21-22认识无理数讲义.doc

2. 1认识无理数

I pi础知识必橙・一

一：预习探究

1.做一做

（1）在下图屮，以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少？错误!未找到引用源。（2）设该正方形的边长为b,则b应满足什么条件？（3）b是有理数吗?

二：展示探究

1•为了加固一个高2米、宽1米的大门，需要在对角线位置加固一条木板，设木板长为。米, 则由勾股定理得,= 12+22,即/=5, d的值大约是多少？这个值可能是分数吗？错误!未找到引用源。

2. X2=8,则x _________ 分数，_____ 整数，______ 有理数.（填“是”或“不是”）

三：当堂训练

L下图是由16个边长为1的小正方形拼成的，任意连结这些小正方形的若干个顶点，可得到一些线段，试分别找出两条长度是有理数的线段和三条长度不是有理数的线段.

错误!未找到引用源。

四：屮考链接

如图，在厶ABC屮，CD丄AB,垂足为D, AC=6, AD=5，问：CD可能是整数吗？可

能是分数吗？可能是有理数吗？

错误!未找到引用源。

四、无理数的概念

事实上，这些数既不是整数又不是分数，它们是无限不循环小数。又叫无理数。

1.无理数

⑴无理数的概念

无限不循环小数叫做无理数.

（2）有理数与无理数的区别

事实上，有理数总可以用有限小数或无限循环小数来表示；反过来，任何有限小数或无

限循环小数也都是有理数.如3可看做3.0这样的有限小数，也可以化为］这样的分数形7

式；无限循环小数都可以化为分数，如：3.14可化为3瓦.

有理数与无理数的主要区别：①无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循坏小数；②任何一个有理数都可以化为分数的形式，而无理数不能.

【例1】下列各数屮，哪些是有理数？哪些是无理数？

4 22 3. 141 592 6, -y 2.58, 6.751 75

5 175 551 7…（相邻7,1 之间 5 的个数逐次加1）,0, y,

JI — 5.23, 2~.

解：有理数有：

无理数有：

2.无理数的常见类型

判断一个数是不是无理数，关键就是看它能不能写成无限不循环的小数，无理数常见的形式主要有三种：

(1)一般的无限不循环小数，如1.414 213 56…是无理数.

看似循坏而实质不循坏的小数，如0.101 001 000 1…(相邻两个1之间0的个数逐次增加

1)是无理数.

(2)圆周率兀以及含兀的数，如兀，2兀，兀+5,都是无理数.

(3 )开方开不尽的数(下一节学到).

【例3】下列各数，哪些是有理数？哪些是无理数？

9 9 1 1

0, y, 一4,0.12, , 1.112 111 211-(相邻两个 2 之间 1 的个数逐次加1), 3.141 592 7.

解：

辨误区兀与3.141 592 7的区别

3. 141 592 7属于有限小数，不是兀，要注意区分.

2.2平方根

(1)平方根的概念：如果一个数X的平方等于d，即那么这个数兀就叫做d的平方根(也叫做二次方根).32=9,所以3是9的平方根.(一3尸=9,所以一3也是9的平方根，所以9的平方根是3和一3.

(2)平方根的表示方法：正数a的平方根可记作“ ±&”，读作“正、负根号a”・“厂” 读作“根号是被开方数•例如：2的平方根可表示为±迈.

(3)平方根的性质：正数a的平方根有两个，它们互为相反数；只有()2=0,故0的平方根为0；由于同号的两个数相乘得正，因此任何数的平方都不会是负数，故负数没有平方根.综合上述：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，它是0本身; 负数没有平方根.如：4的平方根有两个：2和一2, —4没有平方根.

【例1—1】求下列各数的平方根

(1) 100 (2) (3) 0.25 (4) -16 (5)81； (6)(-

错误!未找到引用源。

7* (7)1為

练习：1.求下列各数的平方根.

(1)121； (2)0.01； (3)2； (4) (-13)2；

2.算术平方根

(1)算术平方根的概念：如果一个正数兀的平方等于。，即x2=a,那么这个正数兀就叫做a 的算术平方根•

()

()

( )

( )

(4) ±7()25 = 4.求下列各数的平方根.

9 (1) 100；(2) 0； (3)—

25(4) 1；0. 09

(2)算术平方根的表示方法：正数a的算术平方根记作“辺”，读作“根号G”・

(3)算术平方根的性质：疋数有一个正的篦术平方根；0的算术平方根是0；“负数没有平方根，当然也没有算术平方根.

淡重点算术平方根的性质

(1)只有正数和0(即非负数)才有算术平方根，且算术平方根也是非负数；

(2)—个正数Q的正的平方根就是它的算术平方根.如果知道一个数的算术平方根，就可以写出它的负的平方根.

【例2】求下列各数的算术平方根：

(1)0.09； (2)悬

解：(l)V0.32 = 0.09,

A0.09的算术平方根是0.3,

即7^09 = 0.3;

(2)

练习:

1、判断题(正确的打“V”，错误的打“X”)；

(1)任意一个数都有两个平方根，它们互为相反数;

(2)数a的平方根是土乔；

(3)—4的算术平方根是2；

(4)负数不能开平方；

(5)±764=8.

2.4的平方的算术平方根是()

3.计算：

(1) -79= (2) V9 =

6. J—的平方根是:9的平方根是^

V81

【例1一2】下列各数有平方根吗？如果有，求出它的平方根；若没有，请说明理由.

9 2

(1)4：⑵。；(3)-9； (4)|-0.811； (5)—20

解：

3.开平方

求一个数a（a^O）的平方根的运算，叫做开平方，其中Q叫做被开方数.开平方运算是已知指数和幕求底数.