数值计算方法 第3章-简单迭代法

y=x3
y=x +1
2017/8/5
数值计算方法
8
课程内容 §1 根的搜索与二分法
(2) 方程 f(x)=x4-4x3+1=0.
300
由f(x)= 4x2(x-3)=0 得驻点 x1=0, x2=3。
250 200 150
y=4x -1 y=x
4
3
该二点将实轴分为三个区间:
(-∞, 0), (0, 3)，(3, +∞)
2017/8/5 数值计算方法 5
课程内容 §1 根的搜索与二分法
求隔根区间的一般方法 若 f(x)在[a,b]内连续, 且 f(a) ·f(b)<0, 则 f(x)=0 在[a,b]内必有根; 若f(x)在[a,b]内还严格 单调, 则f(x)=0在[a,b]内只有一根, 据此可得求 隔根区间的两种方法。
x (-∞,0) 0 (0,3) 3 (3,4) 4 (4,+∞) 0 - 0 + + + f(x) f (x) ↘ + ↘ - ↗ + ↗ (0,3) (3,4) 隔根区间
2017/8/5 数值计算方法 10
课程内容 §1 根的搜索与二分法
2. 逐步搜索法
从区间[a, b]的左端点 a 出发, 按选定的步长
若 f ( x 0) · f(b)<0, 则x*∈(x0 , b), 令 a1=x0, b1=b。
不论出现哪种情况, (a1, b1)均为新的有根区间, 它 的长度只有原有根区间长度的一半, 达到了压缩有根 区间的目的。
2017/8/5 数值计算方法 15
课程内容 §1 根的搜索与二分法
对压缩了的有根区间, 又可实行同样的步骤, 再压 缩。如此反复进行, 即可的一系列有根区间套
m
m 1
am1 x am (a0 0), (1.3)
可以通过以下结论事先确定实根的上下界。关于方 程(1.3) 根的绝对值( 即根模) 的上下界有如下结论:
(1) 若 max{| a1 |, | a2,|, ..., | am | }, 则方程(1.3) 的 根的绝对值小于 1 ;
100 50 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
3.5
4
4.5
2017/8/5
数值计算方法
9
课程内容 §1 根的搜索与二分法
f(x)在此三个区间上的符号分别为“-”、“-”、“+”, 又知 f(-∞)>0, f(0)=1>0, f(3)=-26<0, f(+∞)>0。 可见f(x)仅有两个实根, 分别位于(0, 3), (3, +∞), 又f(4)=1>0, 所以第二根的隔根区间可缩小为(3, 4)。 以上分析可用下表表示
1 (2) 若 max{1, | a1 |, | a1 |, ..., | am1 | } ， 则方 | am | 1 程(1.3) 的根的绝对值大于 。 1
2017/8/5 数值计算方法 12
课程内容 §1 根的搜索与二分法
例2 求方程x3-3.2x2+1.9x+0.8=0的隔根区间。 解 用逐步搜索法。设方程的根为 ，因为
[a , b] [a1 , b1 ] [an , bn ]
由于每一区间都是前一区间的一半，因此区间[an
, bn]的长度为
1 bn an n (b a ) 2 若每次二分时所取区间中点都不是根，则上述过程将
无限进行下去。当 n→∞ 时，区间必将最终收缩为一 点x* ，显然x*就是所求的根。
h=(b-a)/n 一步步向右搜索，若
f(a+jh)· f(a+(j+1)h)<0 (j=0,1,2,)
则隔根区间[a+jh, a+(j+1)h]内必有根。搜索过程也可
从b开始，这时应取步长 h<0。
2017/8/5 数值计算方法 11
课程内容 §1 根的搜索与二分法
对于m 次代数方程
f ( x) a0 x a1 x
非线性方程的近似求根方法.
2017/8/5 数值计算方法 1
课程内容 第三章 线性方程组的数值解法
本章内容：
§1 根的搜索与二分法
§2 迭代法及其收敛性
§3 迭代收敛的加速方法
§4 牛顿迭代方法
§5 弦截法与抛物线法
§6 解非线性方程组的牛顿迭代法
2017/8/5
数值计算方法
2
课程内容 §1 根的搜索与二分法
其中系数ai(i=0,1,,n)为实数。
2017/8/5 数值计算方法 3
课程内容 §1 根的搜索与二分法
方程f(x)=0的根x*，又称为函数f(x)的零点，它使得 f(x*)=0，若f(x)可分解为
f(x)=(x-x*)mg(x)，
其中m为正整数，且g(x*)≠0。 当m=1时，则称x*为单 根，若m>1称x*为(1.1)的m重根，或x*为函数f(x)的m 重零点。若x*是f(x)的m重零点，且g(x)充分光滑，则
越小, 这时以区间内的某个值作为根的近似值
就越精确。但h 越小, 计算量就越大。因此, 应 考虑如何在此基础上找出更精确的近似根。
2017/8/5 数值计算方法 14
课程内容 §1 根的搜索与二分法
二分法 设f(x)在区间[a, b]上连续, f(a)· f(b)<0, 则在[a, b] 1 内有方程的根。取[a, b]的中点 x0 (a b) , 2 将区间一分为二。若 f (x0)=0, 则x0就是方程的 根, 否则判别根 x*在 x0 的左侧还是右侧。 若 f(a) · f(x0)<0, 则x*∈(a, x0), 令 a1= a, b1=x0;
4
课程内容 §1 根的搜索与二分法
n=1,2时方程的根是大家熟悉的，n=3,4时虽有求 根公式但比较复杂，可在数学手册中查到，但已不适 合数值计算，而n≥5时就不能用公式表示方程的根。 因此，通常对n≥3的多项式方程求根与一般连续函数 方程(1.1)一样都可采用迭代法求根。 迭代法要求给出根x*的一个近似，若f(x)∈C[a, b]且f(a)f(b)<0，根据连续函数性质中的介值定理可 知方程f(x)=0在(a, b)内至少有一个实根，这时称[a, b]为方程(1.1)的有根区间，通常可通过逐次搜索法求 得方程(1.1)的有根区间。
根的搜索 本章主要讨论单变量非线性方程 f(x)=0 (1.1) 的求根问题，这里x∈R, f(x)∈C[a, b]。在科学与工 程计算中有大量方程求根问题，其中一类特殊的问 题是多项式方程
f ( x ) a0 x a1 x
n
n 1
an1 x an (a0 0), (1.2)
2017/8/5
数值计算方法
6
课程内容 §1 根的搜索与二分法
1. (描)做图法
画出 y=f(x) 的草图, 由f(x)与横轴交点的大概位 置来确定隔根区间; 或者利用导函数f(x)的正、负与 函数f(x)的单调性的关系确定根的大概位置。
若f(x)比较复杂, 还可将方程f(x)=0化为一个等价 方程(x)=(x), 则曲线y=(x)与y=(x)之交点A(x*,y*) 的横坐标 x*即为原方程之根, 据此也可通过作图求得 x*的隔根区间。
若 f(a)· f((a+b)/2)<0, 则以(a+b)/2代替b ，否则以 (a+b)/2代替a。
反复执行步骤2和步骤3，直到区间[a, b]长度小于 允许误差 ε，此时中点(数值计算方法 a+b)/2即为所求近似根。 2017/8/5 20
课程内容 §2 迭代法及其收敛性
不动点迭代法 将方程f(x)=0改写为等价方程形式 x=(x).
2017/8/5 数值计算方法 7
课程内容 §1 根的搜索与二分法
例1 判别下列方程有几个实根，并求隔根区间. (1) f(x)=x3-x-1=0, (2) f(x)=x4-4x3+1=0.
5 4 3 2 1 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
解 (1)将方程变形为 x3=x+1 绘曲线图 y=x3 及 y=x+1 由图可知, 方程只有一个实 根x*(1, 1.5)，所以(1, 1.5) 即为其隔根区间.
课程内容 第三章 线性方程组的数值解法
例如代数方程 超越方程 x5-x3+24x+1=0, sin(5x2)+e-x=0.
对于不高于4次的代数方程已有求根公式，而 高于4次的代数方程则无精确的求根公式，至于超 越方程 就更无法求出其精确的解，因此，如何求
得满足一定精度要求的方程的近似根也就成为迫
切需要解决的问题，为此，本章介绍几种常见的
(2.1)
若要求x*满足f(x*)=0，则x*=(x*)；反之亦然，称x* 为函数(x)的一个不动点. 求f(x)的零点就等于求 (x)的不动点，选择一个初始近似值x0，将它代入 (2.1)右端，即可求得
x1=(x0).
2017/8/5 数值计算方法 21
1 2
n 1
(b a)
1 2
n 1
(1.5 1)
1 2Βιβλιοθήκη n 2 0.0052 1 5.6, 取n=6, 按二分法计算过程 由此解得 n lg 2 见下表, x6 = 1.3242 为所求之近似根。
2017/8/5 数值计算方法 18
课程内容 §1 根的搜索与二分法
1 max{1, | 3.2 |, | 1.9 |} 4 | 0.8 | 1 | | 1 4.2 所以 0.2 1 即 4.2 0.2 和 0.2 4.2 取n =8，h=0.5 ，搜索得到隔根区间为：
max{| 3.2 |, | 1.9 |, | 0.8 | } 3.2
f ( x ) f ( x ) f ( m 1) ( x ) 0, f ( m ) ( x ) 0.
当f(x)为代数多项式(1.2)时，根据代数基本定理可 知，n次代数方程f(x)=0在复数域有且只有n个根(含 复根，m重根为m个根)。
2017/8/5 数值计算方法
+ + + 二分法的优点是算法简单，且总是收敛的，缺点 是收敛得太慢，故一般不单独将其用于求根，只是 用其为根求得一个较好的近似值。
2017/8/5 数值计算方法
n 0 1 2 3 4 5 6
an bn xn 1.0 1.5 1.25 1.25 1.5 1.375 1.25 1.375 1.3125 1.3125 1.375 1.3438 1.3125 1.3438 1.3281 1.3125 1.3281 1.3203 1.3203 1.3281 1.3242
f ( x n)
说明 (1) f(a)<0, f(b)>0 (2) 根据精 度要求， 取到小数 点后四位 即可.
19
课程内容 §1 根的搜索与二分法
二分法的计算步骤: 步骤1 准备 计算函数f(x)在区间[a, b]端点处的值 f(a), f(b)。
步骤2 二分 计算函数f(x)在区间中点(a+b)/2处的 值f((a+b)/2)。 步骤3 判断 若f((a+b)/2)=0，则(a+b)/2即是根， 计算过程结束，否则检验。
2017/8/5
数值计算方法
13
课程内容 §1 根的搜索与二分法
这种逐步搜索寻找隔根区间的方法, 在计算 机上实现十分方便, 只需将函数f ( x ) 排一个程 序, 然后由键盘输入起点x 0 及步长h , 根据计算
的结果, 调整步长h 的大小, 总可以把隔根区间
全部找出来。当步长h 越小时, 找出的隔根区间
2017/8/5 数值计算方法 16
课程内容 §1 根的搜索与二分法
若取区间[an , bn]的中点 1 xn (an bn ) 2 作为x*的近似值，则有下述误差估计式
1 1 * x xn ( bn an ) n1 ( b a ) 2 2
x* , xn ( an1 , bn1 )
只要 n 足够大, (即区间二分次数足够多)，误差就可 足够小。 由于在偶重根附近曲线 y=f(x) 为上凹或下凸, 即 f(a)与f(b)的符号相同, 因此不能用二分法求偶重根。
2017/8/5 数值计算方法 17
课程内容 §1 根的搜索与二分法
例3 用二分法求例1中方程 f(x)=x3-x-1=0的实根, 要求误差不超过0.005。 解 由例1可知x*∈(1, 1.5), 要想满足题意，即： |x*-xn|≤0.005 则要