有限元法2011-概述

第1讲 概述
1.2 求解过程
有限元方法的3种解法
位移法 力法 混合法
第1讲 概述
1.2 求解过程（续）
求解的一般步骤 结构的离散化 选择位移模式 建立平衡方程 求解节点位移 计算单元中的应力和应变
第1讲 概述
1.2 求解过程－离散化
将分析的结构物分割成有限个单元体， 使相邻的单元体仅在节点处相连接，而 以如此单元的结合体去代替原来的结构。 划分单元、简化约束、移置载荷 单元、网格、节点
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第1讲 概述
1.3 基本概念－单元形函数（续）
二次曲线的线性近 (不理想结果) DOF值二次分布 真实的二次曲线
.
1
节点 单元 线性近似 (更理想的结果)
.
2
真实的二次曲线
.
节点 单元
.
二次近似 (接近于真实的二次近似拟合) (最理想结果)
.. . . .
3
节点 单元
.
4
节点 单元
.
28
第1讲 概述
第1讲 概述
1.2 求解过程－位移模式
首先对单元假设一个位移差值函数，或称之为位移 模式，得到用节点位移表示单元体内任一点的唯一 的关系式
{ f } [ N ]{ }
位移函数、形函数、节点位移向量 应变－位移关系、应力－应变关系
e
{ } [ B ]{ }e { } [ D ][ B ]{ }
du dx

i x
ui 1 ui li E ( ui 1 ui ) li
E
第1讲 概述
1.4 一维实例－外载荷
第i个结点上承受的外载荷
q ( li 1 li ) 2 EA( ui ui 1 ) li 1

EA( ui 1 ui ) li

q ( li 1 li ) 2
自由度(DOFs) 用于描述一个物理场的响应特性。
UY ROTY
方向 结构 热 电 流体 磁
自由度 位移 温度 电位 压力 磁位
ROTZ UZ
UX ROTX
结构 DOFs
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第1讲 概述
1.3 基本概念－单元和节点
载荷 节点: 空间中的坐标位置，具有一定自由度和 存在相互物理作用。
单元:
一组节点自由度间相互作用的数值、矩阵 描述（称为刚度或系数矩阵)。单元有线、 面或实体以及二维或三维的单元等种类。
e
第1讲 概述
1.2 求解过程－建立平衡方程及求解
可利用最小势能原理建立结构的节点载荷和 节点位移之间的关系式，即结构的平衡方程
[k ][ ] [ p]
将线性代数方程组代入边界条件后，经 解算可求得所有未知的结点位移。
第1讲 概述
1.2 求解过程－单元分析
依据求得的结点位移，可求得单元中任 一点的应变和应力
历史典故 • 结构分析的有限元方法是由一批学术界和工业界的研究者在二 十世纪五十年代到二十世纪六十年代创立的。 • 有限元分析理论已有100多年的历史，是悬索桥和蒸汽锅炉进行 手算评核的基础。
10
第1讲 概述
1.1 有限元法概述（续）
有限单元法（FEM）
将连续的结构离散成有限个单元，并在每一单元中设定 有限个节点，将连续体看作只在节点处相连接的一组单 元的集合体。 选定场函数的节点值作为基本未知量，并在每一单元中 假设一近似差值函数已表示单元中场函数的分布规律。 利用力学中的某种变分原理去建立用以求节点未知量的 有限单元法方程，将一个连续域中有限自由度问题化为 离散域中有限自由度问题。
( x xi )
x xi xi 1 xi
u [ N ]{ }
xi 1 x xi 1 xi
]
{ } [ui u i 1 ]
第1讲 概述
1.4 一维实例－单元应变和应力
有了位移插值函数，就可以按材料力学
1.4 一维实例－问题描述
直杆受自重作用的简单拉伸问题
第1讲 概述
1.4 一维实例－位移函数
就整个直杆来说，位 移函数U(x)是未知的， 但对每一单元可以近 似地假设一位移函数， 它在结点上等于结点 位移。此处，假设单 元中的位移按线性分 布 ，即：
u ui [N ] [
e
ui 1 ui li e
第1讲 概述
1.1 有限元法概述（续）
解析解与数值解
解析解表明了系统在任何点上的精确行为 数值解只在称为节点的离散点上近似于解 析解
第1讲 概述
1.1 有限元法概述（续）
有限元分析（FEA）是利用数学近似的方法对真实物理
系统（几何和载荷工况）进行模拟。还利用简单而又相 互作用的元素，即单元，就可以用有限数量的未知量去 逼近无限未知量的真实系统。
载荷
有限元模型由一些简单形状的单元组成，单元之间通过节点连 接，并承受一定载荷。
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第1讲 概述
1.3 基本概念－单元和节点（续）
信息是通过单元之间的公共节点传递的。
2 nodes
. . .
B
1 node
. .
A
. .
. .
A
. .
B
具有公共节点的单元 之间存在信息传递
. .
25
.
分离但节点重叠的单元 A和B之间没有信息传递 （需进行节点合并处理）
第1讲 概述
1.4 一维实例－计算
假定将直杆分割成3个单元，每个单元长为 a=L/3，则对结点2，3，4列出的平衡方程为：
(2u2 u3 ) qa EA a ( u2 2u3 u4 ) qa EA ( u u ) qa 3 4 a 2
EA a
[k ][ ] [ p ] { } [u2 u3 u4 ]
T
{ p} [qa qa
qa / 2]
T
2 1 0 EA [k ] a 1 2 1 0 1 1
联立求解方程组得：
u2 u3 u4
qa 2 5 2 EA qa 2 8 2 EA qa 2 9 2 EA
非线性有限元基础
我们的资源
主要教材： 蒋友谅著《非线性有限元法》 凌道盛编著《非线性有限元及程序》
非线性有限元基础
我们的资源
参考书籍： 《简明有限元法》，张允真 编，辽宁科学技术出版 社，1984年9月 《连续体和结构的非线性有限元》，庄茁 译，清华 大学出版社，2001年12月 《非线性有限元分析》，张汝清 詹先义，重庆：重 庆大学出版社，1990 《非线性有限元》，吕和祥 蒋和洋，北京：化学工 业出版社，1992 《弹性和塑性力学中的有限单元法》，谢贻权 何福 保，北京：机械工业出版社，1987。
J
O P 三维实体结构单元 UX, UY, UZ M L N
O
三维实体热单元 TEMP
K
I
J
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第1讲 概述
1.3 基本概念－单元形函数
FEA仅仅求解节点处的DOF值。 单元形函数是一种数学函数，规定了从节点DOF值 到单元内所有点处DOF值的计算方法。 因此，单元形函数提供出一种描述单元内部结果的 “形状”。 单元形函数描述的是给定单元的一种假定的特性。 单元形函数与真实工作特性吻合好坏程度直接影响 求解精度。
{ } [ B ]{ }
e e
{ } [ D ][ B ]{ }
第1讲 概述
1.3 基本概念－物理系统实例
几何体 载荷 物理系统
结构
热
电磁
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第1讲 概述
1.3 基本概念－有限元模型
有限元模型 是真实系统理想化的数学抽象。
真实系统
有限元模型
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第1讲 概述
1.3 基本概念－自由度
第1讲 概述
1.3 基本概念－单元和节点（续）
节点自由度是随连接该节点 单元类型 变化的。
J
J 三维杆单元 (铰接) UX, UY, UZ
I L K
I
三维梁单元 UX, UY, UZ, ROTX, ROTY, ROTZ
二维或轴对称实体单元 UX, UY
I I P M L N K J I
L
K J 三维四边形壳单元 UX, UY, UZ, ROTX, ROTY, ROTZ
非线性有限元基础
北京交通大学
机械与电子控制工程学院
主讲教师：张乐乐
Email：llzhang1@ Tel：51684839 Office：机械实验馆311
非线性有限元基础
专题

概述 线性弹性有限元法 应力的状态分析与张量记法 材料非线性问题 几何非线性问题 双重非线性问题 边界（接触）非线性有限元法 ANSYS软件应用
非线性有限元基础
考试，占成绩的50％ 作业：相关内容的推导与自学笔记，占 成绩40％ 平时测评：10％
非线性有限元基础
第1讲 概述
1.1 1.2 1.3 1.4
有限元方法概述 求解过程 基本概念 一个简单的一维实例
第1讲 概述
1.1 有限元法概述
工程问题的解决方案
工程问题一般是物理情况的数学模型 解决方案是对实际问题进行数学模型的 抽象和求解的过程