PCB 平面变压器漏感与自互感精确仿真间的关系
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图 3. CST EMS™中仿真的平面变压器模型
V. 总结 本文介绍了根据变压器绕组的自互感模型推导出绕组 的漏感值。指出通过仿真得到的自互感模型必须具有相当 高的精度方可给出准确的漏感值。通过电磁仿真软件 CST 电磁工作室™对一个四绕组多层 PCB 平面变压器实例进 行了仿真计算，说明了上面的结论。 参考文献
Ls1 = L1 (1 − k 2 ) = L1 (2 − δ )δ ≈ 2δ L1
这里
1 即为第一套绕组的漏感（记作： Ls1 ） Q11
Ls1 = U1 1 = jω I1 Q11
(15)
(9)
同理，
1 1 … 分别为其余各套绕组 W2 … Wm 的 Q22 Qmm
漏感。 这样，通过对各套绕组自互感模型矩阵简单求逆，就 可以得到各套绕组的漏感。 III. 漏感测试灵敏度分析 下面就两套绕组的情况对漏感测试的灵敏度作一具体 分析：
PCB 平面变压器漏感与自互感精确仿真间的关系
孙伟华, 张敏* 同济大学现代集成电磁仿真研发中心 上海市嘉定区曹安公路 4800 号电子与信息工程学院 邮编 201804
* 通讯作者：张敏博士教授 同济大学电子与信息工程学院，min.zhang@mail.tongji.edu.cn
摘要-本文从变压器完备的自互感模型出发导出漏感 表示式，表明精确的自互感模型是漏感精确估值的前提。 通过电磁仿真软件 CST 电磁工作室™对一个四绕组多层 PCB 平面变压器模型的自互感进行仿真计算，说明上述结 论。 I. 引言
表1
L1 L2 L3 L4
互感
M 12 M 13
M 14 M 23 M 24 M 34
漏感
推导值 (H) 1.10206 e-007 1.77274 e-003 1.14704 e -007 1.11182 e-007 表2
Ls1
Ls 2
Ls 3
Ls 4
M ij ( i ≠ j ) 十分接近于这两套绕组自感系数的几何平均
(3)
可以简写为 经过转换可以得到
jω M ⋅ I = U
I=
(4)
1 -1 M ⋅U jω
(5)
1
或 这里
I =
1 Q⋅ U jω
-1
(6)
置 U 2 为 0，可以得到得到绕组 1 的漏感：
Ls1 = M / L2
(12) (13) (14)
Q=M
(7)
这里
M = L1 L2 − M 12 2
采用短路测试法，仅对第一套绕组（记作 W1 ）馈电 时，其余绕组都短路，即端电压 U 2 … U m 均为 0。此时式 (6)可改写为：
PCB 平面变压器是近年来被广泛应用的新技术，其 利用先进的印制板制造工艺技术，将扁平的薄铜片或若干 蚀刻在绝缘薄片上的平面铜绕组在多层板上形成线圈，和 传统变压器相比，体积大为减小，此外还有着漏感小、损 耗低、便于散热、一致性好的优点[1]。 理想的变压器（完全耦合的变压器）初级绕组产生的 磁通应全部穿过次级绕组，没有任何损失和泄露。但实际 上常规的变压器不可能实现没有任何损失和泄露。初级绕 组产生的磁通不可能全部穿过次级绕组。非耦合部分磁通 就在绕组或导体中有它自己的电感，存贮在这个“电感” 中的能量不和主功率变压器电路相耦合。这种电感称为 “漏感”[2]。 变压器的漏感，是分析变压器稳定运行的重要数据， 对电源系统的分析计算有着重要的意义。工程上通过短路 测试法可以较容易地得到绕组的漏感，即将所有次级绕组 短路，此时初级线圈电感量的测量值即近似等于漏感。因 此工程上常以绕组的漏感作为变压器的电感指标。然而在 变压器的设计过程中，工程师却很难对绕组的漏感进行仿 真估算。 另一方面，变压器绕组间的自互感模型是完备的电感 模型，通过 3D 电磁场仿真软件可以对变压器模型的自互 感值进行精确的仿真计算。然而在实际工程测量中，对于 多绕组复杂结构的变压器，绕组间的互感的测量又十分不 便。 本文将介绍一种由绕组间自互感完备模型出发，推导 求得各绕组漏感的方法，在工作频率较低的情况下 (10KHz 以下)可以对绕组间的漏感作有效估算。当工作频 率较高时，变压器绕组内部的电磁场分布不均匀性加剧， 绕组的漏感会随着工作频率变化而难以估算。另一方面由 于此方法是基于集总器件的路的模型，当频率过高时，会 降低求解精度。
所以可以得到
Ls1 = L1 (1 − M 12 2 ) = L1 (1 − k 2 ) L1 L2
(8)
其中 k = M 12 为耦合系数 L1 L2 当绕组完全耦合时，耦合系数 k = 1 ，此时漏感为 0，即初级和次级绕组间没有任何磁通泄漏。 当两绕组耦合紧密时，耦合系数 k 接近于 1，令 k = 1 − δ ， δ → 0 ，可以得到：
(1)
其中 Li （ i ≤ m ）为各套绕组的自感， M ij 为绕组间的互感，而且有 M ij
(i ≠ j )
= M ji 。
" M 1m " M 2m " M 3m % # " Lm
将式(1)的矩阵定义为 M，则
L1 M 21 M = M 31 # M m1 பைடு நூலகம் 12 L2 M 32 # M m2 M 13 M 23 L3 # M m3
[1] 李建兵 牛忠霞 周东方 师宇杰, “印制板平面变压器及其设计方法”, 《电气应用》2006 年第 25 卷第 2 期 [2] 时米生, “铁氧体平面变压器的结构原理与应用” 2003`中国电子变 压器第一届联合学术年会论文集.
其中，绕组 2 铜箔截面窄，匝数多，分上下两层串联 同向密绕，1、3、4 绕组结构类似，截面宽，匝数相同。 在 CST 电磁工作室™中，根据四套平面绕组的绕线 路径和铜箔的宽度、厚度定义四个闭合线圈作为激励源， 材料选用理想导体。启动其中的静磁求解器即可得到四个 绕组的自互感矩阵： 自感 计算值 (H) 4.6336e-005 1.66395e-003 4.63357e-005 4.63407e-005 计算值 (H) 2.77314e-004 4.62315e-005 4.62486e-005 2.77321e-004 2.77330e-004 4.62261e-005
图 1. 两线圈原理图
对于两套绕组，根据(3)式可以得到：
图 2. CST EMS™中仿真的平面变压器电路原理图
⎛ L jω ⎜ 1 ⎝ M12
M12 ⎞⎛ I1 ⎞ ⎛ U1 ⎞ ⎟⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ L2 ⎠⎝ I 2 ⎠ ⎝ U 2 ⎠
(10)
经过转换后得到：
⎛ I1 ⎞ 1 ⎛ L2 / M ⎜ ⎜ ⎟= ⎝ I 2 ⎠ jω ⎝ − M12 / M − M 21 / M L1 / M ⎞ ⎛ U1 ⎞ ⎟⎜ ⎟ ⎠ ⎝U 2 ⎠
该平面变压器有四套绕组和一个 EE 形的铁氧体磁 芯，绕组为交叉结构的矩形螺旋形薄铜层，磁芯能起到屏 蔽作用，可以抑制射频干扰。
(11)
2
数
Li L j ( i ≠ j ) ，表明绕组间耦合十分紧密。由于绕组
1、3、4 结构类似，因此这 3 套绕组的自互感值接近。 通过式(3)(8)的转换，由表 1 中的自互感得出表 2 四 套绕组的短路电感，即漏感。绕组 1、3、4 的漏感均在 110nH 附近。为了保证漏感计算的精确性，必须提高自互 感模型数据的精度，保留多位有效数字。若将表 1 的数据 均只保留 4 位有效数字，推导出各绕组的漏感将与表 2 中 的相差很大。
从表 1 中可以看到任意两绕组之间的互感系数
3
(2)
（ i ≤ m ），根据集总元件路的模型可以得到：
⎛ L1 ⎜ ⎜ M 12 jω ⎜ M 13 ⎜ ⎜ # ⎜M ⎝ 1m M 12 L2 M 23 # M 2m M 13 M 23 L3 # M 3m
设各套绕组上的电流和端电压分别为 I i 、 U i
" M 1m ⎞⎛ I1 ⎞ ⎛ U1 ⎞ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ " M 2 m ⎟⎜ I 2 ⎟ ⎜ U 2 ⎟ " M 3m ⎟⎜ I 3 ⎟ = ⎜ U 3 ⎟ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ % # ⎟⎜ # ⎟ ⎜ # ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ " Lm ⎟⎜ ⎠⎝ I m ⎠ ⎝ U m ⎠
⎛ I1 ⎞ ⎛ Q11 Q12 ⎜ ⎟ ⎜ I ⎜ 2 ⎟ 1 ⎜ Q21 Q22 ⎜ I3 ⎟ = ⎜ Q31 Q32 ⎜ ⎟ jω ⎜ # ⎜ # ⎟ ⎜ # ⎜I ⎟ ⎜Q ⎝ m⎠ ⎝ m1 Qm 2 Q13 Q23 Q33 # Qm 3 " Q1m ⎞ ⎛ U1 ⎞ ⎟ ⎟ " Q2 m ⎟ ⎜ ⎜0⎟ " Q3m ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎟⎜ ⎟ % # ⎟⎜ # ⎟ ⎜ ⎟ " Qmm ⎟ ⎠⎝ 0 ⎠
由式(15)可以看出，绕组的漏感是由其自身的自感系 数以及绕组间的耦合系数所决定的。耦合紧密时，自互感 模型数据的微小相对误差将会导致绕组间耦合系数的非常 大的绝对误差，从而使得推导 出的漏感产生很大的误 差。因此为了保证计算出的漏感值精确可靠，其对绕组的 自互感值的精度有很高要求。 IV. 平面变压器仿真 本文中我们将采用 3D 通用电磁仿真软件 CST 电磁工 作室™对一个多层平面变压器进行仿真计算，并推导出其 各绕组的漏感。
II. 自互感模型到漏感的换算 对于 m 套绕组的平面变压器，各套绕组记作 Wi （ i ≤ m ），其自互感模型为：
⎛ L1 ⎜ ⎜ M 21 ⎜ M 31 ⎜ ⎜ # ⎜M ⎝ m1 M 12 L2 M 32 # M m2 M 13 M 23 L3 # M m3 " M 1m ⎞ ⎟ " M 2m ⎟ " M 3m ⎟ ⎟ % # ⎟ " Lm ⎟ ⎠
V. 总结 本文介绍了根据变压器绕组的自互感模型推导出绕组 的漏感值。指出通过仿真得到的自互感模型必须具有相当 高的精度方可给出准确的漏感值。通过电磁仿真软件 CST 电磁工作室™对一个四绕组多层 PCB 平面变压器实例进 行了仿真计算，说明了上面的结论。 参考文献
Ls1 = L1 (1 − k 2 ) = L1 (2 − δ )δ ≈ 2δ L1
这里
1 即为第一套绕组的漏感（记作： Ls1 ） Q11
Ls1 = U1 1 = jω I1 Q11
(15)
(9)
同理，
1 1 … 分别为其余各套绕组 W2 … Wm 的 Q22 Qmm
漏感。 这样，通过对各套绕组自互感模型矩阵简单求逆，就 可以得到各套绕组的漏感。 III. 漏感测试灵敏度分析 下面就两套绕组的情况对漏感测试的灵敏度作一具体 分析：
PCB 平面变压器漏感与自互感精确仿真间的关系
孙伟华, 张敏* 同济大学现代集成电磁仿真研发中心 上海市嘉定区曹安公路 4800 号电子与信息工程学院 邮编 201804
* 通讯作者：张敏博士教授 同济大学电子与信息工程学院，min.zhang@mail.tongji.edu.cn
摘要-本文从变压器完备的自互感模型出发导出漏感 表示式，表明精确的自互感模型是漏感精确估值的前提。 通过电磁仿真软件 CST 电磁工作室™对一个四绕组多层 PCB 平面变压器模型的自互感进行仿真计算，说明上述结 论。 I. 引言
表1
L1 L2 L3 L4
互感
M 12 M 13
M 14 M 23 M 24 M 34
漏感
推导值 (H) 1.10206 e-007 1.77274 e-003 1.14704 e -007 1.11182 e-007 表2
Ls1
Ls 2
Ls 3
Ls 4
M ij ( i ≠ j ) 十分接近于这两套绕组自感系数的几何平均
(3)
可以简写为 经过转换可以得到
jω M ⋅ I = U
I=
(4)
1 -1 M ⋅U jω
(5)
1
或 这里
I =
1 Q⋅ U jω
-1
(6)
置 U 2 为 0，可以得到得到绕组 1 的漏感：
Ls1 = M / L2
(12) (13) (14)
Q=M
(7)
这里
M = L1 L2 − M 12 2
采用短路测试法，仅对第一套绕组（记作 W1 ）馈电 时，其余绕组都短路，即端电压 U 2 … U m 均为 0。此时式 (6)可改写为：
PCB 平面变压器是近年来被广泛应用的新技术，其 利用先进的印制板制造工艺技术，将扁平的薄铜片或若干 蚀刻在绝缘薄片上的平面铜绕组在多层板上形成线圈，和 传统变压器相比，体积大为减小，此外还有着漏感小、损 耗低、便于散热、一致性好的优点[1]。 理想的变压器（完全耦合的变压器）初级绕组产生的 磁通应全部穿过次级绕组，没有任何损失和泄露。但实际 上常规的变压器不可能实现没有任何损失和泄露。初级绕 组产生的磁通不可能全部穿过次级绕组。非耦合部分磁通 就在绕组或导体中有它自己的电感，存贮在这个“电感” 中的能量不和主功率变压器电路相耦合。这种电感称为 “漏感”[2]。 变压器的漏感，是分析变压器稳定运行的重要数据， 对电源系统的分析计算有着重要的意义。工程上通过短路 测试法可以较容易地得到绕组的漏感，即将所有次级绕组 短路，此时初级线圈电感量的测量值即近似等于漏感。因 此工程上常以绕组的漏感作为变压器的电感指标。然而在 变压器的设计过程中，工程师却很难对绕组的漏感进行仿 真估算。 另一方面，变压器绕组间的自互感模型是完备的电感 模型，通过 3D 电磁场仿真软件可以对变压器模型的自互 感值进行精确的仿真计算。然而在实际工程测量中，对于 多绕组复杂结构的变压器，绕组间的互感的测量又十分不 便。 本文将介绍一种由绕组间自互感完备模型出发，推导 求得各绕组漏感的方法，在工作频率较低的情况下 (10KHz 以下)可以对绕组间的漏感作有效估算。当工作频 率较高时，变压器绕组内部的电磁场分布不均匀性加剧， 绕组的漏感会随着工作频率变化而难以估算。另一方面由 于此方法是基于集总器件的路的模型，当频率过高时，会 降低求解精度。
所以可以得到
Ls1 = L1 (1 − M 12 2 ) = L1 (1 − k 2 ) L1 L2
(8)
其中 k = M 12 为耦合系数 L1 L2 当绕组完全耦合时，耦合系数 k = 1 ，此时漏感为 0，即初级和次级绕组间没有任何磁通泄漏。 当两绕组耦合紧密时，耦合系数 k 接近于 1，令 k = 1 − δ ， δ → 0 ，可以得到：
(1)
其中 Li （ i ≤ m ）为各套绕组的自感， M ij 为绕组间的互感，而且有 M ij
(i ≠ j )
= M ji 。
" M 1m " M 2m " M 3m % # " Lm
将式(1)的矩阵定义为 M，则
L1 M 21 M = M 31 # M m1 பைடு நூலகம் 12 L2 M 32 # M m2 M 13 M 23 L3 # M m3
[1] 李建兵 牛忠霞 周东方 师宇杰, “印制板平面变压器及其设计方法”, 《电气应用》2006 年第 25 卷第 2 期 [2] 时米生, “铁氧体平面变压器的结构原理与应用” 2003`中国电子变 压器第一届联合学术年会论文集.
其中，绕组 2 铜箔截面窄，匝数多，分上下两层串联 同向密绕，1、3、4 绕组结构类似，截面宽，匝数相同。 在 CST 电磁工作室™中，根据四套平面绕组的绕线 路径和铜箔的宽度、厚度定义四个闭合线圈作为激励源， 材料选用理想导体。启动其中的静磁求解器即可得到四个 绕组的自互感矩阵： 自感 计算值 (H) 4.6336e-005 1.66395e-003 4.63357e-005 4.63407e-005 计算值 (H) 2.77314e-004 4.62315e-005 4.62486e-005 2.77321e-004 2.77330e-004 4.62261e-005
图 1. 两线圈原理图
对于两套绕组，根据(3)式可以得到：
图 2. CST EMS™中仿真的平面变压器电路原理图
⎛ L jω ⎜ 1 ⎝ M12
M12 ⎞⎛ I1 ⎞ ⎛ U1 ⎞ ⎟⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ L2 ⎠⎝ I 2 ⎠ ⎝ U 2 ⎠
(10)
经过转换后得到：
⎛ I1 ⎞ 1 ⎛ L2 / M ⎜ ⎜ ⎟= ⎝ I 2 ⎠ jω ⎝ − M12 / M − M 21 / M L1 / M ⎞ ⎛ U1 ⎞ ⎟⎜ ⎟ ⎠ ⎝U 2 ⎠
该平面变压器有四套绕组和一个 EE 形的铁氧体磁 芯，绕组为交叉结构的矩形螺旋形薄铜层，磁芯能起到屏 蔽作用，可以抑制射频干扰。
(11)
2
数
Li L j ( i ≠ j ) ，表明绕组间耦合十分紧密。由于绕组
1、3、4 结构类似，因此这 3 套绕组的自互感值接近。 通过式(3)(8)的转换，由表 1 中的自互感得出表 2 四 套绕组的短路电感，即漏感。绕组 1、3、4 的漏感均在 110nH 附近。为了保证漏感计算的精确性，必须提高自互 感模型数据的精度，保留多位有效数字。若将表 1 的数据 均只保留 4 位有效数字，推导出各绕组的漏感将与表 2 中 的相差很大。
从表 1 中可以看到任意两绕组之间的互感系数
3
(2)
（ i ≤ m ），根据集总元件路的模型可以得到：
⎛ L1 ⎜ ⎜ M 12 jω ⎜ M 13 ⎜ ⎜ # ⎜M ⎝ 1m M 12 L2 M 23 # M 2m M 13 M 23 L3 # M 3m
设各套绕组上的电流和端电压分别为 I i 、 U i
" M 1m ⎞⎛ I1 ⎞ ⎛ U1 ⎞ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ " M 2 m ⎟⎜ I 2 ⎟ ⎜ U 2 ⎟ " M 3m ⎟⎜ I 3 ⎟ = ⎜ U 3 ⎟ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ % # ⎟⎜ # ⎟ ⎜ # ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ " Lm ⎟⎜ ⎠⎝ I m ⎠ ⎝ U m ⎠
⎛ I1 ⎞ ⎛ Q11 Q12 ⎜ ⎟ ⎜ I ⎜ 2 ⎟ 1 ⎜ Q21 Q22 ⎜ I3 ⎟ = ⎜ Q31 Q32 ⎜ ⎟ jω ⎜ # ⎜ # ⎟ ⎜ # ⎜I ⎟ ⎜Q ⎝ m⎠ ⎝ m1 Qm 2 Q13 Q23 Q33 # Qm 3 " Q1m ⎞ ⎛ U1 ⎞ ⎟ ⎟ " Q2 m ⎟ ⎜ ⎜0⎟ " Q3m ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎟⎜ ⎟ % # ⎟⎜ # ⎟ ⎜ ⎟ " Qmm ⎟ ⎠⎝ 0 ⎠
由式(15)可以看出，绕组的漏感是由其自身的自感系 数以及绕组间的耦合系数所决定的。耦合紧密时，自互感 模型数据的微小相对误差将会导致绕组间耦合系数的非常 大的绝对误差，从而使得推导 出的漏感产生很大的误 差。因此为了保证计算出的漏感值精确可靠，其对绕组的 自互感值的精度有很高要求。 IV. 平面变压器仿真 本文中我们将采用 3D 通用电磁仿真软件 CST 电磁工 作室™对一个多层平面变压器进行仿真计算，并推导出其 各绕组的漏感。
II. 自互感模型到漏感的换算 对于 m 套绕组的平面变压器，各套绕组记作 Wi （ i ≤ m ），其自互感模型为：
⎛ L1 ⎜ ⎜ M 21 ⎜ M 31 ⎜ ⎜ # ⎜M ⎝ m1 M 12 L2 M 32 # M m2 M 13 M 23 L3 # M m3 " M 1m ⎞ ⎟ " M 2m ⎟ " M 3m ⎟ ⎟ % # ⎟ " Lm ⎟ ⎠