大学高等数学经典课件12-5
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p
武 汉 科 技 学 院 数 理 系
y
Q
x
(
p y
Q x
)0
这是一阶的偏微分方程,在一般的情况下, 它比原方程更难求.
高 下面我们给出一些积分因子的方法: 等 数 当方程(1)的左端含有xdx+ydy的项,而其他项中都含有因 学 式x2+y2,则方程可能有积分因子: 1 电 x y 子 教 案 当方程(1)的左端含有ydx+xdy的项,而其他项中都含有因式
2 2
xdx ydy
1
d( ) x d ( arctg 1 x y )
y
(8 )
ydx xdy y
2
d( ) y d ( arctg 1 y x ) x y
x
(9 )
武 汉 科 技 学 院 数 理 系
ydx xdy x y
2
(10 )
xdy ydx x
2
(11 )
ydx xdy x y
2 2
d ( ln ), 2 x y
x y
(12 )
xdy ydx x y
2 2
d ( ln 2 x y
高 等 数 学 电 子 教 案
P y
Q x
(2)
当条件 (2)不能满足时,方程(1)就不是全微分方程. 这时如果有一个适当的函数μ=μ(x,y) (μ(x,y) ≠0), 使方程(1)乘上μ(x,y) 后得到的方程
武 汉 科 技 学 院 数 理 系
μ(x,y)p(x,y)dx+ μ(x,y)Q(x,y)dy=0 为全微分方程,则函数μ(x,y) 叫做方程(1)的积分因子.
高 等 数 要使方程p(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 (1)为全微分方程,函数μ(x,y) 学 电 必须满足方程 子 ( p ) ( Q ) 教 y x 案
那么方程(1)就称为全微分方程. 而方程(1)就是 du(x,y)=0 (1’ )
如果y=φ(x)是方程(1)的解,那么这解满足方程(1‘),故有
武 汉 科 技 学 院 数 理 系
du [ x , ( x )] 0
u [ x , ( x )] C
这表示方程(1)的解y=φ(x)是由方程u[x,φ(x)]=C所确定的
xdy+ydx+x2ydx+xy2dy=0 的通解
解: 这不是全微分方程,容易看出它属于第二种情况, xdy+ydx→d(xy), 取积分因子1/xy
xdy ydx x y
2 2
武 汉 科 技 学 院 数 理 系
xy
xdx ydy 0 d [ln( xy )
2
]0
方程的通解为 ln( xy )
x y
2
2
2
2 2 x y
2
)
)
( 5 ) xdy ydx d ( xy )
(7 ) ydx xdy x
2 2
d [ ln( x y )] 2 2 x y 2 xdx ydy 1 2 2 (4) d [ ln( x y )] 2 2 x y 2 xdy ydx (6) d (ln xy ) xy (2)
隐函数.
高 等 数 学 电 子 教 案
另一方面,如果方程u(x,y)=c确定一个可微的隐函数y=φ(x),
则
u [ x , ( x )] C
上式两端对x求导,我们得到
u x u y y x 0 u x dx u y dy 0 p ( x , y ) dx Q ( x , y ) dy 0
P ( x, y ) e ,
y
Q ( x , y ) xe
y
2 y,
P y
y
e
y
Q x
武 汉 科 技 学 院 数 理 系
e dx ( xe
y
y
2 y ) dy 0 ( e dx xe dy ) 2 ydy 0
y
( e dx xe dy ) d ( xe ), 2 ydy d ( y ) ( e dx xe dy ) 2 ydy 0
例1 求解 (5x4+3xy2-y3)dx+(3x2y-3xy2+y2)dy=0 分析: 这里 这是全微分方程,可取x0=0 y0=0. 根据公式(3),有
p y 6 xy 3 y
2
Q x
2 3
武 汉 科 技 学 院 数 理 系
u ( x, y )
x
( 5 x 3 xy y ) dx
4
0
y
y dy x
2 5
3 2
y
3
x y xy
2 2 3
y
3
0
3
于是,方程的通解为
x
5
3 2
x y xy
2 2 3
3
C
高 等 数 学 电 子 教 案
除了公式法外,还有凑微分法,如果方程p(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 是全微分方程,我们把方程的左端凑成某一函数u(x,y)的全微 分: p(x,y)dx+Q(x,y)dy=du(x,y). 即可得方程通解: u(x,y)=C 例2 求方程的通解 eydx+(xey-2y)dy=0
这表示由方程u(x,y)=C所确定的隐函数是方程(1)的解.
武 汉 科 技 学 院 数 理 系
因此,如果方程(1)的左端是函数u(x,y)的全微分,那么 u(x,y)=C就是全微分方程(1)的隐式通解,C是任意常数.
高 等 数 学 由第十章第三节的讨论知,当P(x,y),Q(x,y)在单连通域G内具 电 子 有一阶连续偏导数时,要使方程(1)是全微分方程,充要条件是 教 案 P Q
高 等 数 学 电 子 教 案
第五节
全 微 分 方 程
武 汉 科 技 学 院 数 理 系
高 等 数 学 电 子 教 案
一个一阶微分方程写成 P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 (1) 形式后,
如果它的左端恰好是某一个函数u=u(x,y)的全微分:
du(x, y) P(x, y)dx Q(x, y)dy, u x P ( x , y ), u y Q ( x, y )
2 2
xy则方程可能有积分因子:
1 xy
武 汉 科 技 学 院 数 理 系
当方程(1)的左端含有ydx-xdy的项,这时需要分三种情况 寻找积分因子: A.若方程中其他的项都只含有x或y的微分表达式,则方程 1 1 有积分因子 x ,y
2
2
高 等 数 学 电 子 教 案
B.若方程中其他的项含有因式xy,则方程可能有积分因子 1/xy; C.若方程中其他的项含有因式x2+ y2 或x2-y2,则方程可 能有积分因子:
x y
2
2
2
C
y y y 2 y y
d ( xe ) d ( y ) d ( xe y ) 0 xe y C
y 2 y 2 y 2
高 等 数 学 电 子 教 案
我们把一些常见的全微分表达式写出来,使同学能清楚.
(1) xdx ydy d (
( 3 ) xdx ydy d (
y x
(2) 在区域G内恒成立,且当条件满足时,全微分方程
(1) 的通解为
武 汉 科 技 学 院 数 理 系
u ( x, y )
x
p ( x , y ) dx
x0
y
y0
Q ( x 0 , y ) dy C
(3)
其中 x0,y0 是在适当选定的点M0(x0,y0)的坐标.
高 等 数 学 电 子 教 案
ຫໍສະໝຸດ Baidu ( x, y )
1 x y
2 2
2
xdx ydy x y
2 2
4 y dy 0
3
武 汉 科 技 学 院 数 理 系
d[
1 2
ln( x y ) y ] 0
2 4
1 2
ln( x y ) y C
2 2 4
高 等 数 学 电 子 教 案
例4 求微分方程
1 x y
2 2
武 汉 科 技 学 院 数 理 系
1 x y
2 2
高 等 数 学 电 子 教 案
例3 求微分方程 xdx+y(1+4y4+4x2y2)dy=0的通解
解:这不是全微分方程,把它改写为
xdx ydy 4 y ( x y ) dy 0
3 2 2
这属于第一种情况,其积分因子为
武 汉 科 技 学 院 数 理 系
y
Q
x
(
p y
Q x
)0
这是一阶的偏微分方程,在一般的情况下, 它比原方程更难求.
高 下面我们给出一些积分因子的方法: 等 数 当方程(1)的左端含有xdx+ydy的项,而其他项中都含有因 学 式x2+y2,则方程可能有积分因子: 1 电 x y 子 教 案 当方程(1)的左端含有ydx+xdy的项,而其他项中都含有因式
2 2
xdx ydy
1
d( ) x d ( arctg 1 x y )
y
(8 )
ydx xdy y
2
d( ) y d ( arctg 1 y x ) x y
x
(9 )
武 汉 科 技 学 院 数 理 系
ydx xdy x y
2
(10 )
xdy ydx x
2
(11 )
ydx xdy x y
2 2
d ( ln ), 2 x y
x y
(12 )
xdy ydx x y
2 2
d ( ln 2 x y
高 等 数 学 电 子 教 案
P y
Q x
(2)
当条件 (2)不能满足时,方程(1)就不是全微分方程. 这时如果有一个适当的函数μ=μ(x,y) (μ(x,y) ≠0), 使方程(1)乘上μ(x,y) 后得到的方程
武 汉 科 技 学 院 数 理 系
μ(x,y)p(x,y)dx+ μ(x,y)Q(x,y)dy=0 为全微分方程,则函数μ(x,y) 叫做方程(1)的积分因子.
高 等 数 要使方程p(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 (1)为全微分方程,函数μ(x,y) 学 电 必须满足方程 子 ( p ) ( Q ) 教 y x 案
那么方程(1)就称为全微分方程. 而方程(1)就是 du(x,y)=0 (1’ )
如果y=φ(x)是方程(1)的解,那么这解满足方程(1‘),故有
武 汉 科 技 学 院 数 理 系
du [ x , ( x )] 0
u [ x , ( x )] C
这表示方程(1)的解y=φ(x)是由方程u[x,φ(x)]=C所确定的
xdy+ydx+x2ydx+xy2dy=0 的通解
解: 这不是全微分方程,容易看出它属于第二种情况, xdy+ydx→d(xy), 取积分因子1/xy
xdy ydx x y
2 2
武 汉 科 技 学 院 数 理 系
xy
xdx ydy 0 d [ln( xy )
2
]0
方程的通解为 ln( xy )
x y
2
2
2
2 2 x y
2
)
)
( 5 ) xdy ydx d ( xy )
(7 ) ydx xdy x
2 2
d [ ln( x y )] 2 2 x y 2 xdx ydy 1 2 2 (4) d [ ln( x y )] 2 2 x y 2 xdy ydx (6) d (ln xy ) xy (2)
隐函数.
高 等 数 学 电 子 教 案
另一方面,如果方程u(x,y)=c确定一个可微的隐函数y=φ(x),
则
u [ x , ( x )] C
上式两端对x求导,我们得到
u x u y y x 0 u x dx u y dy 0 p ( x , y ) dx Q ( x , y ) dy 0
P ( x, y ) e ,
y
Q ( x , y ) xe
y
2 y,
P y
y
e
y
Q x
武 汉 科 技 学 院 数 理 系
e dx ( xe
y
y
2 y ) dy 0 ( e dx xe dy ) 2 ydy 0
y
( e dx xe dy ) d ( xe ), 2 ydy d ( y ) ( e dx xe dy ) 2 ydy 0
例1 求解 (5x4+3xy2-y3)dx+(3x2y-3xy2+y2)dy=0 分析: 这里 这是全微分方程,可取x0=0 y0=0. 根据公式(3),有
p y 6 xy 3 y
2
Q x
2 3
武 汉 科 技 学 院 数 理 系
u ( x, y )
x
( 5 x 3 xy y ) dx
4
0
y
y dy x
2 5
3 2
y
3
x y xy
2 2 3
y
3
0
3
于是,方程的通解为
x
5
3 2
x y xy
2 2 3
3
C
高 等 数 学 电 子 教 案
除了公式法外,还有凑微分法,如果方程p(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 是全微分方程,我们把方程的左端凑成某一函数u(x,y)的全微 分: p(x,y)dx+Q(x,y)dy=du(x,y). 即可得方程通解: u(x,y)=C 例2 求方程的通解 eydx+(xey-2y)dy=0
这表示由方程u(x,y)=C所确定的隐函数是方程(1)的解.
武 汉 科 技 学 院 数 理 系
因此,如果方程(1)的左端是函数u(x,y)的全微分,那么 u(x,y)=C就是全微分方程(1)的隐式通解,C是任意常数.
高 等 数 学 由第十章第三节的讨论知,当P(x,y),Q(x,y)在单连通域G内具 电 子 有一阶连续偏导数时,要使方程(1)是全微分方程,充要条件是 教 案 P Q
高 等 数 学 电 子 教 案
第五节
全 微 分 方 程
武 汉 科 技 学 院 数 理 系
高 等 数 学 电 子 教 案
一个一阶微分方程写成 P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 (1) 形式后,
如果它的左端恰好是某一个函数u=u(x,y)的全微分:
du(x, y) P(x, y)dx Q(x, y)dy, u x P ( x , y ), u y Q ( x, y )
2 2
xy则方程可能有积分因子:
1 xy
武 汉 科 技 学 院 数 理 系
当方程(1)的左端含有ydx-xdy的项,这时需要分三种情况 寻找积分因子: A.若方程中其他的项都只含有x或y的微分表达式,则方程 1 1 有积分因子 x ,y
2
2
高 等 数 学 电 子 教 案
B.若方程中其他的项含有因式xy,则方程可能有积分因子 1/xy; C.若方程中其他的项含有因式x2+ y2 或x2-y2,则方程可 能有积分因子:
x y
2
2
2
C
y y y 2 y y
d ( xe ) d ( y ) d ( xe y ) 0 xe y C
y 2 y 2 y 2
高 等 数 学 电 子 教 案
我们把一些常见的全微分表达式写出来,使同学能清楚.
(1) xdx ydy d (
( 3 ) xdx ydy d (
y x
(2) 在区域G内恒成立,且当条件满足时,全微分方程
(1) 的通解为
武 汉 科 技 学 院 数 理 系
u ( x, y )
x
p ( x , y ) dx
x0
y
y0
Q ( x 0 , y ) dy C
(3)
其中 x0,y0 是在适当选定的点M0(x0,y0)的坐标.
高 等 数 学 电 子 教 案
ຫໍສະໝຸດ Baidu ( x, y )
1 x y
2 2
2
xdx ydy x y
2 2
4 y dy 0
3
武 汉 科 技 学 院 数 理 系
d[
1 2
ln( x y ) y ] 0
2 4
1 2
ln( x y ) y C
2 2 4
高 等 数 学 电 子 教 案
例4 求微分方程
1 x y
2 2
武 汉 科 技 学 院 数 理 系
1 x y
2 2
高 等 数 学 电 子 教 案
例3 求微分方程 xdx+y(1+4y4+4x2y2)dy=0的通解
解:这不是全微分方程,把它改写为
xdx ydy 4 y ( x y ) dy 0
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这属于第一种情况,其积分因子为