次正交矩阵.

次正交矩阵

摘要

本文主要对次正交矩阵、向量的次正交、次正交规范基、次正交变换及子空间的次正交等内容作了一些探讨。对照正交矩阵讨论了次正交矩阵的性质，总结出了一个有关向量与自身次正交的结论。进一步地，给出了n维欧氏空间n R中次正交规范基和次正交变换的定义，并且得到了次正交规范基及次正交变换的一些重要性质。最后，参照空间正交的定义，给出了子空间次正交的定义，并得出了一些结论。

关键词：次正交矩阵，次正交规范基，次正交变换，子空间的次正交

ABSTRACT

In this paper, some contents about sub-orthogonal matrix, sub-orthogonal vectors, sub-orthogonal normalized basis, sub-orthogonal transformations and sub-orthogonal subspace are discussed mostly. According to orthogonal matrix, we discuss the properties of sub-orthogonal matrix. And we also draw a conclusion about the sub-orthogonality between vector and itself. What’s more, we give the definitions of sub-orthogonal normalized basis and sub-orthogonal transformations in n-dimension Euclidean space n R. And some important properties of sub-orthogonal normalized basis and sub-orthogonal transformations are gained, too. Finally, we obtain the definition of sub-orthogonal subspace and some conclusions referring to the orthogonal subspace.

Key words:sub-orthogonal matrix, sub-orthogonal normalized basis, sub-orthogonal transformations, sub-orthogonal subspace

目录

摘要.............................................. I ABSTRACT............................................. I I

0 引言 (1)

1 预备知识 (1)

1.1 常用符号和基本定义 (1)

1.2 基本引理 (2)

2 正交矩阵的性质 (2)

2.1 正交矩阵的定义 (2)

2.2 正交矩阵的性质 (3)

3 次正交矩阵 (3)

3.1 次正交矩阵的定义 (3)

3.2 次正交矩阵的性质 (4)

4 欧氏空间的次正交变换及其性质 (10)

4.1 次正交规范基 (10)

4.2 次正交变换 (13)

5 子空间的次正交 (15)

参考文献 (17)

0 引言

矩阵是线性代数中的核心内容，而正交矩阵是一种较常用的矩阵.正交矩阵在线性代数、拓扑、近似代数、化学、物理等多学科中都有广泛应用.有一些矩阵虽然不是正交矩阵，但却具有与正交矩阵相似的性质，这就是广义的正交矩阵.根据不同的定义可以讨论不同的广义正交矩阵.本文就讨论了广义正交矩阵中的一种——次正交矩阵.

近年来对次对称矩阵与次正交矩阵的研究较多，由于A 为次对称矩阵的充分必要条件为JA 对称，所以次对称矩阵的研究较为容易.而当A 为次正交矩阵时，JA 并不一定是正交矩阵，而且A 是否次对称还与A 的列与行的排列顺序有关.所以正交矩阵所具有的性质有很多就不能推广到次正交矩阵上来，这就使得对次正交矩阵的研究有一定的困难，但同时也更有意义.

而在本文中，就研究了矩阵的列（或行）换位对次正交矩阵的影响、向量与自身次正交的充要条件、次正交变换在什么情形下能保持内积不变以及子空间的次正交等方面的内容，并得到了一些结论.这些都是次正交矩阵中还没有被深入研究的部分.

1 预备知识

1.1 常用符号和基本定义

本文中的矩阵均为实数范围内的矩阵.文中,用n m R ⨯表示实n m ⨯阶矩阵的集合;用I 表示单位矩阵; 用T A 、*A 和||A 分别表示n 阶方阵A 的转置矩阵、伴随矩阵和行列式.

定义1.1.1]1[ 设()ij A a =为n m ⨯矩阵，()ij B b = (其中1,1ij m j n i b a -+-+=)为n m ⨯矩阵，称B

为A 的次转置矩阵，记作ST B A =．

若ST A A =，称A 为次对称矩阵；若ST A A =-，称A 为反次对称矩阵.

例如 =A 1234567389620851⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

是一个四阶次对称矩阵. =B 123056038062085

1---⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭ 是一个四阶反次对称矩阵. 定义1.1.2]1[ 次对角线上的元素全为1，其余元素全为0的矩阵，我们将其称作次单位

矩阵，用J 来表示． 显然有 J J ST = I J =2.

1.2 基本引理

引理1.2.1]1[ 设A 是一个n m ⨯矩阵，则 T m ST n A J A J = 或 ST m T n A J A J =

推论1.2.1]1[

(1) ()ST ST A A =

(2) ()ST ST ST A B A B +=+ (A 与B 是同阶矩阵)

(3) ST ST A A λλ=)( (λ是常数)

(4) ()ST ST ST AB B A = (A 是s m ⨯矩阵，B 是n s ⨯矩阵).

引理1.2.2]1[ 设A 是n 阶方阵，则ST A A =.

引理1.2.3]1[ 设A 是可逆的n 阶方阵，则ST A 也可逆，且()()11ST ST A A --=.

引理1.2.4]2[ ()12121,,,,ααααααα -=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n n ST n

引理1.2.5]2[ 设⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=pq p p q q A A A A A A A A A A

212222111211是一个分块矩阵，其中ij A 是子块. 则 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=------ST ST p ST p ST q ST q p ST q p ST q ST q p ST pq ST A A A A A A A A A A 112,11

,1,11,11,,1,1 .

2 正交矩阵的性质

为了更好地研究次正交矩阵，我们可以先对正交矩阵的基本内容做一个归纳总结.当然，由于我们对正交矩阵的性质很熟悉，所以有些就不具体给出其证明了.