计算机图形学 定点数和浮点数
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1. 求X=256.5 的浮点表示格式
X=(256. 5)10 =+(100000000.1)2 =+(0.1000000001 •2+9 )2
8位阶码为：（+9）补=0 000 1001 24位尾数为：(+0.10 0000 0001)补
=0.100 0000 0010 0000 0000 0000
微机中浮点数表示成规格化形式，如下图所
示：
单精度
31 30 23 22
0
符号位 阶 码 尾数有效位
双精度
63 62 符号位 阶
1·
52 51
0
码 尾数有效位
பைடு நூலகம்
扩展精度 79 78 符号位 阶
1·
64 63
0
码 尾数有效位
微机中浮点数的三种表示形式
例如将十进制数178.125表示成 微机中的单精度浮点数
0011 ,1111,0101,1000,0000,0000,0000,0000
数符:S=(-1) 0=1 （正号） 阶码: E=(01111110)2-127=126-127= -1 尾数: D=(1.1011)2 X= 1.1011x2-1= (0.11011)2=0.84375
3.3 二进制乘法运算
（3） 溢出问题
定点数的溢出——根据数值本身判断 浮点数的溢出——根据规格化后的阶码判断
上溢——浮点数阶码大于机器最大阶码 ——
中断 下溢——浮点数阶码小于机器最小阶码 ——
零处理
溢出的具体判断方法将结合实例在后续课程中 介绍
3.微机中所能表示的数值类 型
（1）无符号二进制数（字节、字和双字 ）
值最高位之前。
. 如：D0 D-1 • • • • • • D-(n-2) D-(n-1)
范围：1 - 2-(n-1) ~ -1 (采用字长n=16位时其值 为32767/32768 ~ -1)
其中n表示字长多少位
2. 数的浮点表示方法
（1）M浮s 点数的E表示：是把M字长分成阶 码和尾数两部分。其根据就是： N=M·RE
1.软件编程方法实现
由手算到机器实现，要解决三个问题：符 号问题、部分积相加进位问题、移位问题。
原码乘法是先取绝对值相乘，再根据同号 相乘为正、异号相乘位负，单独决定符号位。
补码乘法则让符号位直接参加运算，算法 将会复杂一些。
2.硬件快速乘法器实现
利用中大规模集成电路芯片，在一拍节中
实现多项部分积的相加，成为阵列乘法器。
所求256.5的浮点表示格式为：
0 0 000 1001 100 0000 0010 0000 0000 0000
2. 求Y= -256.5 的浮点表示格式
Y=-(256. 5)10 =-(100000000.1)2 =-0.1000000001×2+9 8位阶码为：(+9)补=0000 1001 24位尾数为：(-0.10 0000 0001)补 =1.011 1111 1110 0000 0000 0000 所求-256.5的浮点表示格式为： 1 0000 1001 011 1111 1110 0000 0000 0000
（2）带符号的二进制定点整数形式（16 、32、64位补码表示)和18位BCD码整数形 式(80bit)。 （3）浮点数（IEEE754标准） 包括数符 S、阶码E和尾数D三个字段。
微机中的四种整数类型
整数类型 数值范围 精 度 格 式 16位整数 -32768~32767 二进制16位 补码表示
1. 数的定点表示方法
(1). 定点整数——小数点位置固定在数的最低位之后
. 如： Dn-1 Dn-2 • • • • • • D1 D0
范围： 2n-1 -1 ~ -2n-1 (采用字长n=16位补码 时其值为32767 ~ -32768)
(2). 定点小数——小数点位置固定在数的符号位之后、数
正数的尾数应为0.1x….x 负数的尾数应为1.1x….x
尾数用补码表示时，小数最高位应与数符符号 位相反。
正数应满足 1/2≦d<1，即 0.1x….x
例题：设某机器用32位表示一个实数，阶码部 分8位（含1位阶符），用定点整数补码表示； 尾数部分24位（含数符1位），用规格化定点小 数补码表示，基数为2。则：
1位
n+1位
m位
通常，阶码为补码或移码定点整数，尾数为补码
或原码定点小数。
规格化问题
目的：字长固定的情况下提高表示精 度的措施：
1 增加尾数位数（但数值范围减小） 2 采用浮点规格化形式
规格化方法：调整阶码使尾数满足下列关系：
尾数为原码表示时，无论正负应满足1/2≦|d
|<1
即：小数点后的第一位数一定要为1。
计算机图形学 定点数和 浮点数
2020年5月17日星期日
3.2.3 定点数和浮点数
—计算机中的两种表示方式
数值范围：一种数据类型所能表示的最大值和 最小值 数据精度：实数所能表示的有效数字位数。
数值范围和数据精度均与使用多少位二进制位
数以及编码方式有关。
计算机用数字表示正负，隐含规定小数点。 采用“定点”、“浮点”两种表示形式。
3.3.1 定点数一位乘法 1. 定点原码一位乘
乘法规则推导：(以四位数相乘为例）
短整数 -231~ 231-1 二进制32位 补码表示 长整数 -263~ 263-1 二进制64位 补码表示 BCD整数 -1018+1~1018-1 十进制18位 80个二进 制其中最左面1字节的最高位是符号位，余7位无 效；另外72位是18位BCD码，原码表示。
IEEE754标准格式如下
(-1)S 2E (D0.D-1……D-(P-1)) 最高是数符S占1位，0表示正、1表示负 ；指数项E，基数是2，E是一个带有一定 偏移量的无符号整数；尾数部分D，它是 一个带有一位整数位的二进制小数值形式 。其规格化形式应调整阶码使其尾数整数 位D0为1且与小数点一起隐含掉。
解:178.125=10110010.001B =1.0110010001×27
指数E=7+127=134=10000110B 127是单精度浮点数应加的指数偏移量，其完整的 浮点数形式为 ： 0 10000110 011 0010 0010 0000 0000 0000 = 43322000H
例:将下面Pentium机中的单精度浮点数 表示成十进制真值是多少？
X=(256. 5)10 =+(100000000.1)2 =+(0.1000000001 •2+9 )2
8位阶码为：（+9）补=0 000 1001 24位尾数为：(+0.10 0000 0001)补
=0.100 0000 0010 0000 0000 0000
微机中浮点数表示成规格化形式，如下图所
示：
单精度
31 30 23 22
0
符号位 阶 码 尾数有效位
双精度
63 62 符号位 阶
1·
52 51
0
码 尾数有效位
பைடு நூலகம்
扩展精度 79 78 符号位 阶
1·
64 63
0
码 尾数有效位
微机中浮点数的三种表示形式
例如将十进制数178.125表示成 微机中的单精度浮点数
0011 ,1111,0101,1000,0000,0000,0000,0000
数符:S=(-1) 0=1 （正号） 阶码: E=(01111110)2-127=126-127= -1 尾数: D=(1.1011)2 X= 1.1011x2-1= (0.11011)2=0.84375
3.3 二进制乘法运算
（3） 溢出问题
定点数的溢出——根据数值本身判断 浮点数的溢出——根据规格化后的阶码判断
上溢——浮点数阶码大于机器最大阶码 ——
中断 下溢——浮点数阶码小于机器最小阶码 ——
零处理
溢出的具体判断方法将结合实例在后续课程中 介绍
3.微机中所能表示的数值类 型
（1）无符号二进制数（字节、字和双字 ）
值最高位之前。
. 如：D0 D-1 • • • • • • D-(n-2) D-(n-1)
范围：1 - 2-(n-1) ~ -1 (采用字长n=16位时其值 为32767/32768 ~ -1)
其中n表示字长多少位
2. 数的浮点表示方法
（1）M浮s 点数的E表示：是把M字长分成阶 码和尾数两部分。其根据就是： N=M·RE
1.软件编程方法实现
由手算到机器实现，要解决三个问题：符 号问题、部分积相加进位问题、移位问题。
原码乘法是先取绝对值相乘，再根据同号 相乘为正、异号相乘位负，单独决定符号位。
补码乘法则让符号位直接参加运算，算法 将会复杂一些。
2.硬件快速乘法器实现
利用中大规模集成电路芯片，在一拍节中
实现多项部分积的相加，成为阵列乘法器。
所求256.5的浮点表示格式为：
0 0 000 1001 100 0000 0010 0000 0000 0000
2. 求Y= -256.5 的浮点表示格式
Y=-(256. 5)10 =-(100000000.1)2 =-0.1000000001×2+9 8位阶码为：(+9)补=0000 1001 24位尾数为：(-0.10 0000 0001)补 =1.011 1111 1110 0000 0000 0000 所求-256.5的浮点表示格式为： 1 0000 1001 011 1111 1110 0000 0000 0000
（2）带符号的二进制定点整数形式（16 、32、64位补码表示)和18位BCD码整数形 式(80bit)。 （3）浮点数（IEEE754标准） 包括数符 S、阶码E和尾数D三个字段。
微机中的四种整数类型
整数类型 数值范围 精 度 格 式 16位整数 -32768~32767 二进制16位 补码表示
1. 数的定点表示方法
(1). 定点整数——小数点位置固定在数的最低位之后
. 如： Dn-1 Dn-2 • • • • • • D1 D0
范围： 2n-1 -1 ~ -2n-1 (采用字长n=16位补码 时其值为32767 ~ -32768)
(2). 定点小数——小数点位置固定在数的符号位之后、数
正数的尾数应为0.1x….x 负数的尾数应为1.1x….x
尾数用补码表示时，小数最高位应与数符符号 位相反。
正数应满足 1/2≦d<1，即 0.1x….x
例题：设某机器用32位表示一个实数，阶码部 分8位（含1位阶符），用定点整数补码表示； 尾数部分24位（含数符1位），用规格化定点小 数补码表示，基数为2。则：
1位
n+1位
m位
通常，阶码为补码或移码定点整数，尾数为补码
或原码定点小数。
规格化问题
目的：字长固定的情况下提高表示精 度的措施：
1 增加尾数位数（但数值范围减小） 2 采用浮点规格化形式
规格化方法：调整阶码使尾数满足下列关系：
尾数为原码表示时，无论正负应满足1/2≦|d
|<1
即：小数点后的第一位数一定要为1。
计算机图形学 定点数和 浮点数
2020年5月17日星期日
3.2.3 定点数和浮点数
—计算机中的两种表示方式
数值范围：一种数据类型所能表示的最大值和 最小值 数据精度：实数所能表示的有效数字位数。
数值范围和数据精度均与使用多少位二进制位
数以及编码方式有关。
计算机用数字表示正负，隐含规定小数点。 采用“定点”、“浮点”两种表示形式。
3.3.1 定点数一位乘法 1. 定点原码一位乘
乘法规则推导：(以四位数相乘为例）
短整数 -231~ 231-1 二进制32位 补码表示 长整数 -263~ 263-1 二进制64位 补码表示 BCD整数 -1018+1~1018-1 十进制18位 80个二进 制其中最左面1字节的最高位是符号位，余7位无 效；另外72位是18位BCD码，原码表示。
IEEE754标准格式如下
(-1)S 2E (D0.D-1……D-(P-1)) 最高是数符S占1位，0表示正、1表示负 ；指数项E，基数是2，E是一个带有一定 偏移量的无符号整数；尾数部分D，它是 一个带有一位整数位的二进制小数值形式 。其规格化形式应调整阶码使其尾数整数 位D0为1且与小数点一起隐含掉。
解:178.125=10110010.001B =1.0110010001×27
指数E=7+127=134=10000110B 127是单精度浮点数应加的指数偏移量，其完整的 浮点数形式为 ： 0 10000110 011 0010 0010 0000 0000 0000 = 43322000H
例:将下面Pentium机中的单精度浮点数 表示成十进制真值是多少？