函数单调性课件ppt

（1）如果函数 y =f(x)在区间I是单调增函数或单调减函数，那么 就说函数 y =f(x)在区间I上具有单调性。
在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。 （2）函数单调性是针对某个区间而言的，是一个局部性质;
判断1：函数 f (x)= x2 在 , 是单调增函数；
单调区间的书写：
函数在其定义域内某一点处的函数值 是确定的，讨论函数在某点处的单调 性无意义。若函数在区间端点处有定 义，则写成闭区间，当然写成开区间 也可以，若函数在区间端点处无定于， 则必须写成开区间。
例2.画出下列函数图像，并写出单调区间：
(2) y x2 2.
(, 0] y x2 +2的单调增区间是 _______;
1 ( x 0); x
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x 讨论1：根据函数单调性的定义，
能不能说y
1 (, 0) , (0, ) y 的单调减区间是 _____________ x
？
1 ( x 0)在定义域( , 0) (0, )上 x 是单调减函数?
k 2试讨论 f ( x) (k 0) 在 ,0和 0, 上的单调性？ x
1 2
x1 O x2 x 设函数y=f(x)的定义域为A,区间I A.
当x1<x2时，都有f(x1 ) < f(x2 )，
当x1<x2时，都有 f (x1 )
>
f(x 2 )，
那么就说在f(x)这个区间上是单调增 那么就说在f(x)这个区间上是单调 函数，I称为f(x)的单调 增 区间. 减函数，I称为f(x)的单调 减 区间. 单调区间
单调增区间 单调减区间
y ax2 bx c
a>0
b , 2a
b , 2a
b , 2a
a<0
b , 2a
返回
成果运用
若二次函数 f ( x) x2 ax 4在区间 ,1 上单调递 增，求a的取值范围。
2
1 例3.判断函数 y x 在定义域 x
0, 上的单调性.
并给出证明
主要步骤 1. 任取x1，x2∈D，且x1<x2； 2. 作差f(x1)－f(x2)；
3. 变形（通常是因式分解和配方）；
4. 定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）； 5. 下结论
证明：在区间
1, 上任取两个值 x1 , x2 且 x1 x2
增区间.
设函数y=f(x)的定义域为A,区间I A. 如果对于区间I上的任意 两个自变量的值x1,x2， 当x1<x2时，都有f(x1 ) < f(x2 )， f (x)的单调
类比单调增函数的研究方法定义单调减函数. y y
f(x2) f(x1) f(x1) f(x2)
x1 O x2 x 设函数y=f(x)的定义域为A,区间I A. 如果对于属于定义域A内某个区间I上 如果对于属于定义域A内某个区间I上 的任意两个自变量的值x1,x2， 的任意两个自变量的值x ,x ，
f ( x2 ) f ( x1 ) 且 x1 x 2 有 0 ，能断定 x2 x1
函数在区间上是增函数吗?
1 试用定义法证明函数 f ( x) 1 x 在区间 0, 上是单调增函数。
f ( x) 是定义在R上的单调函数，且 f ( x) 的图
象过点A（0，2）和B（3，0） （1）解方程 f ( x) f (1 x) （2）解不等式 f (2 x) f (1 x) （3）求适合 f ( x) 2或f ( x) 0 的 x 的 取值范围
f(2) f(1) O 1 2x
下表是函数 f ( x) x 中y随x的变化 情况
2
x
… -4 -3 -2 -1 0 1 2 3
2
4
…
f ( x) x
… 16 9 4
1
0 1 4 9 16 …
分析函数值的变化可得到函数的单调性。
例1.画出下列函数图像，并写出单调区间：
y
(1) y
1 y x
广元市年生产总值统计表
生产总值 （亿元）
30 20 10 467 2001 756 2002 2003 2004 1971 3360
年份
苍溪县日平均出生人数统计表
人数 （人）
45 35 25 15 2000 2001 2002 2003 20 17
42
36
年份
上升
y
下降
y
局部上升或下降
y
y x 1
y x +2的单调减区间是_______.
2
y
2 1 -2 -1 -1 -2
y=-x2+2
[0, )
2
1
2
x
变式1：讨论 变式2：讨论
y ax (a 0) 的单调性
y ax bx c(a 0)
2
的单调性
成果交流
y ax
2
b bx c(a 0) 的对称轴为 x 2a
返回
( A) y 2 x 1
2 (C ) y x
( B) y 3x 1
2
( D) y 2x2 x 1
x 1 x 0 x 1 x 0
________

成果运用
若二次函数 f ( x) x2 ax 4在区间 ,1 上单调递 增，求a的取值范围。
y y

o1
x
o 1
x
a 解：二次函数 f ( x) x ax 4 的对称轴为 x , 2 a 由图象可知只要 x 1 ，即 a 2 即可. 2
2
O -2 2 4
I
6 8 10 12
14 16
18
20
22 24
x
y
图象在区间I逐渐上升 区间I内随着x的增大，y也增大
f(x2)
f(x1) O
M
N
？
对区间I内
x1，x2 ，
有f(x1)<f(x2)
I x 1
当x1<x2时，
x2
x
y
图象在区间I逐渐上升 区间I内随着x的增大，y也增大
f(x2)
y x 1
y x2
o x o x o x
函数的这种性质称为函数的单调性 能用图象上动点 P（x，y）的横、纵坐标 在某一区间内， 关系来说明上升或下降趋势吗？
当x的值增大时,函数值y也增大——图像在该区间内逐渐上升；
当x的值增大时,函数值y反而减小——图像在该区间内逐渐下降。
y
10 8 6 4
函数的单调性
永 远 联 系 莫 分 华 离
罗 庚
切 莫 忘 几 何 代 数 统 一 体
隔 离 分 家 万 事 休
数 形 结 合 百 般 好
形 少 数 时 难 入 微
数 无 形 时 少 直 觉
焉 能 分 作 两 边 飞
数 与 形 本 是 相 倚 依
,
,
——
北京市8月8日一天24小时内气温随时间变化曲线图
y
y x2
o x
（1）如果函数 y =f(x)在区间I是单调增函数或单调减函数，那么 就说函数 y =f(x)在区间I上具有单调性。
在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。 （2）函数单调性是针对某个区间而言的，是一个局部性质; （3） x 1, x 2 取值的任意性
判断2：定义在R上的函数 f (x)满足 f (2)> f(1)， y 则函数 f (x)在R上是增函数；
1 1 ) ( x2 ) x1 x2
取值
则 f ( x1 ) f ( x2 ) ( x1
作差
1 1 ( x1 x2 ) ( ) x1 x2
( x2 x1 ) ( x1 x2 ) x1 x2 x1 x2 1 ( x1 x2 )( ) x1 x2
，且 x1
变 形
x1, x2 1,
x2 x1 x2 0, x1 x2 1 0
f ( x1 ) f ( x2 ) 0, f ( x1 ) f ( x2 ) 1 所以函数 y x 在区间上 1, 是增函数. x
定号
结论 返回
如果证得对任意的 x1 , x2 (a, b) ，
f(x1) O
M
N
？
对区间I内 任意 x1，x2 ，
I x 1
当x1<x2时，
有f(x1)<f(x2)
x2
x
y
图象在区间I逐渐上升 区间I内随着x的增大，y也增大
f(x2)
f(x1) O
M
N
对区间I内 任意 x1，x2 ，
I x 1
都 有f(x1)<f(x2) 当x1<x2时，
x2
x
定 义 那么就说 f (x)在区间I上是单调增函数，I 称为