初中数学中整体思想的应用及解题策略

初中数学中整体思想在代数中的应用

有一些数学问题，如果从局部入手，难以各个突破，但若能从宏观上进行整体分析，运用整体思想方法，则常常能出奇制胜，简捷解题。

整体思想，就是在研究和解决有关数学问题时，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征，从而对问题进行整体处理的解题方法．整体思想的主要表现形式有：整体代换、整体设元、整体变形、整体补形、整体配凑、整体构造等等．在初中数学中的数与式、方程与不等式、函数与图象、几何与图形等方面，整体思想都有很好的应用，因此，每年的中考中涌现了许多别具创意、独特新颖的涉及整体思想的问题，尤其在考查高层次思维能力和创新意识方面具有独特的作用．下面就初中数学中整体思想的应用及解题策略谈一些看法和体会．

一、 整体代换

整体代换是根据问题的条件和结论，选择一个或几个代数式，将它们看成一个整体，灵活地进行等量代换，从而达到减少计算量的目的。

例1：已知22007a d +=，22008b d +=，2

2009c d +=，且abc ＝24，求111a b c bc ca ab a b c

++---的值。 解析：由已知解出a 、b 、c 的值再代入求解，计算将很复杂，因此选择如下的整体代换：

由已知可得：1a b -=-，1b c -=-，2c a -=则 原式＝2221()a b c bc ac ab abc

++--= 2221[()()()]2a b b c c a abc =-+-+-11(114)488

=⨯++= 二、整体设元

整体设元是用新的参元去代替已知式或已知式中的某一部分，从而达到化繁为简、化难为易的目的。

例2：计算：1111111(1)()2320072342008

---⋅⋅⋅-+++⋅⋅⋅+ 1111111(1)()2320082342007

----⋅⋅⋅-+++⋅⋅⋅+ 解析：本题数据较多，直接计算显然无法进行，注意到题中出现的相同算式，因而考虑整体设元。设11112342007a +++⋅⋅⋅+=，则原式＝11(1)()(1)20082008

a a a a -+--- 221200820082008a a a a a a =+---++12008

= 三、整体变形

整体变形是将问题中某些局部运算作整体变形处理，使之呈现规律性结构形式，从而达到简化问题或减少运算量的目的。

例3：计算：200892008920089

99999919999⋅⋅⋅⨯⋅⋅⋅+⋅⋅⋅个个个

解析：观察式子特点，用凑整法可简化运算。

原式20089200892008920089

999(9991)99919999=⋅⋅⋅⨯⋅⋅⋅+-⋅⋅⋅+⋅⋅⋅个个个个

=

2008020089200800010001999个个个+⨯ 2008020081000(99991)=⋅⋅⋅⨯⋅⋅⋅+个个9

40160

1000=⋅⋅⋅个

四、整体补形

整体补形是补充完整，根据题设条件将原题中的图形补足为某种特殊的图形，沟通题设条件与特殊的图形之间的关系，从而突出问题本质，找到较简洁的解法或证法。

例4：如图，在四边形ABCD 中，2,1,AB CD ==60,90A B D ∠=︒∠=∠=︒，求四边形ABCD 的面积。

解析：这是一个不规则的四边形，欲求它的面积，可把它补成三角形或规则的四边形，所求图形的面积恰是两个图形面积的差。

延长AD BC 、相交于点E ，如图1

在Rt ABE ∆中，60,2A AB ∠=︒= tan 23BE AB A ∴== 在Rt CDE ∆中，1,18060CD ECD BCD =∠=︒-∠=︒

tan 1tan 603DE CD ECD ∴=∠=⨯︒=

1122

ABE CDE ABCD S S S AB BE CD DE ∆∆=-=-四边形

113322313222=⨯⨯-⨯⨯= 说明：本题还可以把原四边形补成一个矩形、直角梯形、等

边三角形或平行四边形，如图2—图5。

五、整体配凑

整体配凑是将问题中的条件和结论进行适当的配凑，使之结构形式特殊化、公式化，再利用相关性质进行求解，以达到解答问题的目的。

例5：若2312a b c ++=，且222a b c ab bc ca ++=++，则22

a b c ++=＿＿＿

解析：要求22a b c ++的值，需求a 、b 、c 的值，但已知等式只有两个，若按常规方法是无法解决的，注意到222a b c ab bc ca ++=++，可采取整体配凑的方法，借助于非负数的性质，找出a 、b 、c 之间的关系，再利用2312a b c ++=就可以求出a 、b 、c 的值。事实上，由222a b c ab bc ca ++=++，有2222222220a b c ab bc ca ++---=，即222()()()0a b b c c a -+-+-=，故a b c -=，将之代入2312a b c ++=有2a b c ===，故2210a b c ++=

六、整体构造

整体构造是把问题中某些代数式，赋予具体的几何意义，构造出几何图形，利用数形结合的思想来解答问题。

例6：已知012,x <<试求224(12)9x x ++-+的最小值。

解析：作出图6，赋予以上式子如下的几何意

义，224,(12)9AC x CE x =+=-+，所以求

224(12)9x x ++-+的最小值，即求CD CE +的

最小值，当,,D C E 三点共线时值最小，最小值为

2212(23)13DE =++=。

图6