3.1探索勾股定理(1)——测量和数格子法感知

P
C
A
Q
R B
如图，小方格的边长为1.
正方形P 正方形Q 正方形R 的面积 的面积 的面积
9
16
？
怎么求SR的大小？ 有几种方案？
P
Q CR
用“补”的方法
SR

49 4 ( 1 4 3) 2
25.
P
Q CR
用“割”的方法
SR
4

1 2

4

3

1
25.
探究勾股定理
第三章 勾股定理 1 探索勾股定理
1.经历探索勾股定理及验证勾股定理的过程，了解勾 股定理的探究方法及其内在联系. 2.掌握勾股定理，并能运用勾股定理解决一些实际问 题.
这是1955年希腊为纪念一个数学学派曾经发行的邮票.
如图，从电线杆离地面8m处向 地面拉一条钢索，若这条钢索在 地面的固定点距离电线杆底部 6m，那么需要多长的钢索？
（图中每个小方格代表1个单位面积）
SA+SB=SC
即：两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上
的正方形的面积.
【做一做】
C A
（1）观察图1、图2，并填
写下表：
B
C
图1
A
B
图2
A的面积
B的面积
C的面积
（单位面积） （单位面积） （单位面积）
图1
16
9
25
图2
4
9
13
（2）右图中正方形
A,B，C的面积之间
C
？
B
3 5
A
【解析】在Rt△ABC中，
BC2 52 32 16. 因为BC 0, 所以BC 4(km).
答：飞机飞过的距离是4 km.
3.求斜边长17 cm、一条直角边长15 cm的直角三角形
的面积. 【解析】设另一条直角边长是x cm.由勾股定理得: 152+ x2 =172，而x2=172-152=289–225=64， 所以 x=±8（负值舍去）， 所以另一直角边长为8 cm， 直角三角形的面积是: 1 8 15 60(cm2).
是不是所有的直角三角形都有这个性质呢？ 世界上许多数学家，先后用不同方法证明了这个 结论. 我国把它称为勾股定理.
【例题】如图,一根旗杆在离地面9 m处折断,旗杆 顶部落在离旗杆底部12 m处.旗杆原来有多高?
9m 12 m
【解析】设旗杆顶部到折断处的距离为x m，根据
勾股定理得
92 122 x2
【互动探究】本例(4)中得到的方程整理后是什么方程？怎样 求解？ 提示：整理后为一元一次方程.先化简整理为一元一次方程，然 后移项、合并同类项、化系数为1.
【跟踪训练】
1.如图，阴影部分是一个正方形，则此
正方形的面积为( )
(A)32
(B)64
(C)16
(D)128
【解析】选B.设正方形的边长为a，由勾股定理可得，
有什么关系？ SA+SB=SC 即：两条直角边上 的正方形面积之和 等于斜边上的正方 形的面积.
C A
B
C
A 图1
B
图2
勾股定理 如果直角三角形两直角边分别为a，b,斜边为c，那么
a2 b2 c2
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
a
c
b
勾
弦
股
中国古代把直角三角形中较短的
直角边wk.baidu.com做勾,较长的直角边叫做股，
（图中每个小方格代表1个单位面积）
C A
B
S正方形C
1 2
62

18
（单位面积）
把正方形C可以看成边 长为6的正方形面积的 一半
（图中每个小方格代表1个单位面积）
C A
（2）在图2中，正方形A， B，C中各含有多少个小方 格？它们的面积各是多少？
B
图1
C A
B
图2
（3）你能发现图1中三个 正方形A，B，C的面积之 间有什么关系吗？图2呢？
2
4.若一直角三角形两边长分别为12和5，则第三边长的平方
是( )
(A)169
(B)169或119
(C)13或15
(D)15
【解析】选B.①若第三边是直角边，则它的平方是122-
52=144-25=119；②若第三边是斜边，则它的平方是
122+52=144+25=169.故选B.
5.在△ABC中，∠C=90°，若BC∶AC=3∶4，AB=10，则该三角
【解题探究】 (1)因为图中没有高线AD，作出高线AD， 则得△ABD和△ACD是什么样的特殊三角形？ 它们的三边满足的关系式分别是什么？ 答：直_角__三__角__形_._在__R_t_△_A__B_D__和__R_t_△_A__C_D_中__，__关__系__式__为____ A_D__2_+_B_D__2_=_A__B_2_，__A_D__2+__C_D_.2=AC2 (2)已知AB，AC和BC，要根据勾股定理求AD，只需求出 线段B_D__或__C_D_的长.
形的面积为________.
【解析】设AC=4k，BC=3k，则(4k)2+(3k)2=102，
解得k=2，所以AC=8，BC=6，
所以三角形的面积为 1×6×8=24. 2
答案：24
拓展延伸 知识点1 运用勾股定理解决有关线段或面积的问题 【例1】如图所示，在△ABC中，AB=13，BC=14，AC=15，求BC 边上的高线AD的长.
（1）在图中，正方形A中含
C A
B
有 9 个小方格，即A的面积 是 9 个单位面积.
正方形B的面积是__9__ 个单位面积.
正方形C的面积是__1_8__
个单位面积.
（图中每个小方格代表1个单位面积）
C A
B
S正方形C 4 1 3 3 18 2 （单位面积）
把正方形C分割成若干 个直角边为整数的三角 形来求
a2=172-152=64，所以正方形的面积为64.
2.如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为 5和11，则b的面积为_______.
【解析】如图，因为∠ACB+∠ECD=90°， ∠DEC+∠ECD=90°， 所以∠ACB=∠DEC. 因为∠ABC=∠CDE，AC=CE， 所以△ABC≌△CDE， 所以BC=DE， 所以，根据勾股定理的几何意义，Sb=Sa+Sc， 所以Sb=Sa+Sc=5+11=16． 答案：16
所以c2=a2+b2(=a+_b_)_2_-_2_a_b___ =172-2×60=169,……………………………………5分 所以c=1_3__. …………………………………………7分 即该直角三角形的斜边长为_1_3_ cm. ………………8分
【规律总结】 勾股定理的变式应用
勾股定理是关于直角三角形三边关系的一个重要定理，其基 本形式是a2+b2=c2.因此在涉及直角三角形的边之间的和、差、 积时，考虑用变式来解决问题，往往快捷方便，能达到事半功 倍的效果.其中常用的两种变式为：
(3)因为AD是Rt△ABD和Rt△ACD的公共边，所以可以得 AD2=AB2-BD2，还可以得AACD22-=C_D_2_____，进而能得到怎样 的等式？ 答：AB__2-_B__D_2_=__A__C_2_-C__D. 2 (4)如果设BD=x，则CD1=4_-x____，可得方13程2-_x_2_=__1_5_2_-_(_1_4_-_x_)_2__， 解方程得_x_=_5_，再由勾股定理得AD=1_2__.
(1)(a+b)2-2ab=c2. (2)(a-b)2+2ab=c2.
通过本课时的学习，需要我们掌握： 勾股定理： 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即 a2+b2=c2(a,b和c分别表示直角三角形的两直角边和 斜边)
x=15, 15+9=24(m). 答：旗杆原来高24 m.
1.（义乌·中考）在直角三角形中，满足条件的三边
长可以是
．(写出一组即可)
【解析】答案不唯一，只要满足式子a2+b2=c2，且
是正整数即可.
答案：3，4，5（满足题意的均可）
2.飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男 孩头顶上方3 km处，过了20 s，飞机距离这个男孩 头顶5 km.这一过程中飞机飞过的距离是多少？
斜边叫做弦.
弦
据《周髀算经》记载，西周战国 4 股
5
∟
时期（约公元前1千多年）有个叫商高
勾
的人对周公说，把一根直尺折成直角，
3
两端连接得一个直角三角形，如果勾
是3，股是4，那么弦等于5.
人们还发现在，直角三角形中， 勾是6， 股是8， 弦一定是10； 62=36, 82=64, 102=100 62+82=102 勾是5， 股是12， 弦一定是13， 52=25, 122=144, 132=169 52+122=132 等.
知识点2 勾股定理的变式与应用 【例2】(8分)在Rt△ABC中，∠C=90°，两条直角边的和为 17 cm，面积为30 cm2，试求这个直角三角形的斜边长.
【规范解答】设直角△ABC的两条直角边长分别为a，b，斜边 为c， ……………………………………………1分
由题意可得_a_+_b_=17，_12_a_b__=30， ………………3分