立体几何动态问题(二轮)含答案

1 / 4

立体几何中的动态问题

一、轨迹问题

1．如图，已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，长为2的线段MN 的一个端点M 在棱

DD 1上运动，另一端点N 在正方形ABCD 内运动，则MN 的中点P 轨迹的面积（）D A ．4π B ．2π

C ．π

D ．

2

π 2．[2015·浙江卷]如图, 斜线段AB 与平面α所成的角为60°，B 为斜足，平面α上的动点P 满足∠P AB ＝30°，则点P 的轨迹是()C

A ．直线

B ．抛物线

C ．椭圆

D ．双曲线的一支

3.如图，AB 平面α的斜线段，A 为斜足．若点P 在平面α内

运动，使得△ABP 的面积为定值，则动点P 的轨迹是（）B

A ．圆

B ．椭圆

C ．一条直线

D ．两平行直线

4．如图，已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 是平面ABCD 内

的一个动点，且∠AD 1M =45°，则动点M 的轨迹是（）D A ．圆 B ．双曲线 C ．椭圆 D ．抛物线 5．如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P 是底面ABCD 内的动点PE ⊥A 1C 于点E ，且PA =PE ，则点P 的轨迹是（）A

A ．线段

B ．圆弧

C ．椭圆的一部分

D ．抛物线的一部分 二、判断平行，垂直，夹角问题

1.已知矩形ABCD ，AB=1，BC=2，将△ABD 沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻折，在翻折过程中，（）B

A.存在某个位置，使得直线AC 与直线BD 垂直.

B.存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 垂直.

C.存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直.

D.对任意位置，三对直线“AC 与BD ”， “AB 与CD ”，“AD 与BC ”均不垂直

2.如图，已知点E 是正方形ABCD 的边AD 上一动点（端点除外），现将△ABE 沿BE 所在

直线翻折成△BE A '，并连结C A '，D A '．记二面角C BE A --'的大小为)0(παα<<．(D) A ．存在α，使得⊥'BA 面DE A '

B ．存在α，使得⊥'BA 面CD A '

C ．存在α，使得⊥'EA 面C

D A '． D ．存在α，使得⊥'EA 面BC A '

3.（浙江2015）如图，已知ABC ∆，D 是AB

的中点，沿CD 将ACD ∆折成CD A '∆，

所成二面角B CD A --'的平面角为α，则 (B) A ．α≤'∠DB A B ．α≥'∠DB A

C ．α≤'∠CB A

D ．α≥'∠CB A

A

D

A 'B

C

C E

D

B

A

C

E

D

B

'A

A B C D E

图-2 A

P B

α 图-3

2 / 4

三、最值问题

1．在棱长为1的正方体中,点21,P P 分别是线段AB ，BD 1, (不包括端点)上的动点,且线段2

1P P 平行于棱1AD ,则四面体121,AB P P 的体积的最大值为（）D

（A ）

481（B ）121（C ）81（D ）24

1

2．已知立方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，线段EF ，GH 分别在棱AB ，CC 1上移动，若

EF +GH =

21，则三棱锥EFG H -的体积最大值为48

1 变式：作业手册13-9．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖.如图Z13-4所示，在鳖P ABC 中，P A ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，且AP ＝AC ＝1, 过A 点分别作AE ⊥PB 于E ，AF ⊥PC 于F ，连接EF ，当△AEF 的面积最大时，tan ∠BPC 的值是()

A. 2

B.22

C. 3

D.33

3．如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，底面为直角三角形，

90=∠ACB ，

AC =6,21==CC BC ．P 是1BC 上一动点，则1PA CP +的最小值为．26

4.（2015浙江学考）在菱形ABCD 中， 60=∠BAD ,线段

BD AD ,的中点分别为F E ,，现将ABD ∆沿对角线BD 翻折，

则异面直线BE 与CF 所成角的取值范围是（）C A.)3,6(ππ B. ]2,6(ππ C. ]2,3(ππ D. )3

2,3(ππ

5.如图，已知平面四边形ABCD ，AB =BC =3，CD =1，AD =5，∠ADC =90°．沿直线AC 将△

ACD 翻折成△ACD'，直线AC 与BD'所成角的余弦的最大值是______．【答案】6

6

ABC

6.（2016

浙江）如图，在△

图9

3 / 4

中，AB =BC =2，∠ABC =120°.若平面ABC 外的点P 和线段AC 上的点D ，满足PD =DA ，PB =BA ，则四面体PBCD 的体积的最大值是.

【解析】ABC ∆中，因为2,120AB BC ABC ==∠=， 所以30BAD BCA ∠==.

由余弦定理可得2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅

2222222cos12012=+-⨯⨯=，

所以AC =设AD x =

，则0t <<

DC x =-.

在ABD ∆中，由余弦定理可得2222cos BD AD AB AD AB A =+-⋅

22222cos30x x =+-

⋅24x =-+.

故BD =

在PBD ∆中，PD AD x ==，2PB BA ==.

由余弦定理可得222cos 2PD PB BD BPD PD PB +-∠===⋅

所以30BPD ∠=.

E

D

C

B

A P

过P 作直线BD 的垂线，垂足为O .设PO d =

则11

sin 22

PBD S BD d PD PB BPD ∆=⨯=⋅∠，

12sin 302

d x =⋅，

解得d =

而BCD ∆

的面积111

sin )2sin 30(2)222

S CD BC BCD x x =

⋅∠=⋅=. 设PO 与平面ABC 所成角为θ，则点P 到平面ABC 的距离sin h d θ=. 故四面体PBCD 的体积