图形的相似(小结与复习4))(湘教版)
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A A D E D
B
F
C
如图(1)
C
E
如图(2)
B
(3)如图3，∠1= ∠2= ∠3,则图中相似三角形的组数为 4 ________. A D B
3
如图(3)
1 2
E
C
2、已知,如图,梯形ABCD中,AD∥BC, ∠A=900,对角 线BD⊥CD求证:(1) △ABD∽△DCB; (2)BD2=AD· BC
C D
相似三角形性质与判定的综合
例题2：已知：如图，点D、E分别在AB、AC上， A 且AD· AC=AE· AB 求证： ⑴ △ADE∽△ABC D E ⑵ DE∥BC
B C
证明等积式的一般思路： Rt△ABD ∽ Rt△A′B′D′
AB AD BE （相似三角形对应高的比等于相似比） AB AD B （判定直角三角形相似的条件） 等积式 A转化为AD BE 证明 两三角形相似
解：设正方形PQMN是符合要求的△ABC
的高AD与PN相交于点E。设正方形PQMN 的边长为x毫米。
A
P E N C
因为PN∥BC，所以△APN∽ △ABC 所以 AE = PN B AD BC Q D M 80–x x = 因此 ，得 x=48（毫米）。答：-------。 80 120
PACຫໍສະໝຸດ DB5.练一练:
1.将两块完全相同的等腰直角三角形摆放成如图所示 的样子,假设图形中的所有点,线都在同一平面内,试写 出一对相似三角形(不全等)______________.
A
1
B F
E D
C
G
2.如图，正方形ABCD的边长为8，E是AB的中 点，点M，N分别在BC，CD上，且CM=2，则 当CN=_________时，△CMN与△ADE的形状 相同。
相似三角形的复习
相似三角形的判定
判定三角形相似
1.三边对应成比例的两个三角形相似 2.两角对应相等的两个三角形相似 3.两边对应成比例且夹角相等的两个 三角形相似 4.斜边和一直角边对应成比例的两个 直角三角形相似
判定三角形全等 SSS ASA AAS SAS HL
相似三角形性质与判定的综合
例题1：已知：如图，AB∥CD,AD交BC于点O. 求证： B A ⑴ △AOB∽△DOC O ⑵ OA· OC=OB· OD
AB A 比例式 D AB AB ∴ AD · B′E′ = A′D′· BE . （已知） AD AD
二.知识应用:
1.找一找: (1) 如图1,已知:DE∥BC,EF ∥AB,则图中共有 _____对三角形相似. 3 (2) 如图2,已知:△ABC中, ∠ACB=Rt∠ ,CD⊥ AB于 4 D,DE⊥BC于E,则图中共有_____个三角形和△ABC 相似.
运动,过P点作∠DPB=∠A,PD交AB于D,设 PB=x,AD=y. A (1)求y关于x的函数关系式和x的取值范围. (2)当x取何值时,y最小,最小值是多少?
C D
P
B
挑战自我
如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边 BC=120毫米，高AD=80毫米，要把它加工成正方 形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点 分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？
A
D
B
C
3、如图,P是△ABC中AB边上的一点,要使△ACP和△ABC相似,则 ∠ACP=∠B; 或∠APC=∠ACB; 需添加一个条件:_____________________________________ 或AP:AC=AC:AB即AC2=AP· 。 AB
A
P
B C
4.想一想:
如图,点C,D在线段AB上, △PCD是等边三角形. (1)当AC,CD,DB满足什么关系时, △ACP∽ △PBD. (2)当△ACP∽ △PBD时,求∠APB的度数.
A
D
E B
M
N C
3.在平面直角坐标系，B（1，0）, A（3，－3）, C（3，0）,点P 在y轴的正半轴上运动，若以O，B，P为顶点的三角形与△ABC 相似，则点P的坐标是__________________.
y
· P
O
· B
C
·
x
· A
6.思考题:
.如图, △ABC中,AB=6,BC=4,AC=3,点P在BC上
B
F
C
如图(1)
C
E
如图(2)
B
(3)如图3，∠1= ∠2= ∠3,则图中相似三角形的组数为 4 ________. A D B
3
如图(3)
1 2
E
C
2、已知,如图,梯形ABCD中,AD∥BC, ∠A=900,对角 线BD⊥CD求证:(1) △ABD∽△DCB; (2)BD2=AD· BC
C D
相似三角形性质与判定的综合
例题2：已知：如图，点D、E分别在AB、AC上， A 且AD· AC=AE· AB 求证： ⑴ △ADE∽△ABC D E ⑵ DE∥BC
B C
证明等积式的一般思路： Rt△ABD ∽ Rt△A′B′D′
AB AD BE （相似三角形对应高的比等于相似比） AB AD B （判定直角三角形相似的条件） 等积式 A转化为AD BE 证明 两三角形相似
解：设正方形PQMN是符合要求的△ABC
的高AD与PN相交于点E。设正方形PQMN 的边长为x毫米。
A
P E N C
因为PN∥BC，所以△APN∽ △ABC 所以 AE = PN B AD BC Q D M 80–x x = 因此 ，得 x=48（毫米）。答：-------。 80 120
PACຫໍສະໝຸດ DB5.练一练:
1.将两块完全相同的等腰直角三角形摆放成如图所示 的样子,假设图形中的所有点,线都在同一平面内,试写 出一对相似三角形(不全等)______________.
A
1
B F
E D
C
G
2.如图，正方形ABCD的边长为8，E是AB的中 点，点M，N分别在BC，CD上，且CM=2，则 当CN=_________时，△CMN与△ADE的形状 相同。
相似三角形的复习
相似三角形的判定
判定三角形相似
1.三边对应成比例的两个三角形相似 2.两角对应相等的两个三角形相似 3.两边对应成比例且夹角相等的两个 三角形相似 4.斜边和一直角边对应成比例的两个 直角三角形相似
判定三角形全等 SSS ASA AAS SAS HL
相似三角形性质与判定的综合
例题1：已知：如图，AB∥CD,AD交BC于点O. 求证： B A ⑴ △AOB∽△DOC O ⑵ OA· OC=OB· OD
AB A 比例式 D AB AB ∴ AD · B′E′ = A′D′· BE . （已知） AD AD
二.知识应用:
1.找一找: (1) 如图1,已知:DE∥BC,EF ∥AB,则图中共有 _____对三角形相似. 3 (2) 如图2,已知:△ABC中, ∠ACB=Rt∠ ,CD⊥ AB于 4 D,DE⊥BC于E,则图中共有_____个三角形和△ABC 相似.
运动,过P点作∠DPB=∠A,PD交AB于D,设 PB=x,AD=y. A (1)求y关于x的函数关系式和x的取值范围. (2)当x取何值时,y最小,最小值是多少?
C D
P
B
挑战自我
如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边 BC=120毫米，高AD=80毫米，要把它加工成正方 形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点 分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？
A
D
B
C
3、如图,P是△ABC中AB边上的一点,要使△ACP和△ABC相似,则 ∠ACP=∠B; 或∠APC=∠ACB; 需添加一个条件:_____________________________________ 或AP:AC=AC:AB即AC2=AP· 。 AB
A
P
B C
4.想一想:
如图,点C,D在线段AB上, △PCD是等边三角形. (1)当AC,CD,DB满足什么关系时, △ACP∽ △PBD. (2)当△ACP∽ △PBD时,求∠APB的度数.
A
D
E B
M
N C
3.在平面直角坐标系，B（1，0）, A（3，－3）, C（3，0）,点P 在y轴的正半轴上运动，若以O，B，P为顶点的三角形与△ABC 相似，则点P的坐标是__________________.
y
· P
O
· B
C
·
x
· A
6.思考题:
.如图, △ABC中,AB=6,BC=4,AC=3,点P在BC上