平衡方程数，

（a ） （b ） （c ） 因此仅满足平衡条件的解答如图7-1所示，可以有无穷多种（因为n 可取任意值）。

图7-1 超静定结构仅满足平衡条件的解答不唯一示意

从材料力学可知，截面应力有无限个，仅从它应该平衡外荷载来说是超静定的。为了解决应力计算，采取从实验观察入手，根据宏观现象作出关于变形的假设（例如平截面假设），在此基础上求得变形，然后利用应力应变关系得到应力变化规律，最终利用平衡条件导出应力计算公式。也即综合如下三方面：“变形分析──使变形协调；本构关系分析──使符合材料性能；平衡分析──使满足平衡要求”，就可以解决“超静定计算”问题。这一分析思路对变形体力学是普遍适用的，自然超静定结构的求解也必须遵循。

P1F P2F P1F P2F P1P2F Ry

nF Ry F Ry 21F F F P P -+l F a F i Ry Pi -⋅∑l

nF a F i Ry Pi -⋅∑Ry 21nF F F P P -+

仅用平衡条件，超静定问题解答不是唯一的。但是，同时满足变形协调、本构关系（也即应力应变关系）和平衡条件的解答只有一个，也即超静定计算的结果也是唯一的。

遵循“变形、本构、平衡”分析思想可有不同的出发点：

● 一种做法是：以力作为基本未知量，在自动满足平衡条件的基础上进

行分析，这时主要应解决变形协调问题，这种分析方法称为力法（force method ）。

● 另一种做法是：以位移作为基本未知量，在自动满足变形协调条件的

基础上来分析，当然这时主要需解决平衡问题，这种分析方法称为位移法（displacement method ）。

● 如果一个问题中既有力的未知量，也有位移的未知量，力的部分考虑

协调，位移的部分考虑平衡，这样的解决方案称为混合法（mixture method ）。

在本章中将主要介绍力法，下一章介绍位移法。

§7-2 力法

1、 力法思路

节力法的解题基本思想就是设法将未知的超静定问题转换成已知的静定问题来解决。这里核心是转换（transform ）。

为更容易理解，先用一具体例子来说明以力作基本未知量的“转换”思想。图7-2a 是一超静定刚架，从组成分析可知，它有两个多余约束。适当解除多余约束（例如解除B 点的支座）可使超静定结构变成静定结构，常数=EI 基本结构基本体系

P

F

这个静定结构以后称为基本结构（fundamental structure ），由于拆除约束的任意性，例如还可在AC 和CD 杆的任何位置加两个简单铰，解除限制截面相对转动的约束来得到，显然一个超静定结构的基本结构可有无限多种可能。但是，不同的基本结构的求解工作量会有所不同。

基本结构只做了几何上的转换，它当然和原结构是不同的。为了使转换在受力上也将是一样的，除在基本结构上应该作用原有荷载外，还必须将原有约束力的作用也考虑上。但是，现在这些约束力是未知的，它应该是优先求解的量，因此称为基本未知量（fundamental unknown variation ） 基本未知量即为超静定结构的多余约束的个数。受有外荷载和基本未知量的基本结构称为基本体系（fundamental system ）。

显然，基本体系在荷载和基本未知力共同作用下的位移，可以由叠加原理用静定结构的位移计算方法得到，当然这里基本未知力的大小X 1、X 2是（因为是广义未知力，因此Bx F 记作X 1，By F 记作X 2）待定的。图4-2b 、

c 、

d 绘出了单一因素作用下的变形情况和沿未知力方向的位移，因此由图示位移叠加可得

P 222212∆∆∆∆++= （a ）

式中11∆、21∆和X 1有关，是X 1引起的，12∆、22∆和X 2有关，是X 2引起的。对线弹性结构，其间关系是线性的，因此j ij ij X δ∆=，也即可由单位未知力

1j =X 引起的位移系数ij δ放大j X 倍来计算。显然，在不同未知力X 1、X 2下，位移1∆和2∆是不同的。这时和原超静定结构相比，虽然基本体系也是平衡

的，但支座B 处的位移在不同未知力X 1、X 2下可能和超静定结构不协调。

为了消除基本体系和原超静定结构的差别，必须令式（a ）位移和原结构协调。这样，有多少个未知力就可以建立多少个协调条件，也就能够求出这些未知力。因此，这些协调条件被称为力法方程（equation of force method ）。