次正交矩阵.
初等变换法由正交矩阵得出二次型的标准型_概述及解释说明
初等变换法由正交矩阵得出二次型的标准型概述及解释说明1. 引言1.1 概述初等变换法由正交矩阵得出二次型的标准型是矩阵理论中一个重要且常用的概念。
通过进行一系列的初等变换和利用正交矩阵，我们可以将给定的二次型转化为标准型，从而简化问题的求解过程。
本文将对初等变换法和正交矩阵进行介绍，并说明它们在得出二次型的标准型中起到的关键作用。
1.2 文章结构本文共分为五个部分：引言、初等变换法与正交矩阵、二次型的标准型、初等变换法由正交矩阵得出二次型的标准型以及结论。
首先，在引言部分将对整篇文章的内容进行概述，并说明文章结构。
接下来，将详细介绍初等变换法和正交矩阵的概念及其性质，并讨论它们之间的关联性。
然后，我们会深入探讨二次型及其标准型的定义、意义以及性质。
紧接着，在给定了必要背景知识后，我们将介绍如何使用初等变换法和正交矩阵来得到二次型的标准型，包括具体的步骤和计算方法。
最后，在结论部分对全文进行总结，并讨论初等变换法由正交矩阵得出二次型的标准型在实际问题中的应用价值。
1.3 目的本文旨在通过概述和解释说明初等变换法由正交矩阵得出二次型的标准型，帮助读者充分理解初等变换法与正交矩阵在矩阵理论中的重要性以及它们在处理二次型问题中的作用。
同时，本文还将提供详细的步骤和计算方法，使读者能够从实际问题出发，灵活运用这种方法来求解相关的数学和工程问题。
2. 初等变换法与正交矩阵2.1 初等变换法介绍初等变换是线性代数中一种重要的操作，它可以通过对矩阵进行一系列基本运算来改变矩阵的形态。
常见的初等变换包括行交换、行倍乘以一个非零数和第j行加上第i行的k倍。
2.2 正交矩阵概述正交矩阵是指满足其转置矩阵乘以自身结果为单位矩阵的方阵。
简而言之，正交矩阵的转置就是它的逆矩阵。
具体而言，设A为n×n的实矩阵，若满足A^T⋅A=I (其中I为n×n的单位矩阵)，则称A为正交矩阵。
在线性代数中，正交矩阵有很多重要性质和应用。
正交矩阵
2.积也是正交阵;
3.行列式的值为正1或负1。
任何正交矩阵的行列式是+1或−1。这可从关于行列式的如下基本事实得出：（注：反过来不是真的；有+1行 列式不保证正交性，即使带有正交列，可由下列反例证实。）
对于置换矩阵，行列式是+1还是−1匹配置换是偶还是奇的标志，行列式是行的交替函数。 比行列式限制更强的是正交矩阵总可以是在复数上可对角化来展示特征值的完全的集合，它们全都必须有(复 数)绝对值1 。
正交矩阵的最基本置换是换位(transposition)，通过交换单位矩阵的两行得到。任何n×n置换矩阵都可以 构造为最多n−1次换位的积。构造自非零向量v的Householder反射，这里的分子是对称矩阵，而分母是v的平方 量的一个数。这是在垂直于v的超平面上的反射(取负平行于v任何向量分量)。如果v是单位向量，则Q=I−2vv就 足够了。Householder反射典型的用于同时置零一列的较低部分。任何n×n正交矩阵都可以构造为最多n次这种反 射的积。
置换是很多算法成功的根本，包括有局部定支点(partialpivoting)的运算繁重的高斯消去法(这里的置换 用来定支点)。但是它们很少明显作为矩阵出现；它们的特殊形式允许更有限的表示，比如n个索引的列表。
同样的，使用Householder和Givens矩阵的算法典型的使用特殊方法的乘法和存储。例如，Givens旋转只影 响它所乘的矩阵的两行，替代完全的n次的矩阵乘法为更有效的n次运算。在使用这些反射和旋转向矩阵介入零的 时候，腾出的空间足够存储充足的数据来重生成这个变换 。
正交矩阵的逆是正交的，两个正交矩阵的积是正交的。事实上，所有n×n正交矩阵的集合满足群的所有公理。 它是n(n−1)/2维的紧致李群，叫做正交群并指示为O(n)。
正交矩阵对称矩阵
其中，1 的个数 k 称为 A 的正惯性指数、-1 的个数 r-k 称为负正惯性指数， 它们是由矩阵 A 唯一确定的， r 是矩阵 A 的秩，2k-r 称为 A 的符号差。
几何意义： ϕ ( x ) = x T Ax 定义了 n 维向量空间上的一个二次齐次函数， 定理 1 说明存在一个满秩线性变换 y = P −1 x ，使得二次齐次函数在新的坐 标基下有下述规范形
（2）
θ 为参数。
至于 sin θ = 0 时，A 必为下述四种情况之一：
1 0 − 1 0 1 0 −1 0 0 1 ， 0 − 1 ， 0 − 1 ， 0 1 Nhomakorabea
前两种情况，可归为（2）中的第一个矩阵（ θ =0，Pi） ；后两种情况可归为 。总之，2 阶正交阵可以表示为（2）的 （2）中的第二个矩阵（ θ =0，Pi） 形状。
如果实矩阵 A 满足 AT=A，则称 A 是对称矩阵。
I 合同、二次曲面的射影与仿射分类
(I.1) 合同
若存在可逆矩阵 P 使得 PTAP=B，则称 A，B 为两个合同矩阵。
定理 1：对称矩阵 A 必合同于对角阵，即存在可逆矩阵 P 使得
PTAP=diag(1,1,…,1,-1,…,-1,0,…,0)。
虚椭球面（虚曲面） 椭球面或双叶双曲面或椭圆抛物面 单叶双曲面或双叶抛物面 虚锥面 实锥面或柱面 一对虚平面（虚曲面） 一对实平面 二个重合的平面
x12 = 0
二次曲线的射影分类：
A 的秩 3 3 2 2 1
符号差 方 程 虚曲线 圆锥曲线 一对虚曲线 一对实直线 重合直线 曲 面
3 1 2 0 1
前者表示旋转，后者表示关于 s 轴的反射变换，如图所示：
次可逆矩阵及其性质
，
如果 数域 Ｐ上 的 阶方 阵 Ａ 满 足 Ａ 一Ｅ， Ａ 则称 Ａ 为次 正 交 矩 阵． 然 ， Ｊ均 为 次正 显 Ｅ，
＋ｌ Ｊ， ｉ 一 １， ， ． — ， … ”
” 中心对称 矩 阵当且 仅 当 Ｃ 是 Ｊ一． ， Ｃ
２ 主 要 结论 及 证 明
次可逆 矩阵 的若 干性质 ， 出一系列 新 的结论 ． 得
Байду номын сангаас
这 里 阶单位 矩阵 记为 Ｅ ； ”阶次单 位矩 阵 记 为 ｔ ， 次对 角线 上 元 素全 是 １其余 各 位 置 的元 素 ， 即 都是 ０的矩 阵． Ａ 用 表示 矩阵 Ａ 的转 置矩 阵 ， Ａ 表示 矩阵 Ａ 的次转 置矩 阵 ．Ａ ｌ 用 １ 表示 阶矩 阵 Ａ 的 行 列式 ． 容易看 出 ． ＝Ｉ ， ， ， Ｊ 一Ｅ．
定 义 １２ 一 个 阶方 阵 Ａ＝（ 叫做 次 对称 矩 阵 ： 设 ａ ＿ ｌ ］ ｎ） 假 —ａ ～ （， 一１ ２ … ， ） 一个 ＋一 ｊ ， ， ｎ ；
阶方 阵 Ａ一（ ） 口 叫做反 次对称 矩 阵 ； ， 假若 ａ 一－ ａ＋～ （， － ＋一 ｉ 一１ ２ … ， ） ，， ， ． ｚ
［ 摘
的结 果 ．
要］ 给 出 次可 逆 矩 阵 和矩 阵次 逆 的概 念 ， 论 了 次 可 逆 矩 阵 和 矩 阵 次 逆 的 若 干 性 质 ， 出 了一 些 新 讨 得
［ 关键 词］ 次可 逆 矩 阵 ； 阵 的 次 逆 ； 矩 中心 对 称 矩 阵 ； 单位 矩 阵 次
［ 图 分 类 号］ ０１１ ２ 中 ５． １
推论 １ 设 Ａ＝（ 是 阶次可逆 矩阵 ， Ａ 是 中心对称 矩阵． ｎ） 则
J_次正交矩阵及其性质
2009年 1 月 Journal of Science of Teachers′College and University Jan. 2009文章编号：1007-9831（2009）01-0037-04J -次正交矩阵及其性质刘玉，黄风华（韩山师范学院 数学与信息技术系，广东 潮州 521041）摘要：在次正交矩阵概念的基础上，给出了−J 次正交矩阵的概念，并讨论了−J 次正交矩阵的相关性质，得出了一些新的结果.关键词：次正交矩阵；−J 次正交矩阵；全转置矩阵；次可逆矩阵；矩阵的次迹中图分类号：O151.21 文献标识码：A从矩阵的次对角线方向出发来研究矩阵的理论问题，已越来越受到人们的重视，次正交矩阵就是其中人们研究较多的一个问题，本文在次正交矩阵概念的基础上，给出了−J 次正交矩阵的概念，并讨论了−J 次正交矩阵的性质，得出了一些新的结果.这里用n m ×R 表示实n m ×阶矩阵的集合；用I 表示单位矩阵；用J 表示次单位矩阵，即次对角线上的元素都是1，其余位置上的元素全为零的n 阶方阵；用T A ，ST A ，*A ，A det 和A tr 分别表示n 阶方阵A 的转置矩阵、次转置矩阵、伴随矩阵、行列式和迹．定义1[1]设n n ×∈R A ，如果I A A AA ==ST ST ，即ST 1A A =−，则称A 为n 阶次正交矩阵．显然，n 阶单位矩阵I 和n 阶次单位矩阵J 都是次正交矩阵． 引理1[2]14 设n n ×∈R A ，则（1）ST det det A A =；（2）若A 可逆，则ST A 也可逆，且ST 11ST )()(−−=A A ．引理2[2]15 设n n ×∈R A ，则（1）ST T T ST ,A J A J A J A J ==n n n n ；（2）A A =ST ST )(；（3）ST ST ST )(B A B A +=+（A ，B 为同阶阵）； （4）ST ST )(A A k k =（k 为常数）；（5）ST ST ST )(A B AB =（B 是n 行q 列矩阵）．定义2[3]设n n ij a ×∈=R )(A ，若满足1,1+−+−=i n j n ij a a ) , ,2 ,1 ,(n j i L =，则称A 为次对称矩阵，若满足1,1+−+−−=i n j n ij a a ) , ,2 ,1 ,(n j i L =，则称A 为反次对称矩阵．由定义2知，若A 是次对称矩阵，则A A =ST ；若是反次对称矩阵，则A A −=ST ．显然，n 阶单位矩阵I 和次单位矩阵J 都是次对称矩阵，并显然有I I I I ==−1ST ST )( ,；J J J J ==T ST ,；I J =2．定义3[4]54 设n n ×∈R D C B A , , ,，若B 为A 的全转置矩阵，则记O A B =；若C 为A 的右转置矩阵，则记R A C =；若D 为A 的左转置矩阵，则记L A D =．显然，J I J I I I ===L R O , ,；I J I J J J ===L R O , ,；J A A JA A ST L ST R ,==．收稿日期：2008-08-01作者简介：刘玉（1953-），男，黑龙江宾县人，教授，从事矩阵的理论及应用研究．E-mail：cz_liuyu@引理3[4]55 设A ，n n ×∈R B ，则（1）R R R )(B A B A +=+；（2）L L L )(B A B A +=+；（3）O O O )(B A B A +=+；（4）ST O O ST )()(A A =；（5）O O O )(B A AB =．定义4[5]2设n n ×∈R A ，若存在n n ×∈R B ，使得J BA AB ==，则称A 为次可逆矩阵，矩阵B 称为矩阵A 的次逆矩阵，记)1(−=A B ．显然，n 阶单位矩阵I 、n 阶次单位矩阵J 都是次可逆的，并且J I =−)1(；I J =−)1(．引理4[5]4设n n ij a ×∈=R )(A 为次可逆矩阵，则A 是中心对称矩阵，即有1,1+−+−=i n j n ij a a ) , ,2 ,1 ,(n j i L =，即T ST )(A A =，也就ST T A A =．显然，若n n ij a ×∈=R )(A 为次可逆矩阵，则A JAJ =，即JA AJ =.引理5[5]5 设n n ×∈R A 是次可逆矩阵，则（1）A 的逆矩阵1−A 是次可逆矩阵，且1)1()1(1)()(−−−−=A A ；（2）T A 是次可逆矩阵，且T )1()1(T )()(−−=A A ；（3）ST A 是次可逆矩阵，且ST )1()1(ST )()(−−=A A ；（4）*A 是次可逆矩阵，且AJ A JA A A 11ST )(det )(det )(−−∗==；（5）A k 是次可逆矩阵，并且有ST 1ST )(A A −=k k （其中0≠k ）； （6）JA ，AJ 是次可逆矩阵．定义5[6]27 设n n ij a ×∈=R )(A ，称其次对角线元素之和为A 的次迹，记作A Str ，即∑=+−=ni i n i a 11,Str A ．引理6[6]28 设n n ×∈R C B A , ,，并且l k ,为常数，则（1）B A B A Str Str )(Str l k l k ±=±；（2）)(tr )(tr Str AJ JA A ==；（3）T ST Str Str Str A A A ==；（4）)(Str )(Str )(Str CAB BCA ABC ==．定义6 设n n ij a ×∈=R )(A ，如果J A A AA ==ST ST ，则称A 为n 阶−J 次正交矩阵．容易得出，若A 为n 阶−J 次正交矩阵，则A 必为当n 4或14−n 时的n 阶实矩阵，以下所提到的n 阶−J 次正交矩阵，均指此类矩阵。
4.3正交矩阵
1 1 2 1 , 3 0 0 1
令
P 1 2
1 1 1 3 1 1 0 1 0 1
则
6 4 1 1 1 1 A PP P 3 P 1 4 1 1 1 4 3
2 i iT aii 1, i 1,2,, n,
即 aii 1,
i 1,2,, n,
2 实对称矩阵的特征值与特征向量
实对称矩阵的特征值全是实数
实对称矩阵不同特征值所对应的实特征向量
正交
对于 n 阶实对称矩阵 A , 存在正交矩阵 Q s.t.
Q AQ Q AQ
AT A1 A*
即 aij Aij
i, j 1,2,, n(n 3) A 是正交矩阵, 且 | A | 1 (| A | 1)
即
n ( n > 2) 阶矩阵 A 是 行列式为 1 ( - 1) 的 正交矩阵
A 是非零实矩阵, 且
aij Aij , (aij Aij ) i, j 1,2,, n(n 3)
对 1 2 3 3, (3E A) X 0 的基础解系 为 1 1 1 1 , 0 , 0 0 1 0 0 0 1
正交化单位化得
1 1 1 1 1 1 1 1 1 , , 2 0 6 2 2 3 1 0 0 3 对 4 5, (5E A) X 0 的基础解系经
T T T 1 1 1 2 1 n T T T 21 2 2 2 n
正交矩阵
正交矩阵的作用引言正交矩阵是一类重要的实方阵，由于它的一些特殊的性质，使得它在不同的领域都有着广泛的作用,也推动了其它学科的发展.本文从正交矩阵的最主要的性质入手，来讨论它的四点作用.首先，我们来了解一下正交矩阵的定义. 一.正交矩阵的定义及性质 (一)正交矩阵的定义定义1 n 阶实矩阵A ，若满足A A E '=，则称A 为正交矩阵. 定义2 n 阶实矩阵A ，若满足AA E '=，则称A 为正交矩阵. 定义3 n 阶实矩阵A ，若满足1A A -'=，则称A 为正交矩阵. 定义4 n 阶实矩阵A 的n 个行（列）向量是两两正交 的单位向量，则称A 为正交矩阵. 以上四个定义是等价定义. (二)正交矩阵的性质设A 为正交矩阵，它有如下的主要性质. <1>∣A ∣=±1，A -1存在，并且A -1也为正交矩阵； <2>A ′，A *也是正交矩阵；当∣A ∣=1时，*A A '=，即ij ij a A =；当∣A ∣=-1时,*A A '=-,即ij ij a A =-.<3>若B 也是正交矩阵，则11,,,,AB A B AB A B AB --''都为正交 矩阵.证明 <1>显然 1A =±()1111()()A A A ----''== 所以1A -也是正交矩阵.<2>1A A -'=，显然A '为正交矩阵.由 1A =±，*1A A A A-'==当 1A =时，*A A '=，即ij ij a A = 当 1A =-时，*A A '=-，即ij ij a A =- 所以*A 为正交矩阵. <3>由1A A -'= ，1B B -'= 可知111()()AB B A B A AB ---'''===故AB 为正交矩阵.由<1>,<2>推知11,,,A B AB A B AB --''均为正交矩阵.正交矩阵的性质主要有以上几点，还有例如它的特征值的模为1，且属于不同特征值的特征向量相互正交；如果λ是它的特征值，那么1λ也是它的特征值等，这些性质这里就不再证明了.运用这些性质，我们来讨论一下它在以下四方面的一些作用.二.正交矩阵的作用（一）正交矩阵在线性代数中的作用在正交矩阵中，有一类初等旋转矩阵，我们也称它为Givens 矩阵.这里，我们将利用正交矩阵可以表示成若干初等旋转矩阵的乘积，给出化欧氏空间的一组基为标准正交基的另一种方法.设向量12(,,,)n W w w w '= ，令)s j i =>， ,jiw w c d s s==，则称n 阶矩阵11ij c d i T d c j i j ⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪- ⎪⎪⎪⎝⎭行行列列为初等旋转矩阵.初等旋转矩阵ij T ，是由向量W 的第,i j 两个元素定义的，与单位矩阵只在第,i j 行和第,i j 列相应的四个元素上有差别.设ij T 是由向量W 定义的初等旋转矩阵()j i >，则有如下的性质： 〈1〉ij T 是正交矩阵； 〈2〉设12(,,,)ij n T W u u u '= 则有 ,0,(,)i j k k u s u u w k i j ===≠；〈3〉用ij T 左乘任一矩阵A ，ij T A 只改变A 的第i 行和j 行元 素（用ij T 右乘任一矩阵A ，A ij T 只改变A 的第i 列和j 列元素）.证明 〈1〉22222()1i j w w c d s++== ，故ij ij T T E '=，ij T 是正交矩阵.〈2〉由ij T 的定义知，用ij T 左乘向量W ，只改变W 的第,i j 两个元素，且0j ii jj i j w w w w u dw cw ss =-+=-+=所以ij T 左乘W ，使ij T W 的第i 个分量非负，第j 个分量为0，其余分量不变.〈3〉根据〈2〉及矩阵乘法立即可以得出此结论.引理1 任何n 阶实非奇异矩阵()ij n n A a ⨯=，可通过左连乘 初等旋转矩阵化为上三角矩阵，且其对角线元素除最后一个外都是正的.定理1 设P 是n 阶正交矩阵〉〈1若1P =，则P 可表示成若干个初等旋转矩阵的乘积，即12r P PP P = ；2若1P =-，则P 可以表示成若干个初等旋转矩阵的乘积再右乘以矩阵n E -，即12r P PP P = n E -，其中i P （i =1,2,…r ）是初等旋转矩22ji i i j w w u cw dw ss s =+=+=阵.nE -1111n n⨯⎛⎫ ⎪⎪⎪= ⎪⎪⎪-⎝⎭证明 由于P 是n 阶正交矩阵，根据引理1知存在初等旋转矩阵r S S S ,,21使R P S S S S r r =-121 这里R 是n 阶上三角阵，而且R 的对角线上的元素除最后一个外都是正的，所以有12r P S S S R '''= （1） 由P 是正交矩阵和（1）式得E R S S S S R P P r r ='''=' 11 即 E R R =' （2）设 R =11121222n n nn r r r r r r ⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 其ii r >0(i =1,2,…n -1)则R R '=11122212nnnn r r r r r r ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭11121222n n nn r r r r r r ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ =111⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 由上式得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-===-===-==≠=11111,,2,1,,1,0P n j i P n j i n j i j i j i r ij 且且所以1,1nE P R E P -⎧=⎪=⎨=-⎪⎩，当当 （３）于是由（1）（3）式得<1>当1=P 时，12r P S S S '''= ；<2>当1-=P 时， 12r P S S S '''= n E -. 记(1,2,,)i i P S i r '== ，i P 是初等旋转矩阵，故定理1结论成立.引理2 设()ij n m R A a A m A P O⨯⎛⎫=== ⎪⎝⎭，秩（），则其中P 是n 阶正交矩阵，R 是m 阶上三角阵，O 是m m n ⨯-)(零矩阵.利用以上的结论可得：定理2 设()ij n m A a A m ⨯==，秩（），则A 可以通过左连乘初 等旋转矩阵，把A '变为⎪⎪⎭⎫⎝⎛O R 的形式，其中R 是m 阶上三角阵，O 是m m n ⨯-)(矩阵.证明 由引理2知1R A P O⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中P 是n 阶正交矩阵，1R 是m 阶上三角阵，又根据定理1知：11,1,1r r n P P P P P P E P -⎧=⎪=⎨=-⎪⎩ 其中），（r i P i ,21= 是初等旋转矩阵.<1>当1=P 时，11211 r r R R A PP P R R P P A O O⎛⎫⎛⎫''=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令，<2>当1-=P 时，112r n R A PP P E O -⎛⎫= ⎪⎝⎭于是有 11r n R R P P A E O O -⎛⎫⎛⎫''== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭显然，R 是m 阶上三角阵，当n m =时R 与1R 除最后一行对应元 素绝对值相等、符号相反外，其余元素对应相等.当时n m >时，1R R =，所以由<1>、<２>知本定理的结论成立.设112111n a a a α⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ，122222n a a a α⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，……，12m mm nm a a a α⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭是欧氏空间n R 的子空间m V 的一组基，记11121212221212()m m m n n nm a a a a a a A aa a ααα⎛⎫⎪⎪==⎪⎪⎪⎝⎭是秩m 为的n m ⨯的矩阵.若()ij n m A a ⨯=满足定理2的条件，则存在初等旋转矩阵12,,,rP P P ，使1r R P P A O ⎛⎫''= ⎪⎝⎭（４） 且),,,(21r P P P P P E ='=21(,,,)r P P P '''12121r r r P P P P E P P PP -''''''''∴== （５） 由（４）（５）两式知，对A 、E 做同样的旋转变换，在把A 化为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛O R 的同时，就将E 化成了P '，而P 的前m 个列向量属于子空间m V .综上所述可得化欧氏空间的子空间m V 的一组基：12,,,m ααα ()12(,,,),1,2,,i i i ni a a a i m α'== 为一组标准正交基的方法为：<1>由已知基12,,,m ααα 为列向量构成矩阵()ij n m A a ⨯=；<２>对矩阵)(E A 施行初等旋转变换，化A 为⎪⎪⎭⎫⎝⎛O R ，同时E 就被化为正交矩阵P '，这里R 是m 阶上三角阵；<３>取P 的前m 个列向量便可得m V 的一组标准正交基. 显然，上述方法是求子空间m V 的一组标准正交基的另一种方法.下面，我们通过实例说明此方法的应用.例 求以向量1(1,1,0,0)α'=-，2(1,0,1,0)α'=-，)1,0,0,1(3'-=α为基的向量空间3V 的一组标准正交基.解 矩阵123111100()010001A ααα---⎛⎫ ⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭对分块矩阵)(E A 依次左乘12T ，23T ，34T12T＝0022002200100001⎛⎫- ⎪⎪⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,23T=100000000001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭34T=10000100121002⎛⎫ ⎪ -⎪ ⎪ -⎪⎝⎭得 34T 23T 12T )(E A=0000002311110002222⎫⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪---- ⎪⎝⎭则00011112222P ⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪'= ⎪ ⎪---- ⎪⎝⎭，121210210022P ⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎪= ⎪- ⎪⎪ ⎪- ⎪⎝⎭取100P ⎛ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，20P ⎛ = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，3P ⎛ = ⎪ ⎪⎝⎭则321,,P P P 就是由,,,,32ααα得到的3V 的一组标准正交基. (二)正交矩阵在拓扑和近世代数中的作用全体n 阶正交矩阵作成的集合，记为()n O ，从代数和拓扑的角度来看，我们可以证明它构成一拓扑群，并且进一步证明它是不连通的紧致lie 群. (1)()n O 构成拓扑群在证明()n O 构成拓扑群之前，先介绍一下相关的概念.定义5 设G 是任一集合，ℜ是G 的子集构成的子集族，且满足：1o 集合G 与空集Φ属于ℜ； 2o ℜ中任意个集的并集属于ℜ； 3o ℜ中任意有穷个集的交集属于ℜ；称ℜ是G 上的一个拓扑，集合G 上定义了拓扑ℜ，称G 是一个拓扑空间.定义6 设(,)G 是一个代数体系，若满足：1o ,,,()()a b c G a b c a b c ∀∈= ； 2o st G e G a ,,∈∃∈∀e a a e a == ；3o st G a G a ,,1∈∃∈∀-11a a a a e --== ； 则称G 是一个群.定义7 如果G 是一个拓扑空间，并赋予群的机构，使得群的 乘法运算 u ： G ⨯G →G ； 求逆运算 v ： G →G ； 是连续映射，就称G 为拓扑群.根据上面的定义，我们分三步来实现证明全体n 阶正交矩阵作成的集合()n O 构成拓扑群.〈1〉 全体n 阶正交矩阵作成的集合()n O 构成一拓扑空间. 〈2〉 全体n 阶正交矩阵作成的集合()n O 构成一群. 〈3〉 全体n 阶正交矩阵作成的集合()n O 构成一拓扑群. 证明 〈1〉设M 表示所有具有实元素的n 阶矩阵作成的集合，以A =()ij a 表示M 的一个代表元素.我们可以把M 等同于n 2维欧氏空间2n E，也就是将A =()ij a 对应于2n E的点111212122(,,,,,,,,,,)n n n na a a a a a a a .ℜ是点集2n E 的子集族，则2nE 和Φ都属于ℜ，ℜ中任意个集的并集属于ℜ，ℜ中有穷个集的交集也属于ℜ，可以验证2n E 构成一拓扑空间，从而M 成为一个拓扑空间.()n O 是所有具有实元素的n 阶正交矩阵，所以是M 的子集合，于是由M 的拓扑可以诱导出这个子集合的拓扑，从而()n O 构成M 的一个子拓扑空间.〈2〉1o )(,,n O C B A ∈∀ 由于矩阵的乘法满足结合律，所以)()(BC A C AB =2o st O E n n ,)(∈∃ A AE A E O A n n n ==∈∀,)(3o st A A O A n ,,1)('=∃∈∀- E A A AA A A A A ='=='=--11所以正交矩阵作成的集合 )(n O 对于乘法运算可构成一群.〈3〉对于〈1〉中的拓扑空间M 的拓扑，定义矩阵乘法m ：M M M ⨯→设(),()ij ij A a B b ∀==，则乘积m （A ，B ）的第ij 个元素是1nik kj k a b =∑.现在M具有乘积空间1112(E E E n ⨯⨯⨯ 个因子）的拓扑，对于任何满足1,i j n ≤≤的,i j ，我们有投影映射1:ij M E π→，将矩阵A 映为它的第ij 个元素.合成映射1:ij m M M M E π⨯→→，将A 和B 的乘积m （A ，B ）映为它的第ij 个元素.现在1(,)nij ik kj k m A B a b π==∑是A 与B 的元素的多项式，因此ij m π连续，投影映射ij π是连续的，从而证明映射m 是连续的.因为()n O 具有M 的子空间拓扑，是M 的一个子拓扑空间，且由正交矩阵的性质〈3〉及上面的讨论知，映射()()():n n n m O O O ⨯→也是连续的.()n O 中的矩阵可逆，定义求逆映射()():n n f O O →，1()()n A O f A A -∀∈=.由于合成映射1()():ij n n f O O E π→→，将()n A O ∀∈映为1A -的第ij 个元素，即A '的第ij 个元素，由正交矩阵的性质〈2〉，*A A A '=，所以ji ji A a A =，即()ji ij A f A Aπ=，A 的行列式及A 的代数余子式都是A 内元素的多项式，且0A ≠，所以ij f π为连续的，而投影映射ij π为连续的，所以求逆映射()():n n f O O →为连续的.至此，()n O 又是一个拓扑空间，并且构成群，对群的乘法与求逆运算都是拓扑空间的连续映射，因而所有n 阶正交矩阵作成的集合()n O 构成一拓扑群，称它为正交群. （2）()n O 是紧致lie 群在证明之前我们知道一下有关的定义和定理.定义8 设G 为拓扑群，G 的拓扑为n 维实（或复）解析流形，且映射11212(,)g g g g -→ 12,g g G ∀∈ 为解析流形G G ⨯到G 上的解析映射，则称G 为n 维lie 群.定理3 欧氏空间内的有界闭集是紧致子集.证明 A M ∀∈（所有具有实元素的n 阶矩阵作成的集合），A 对应2n 维欧氏空间2n E 的点1112121231(,,,,,,)n n nn a a a a a a a α ，M 可作为2n 维欧氏空间.A 的行列式det A 为元素1112121231,,,,,,n n nn a a a a a a a 的解析函数，{}det 0A M A ∈=为M的闭子集，因此{}*\det 0M M A M A =∈=为M 中的开子集.这时，按诱导拓扑可以知道*M 为解析流形，且关于矩阵的乘法和求逆运算均解析，故*M 为2n 维lie 群.()n O 为*M 的闭子集，按诱导拓扑为子流形，()n O 为lie 群. 为了证明()n O 紧致，根据定理内容，只要证明M 等同于2n E 时，()n O 相当于2n E 内的有界闭集.设 ()n A O ∀∈，由于AA E '=有1nij kjik j a bδ==∑ 1,i k n ≤≤对于任意的 ,i k ，定义映射1:ik f M E → A M ∀∈ 1()nik ij kj j f A a b ==∑则()n O 为下列各集合的交集 1(0)ik f - 1,i k n ≤≤ i k ≠ 1(1)ii f - 1i n ≤≤由于(1,)ik f i k n ≤≤都是连续映射，所以上述每个集合都是闭集.因此()n O 是M 的闭集.由于11nij ij j a b ==∑，因此()n O 是M 的有界闭集，这就证明了()n O 的紧致性.在拓扑结构上是紧致的lie 群，我们称为紧lie 群，所以()n O 为紧lie 群.（3）()n O 是不连通的定义9 设X 是一个拓扑空间，X 中存在着两个非空的闭子集A 和B ，使A B X = 和A B =Φ 成立，则称X 是不连通的.证明 我们再设()n SO 是所有行列式为1的正交矩阵构成的集合，S 为所有行列式为-1的正交矩阵构成集合.因为det ：1()n SO E →是连续映射，而我们知道单点集{}1是1E 的闭集，1()det (1)n SO -=，在连续映射下，任何一个闭集的原象也是闭集，所以()n SO 也为闭集.()n SO 为()n O 的闭集,同理，我们也可以证明S 是闭集.因为()()n n SO S O = ， ()n SO S =Φ ,而()n SO 和S 是闭集，有不连通的定义我们可以直接证明()n O 是不连通的. (三)正交矩阵在化学中的作用在结构化学原子轨道杂化理论中，原子中能级相近的几个原子轨道可以相互混合，从而产生新的原子轨道.杂化过程的数学表达式为1nk ki i i c φφ==∑1,2,;1,2,i n k == ，k φ为新的杂化轨道，i φ为参加杂化的旧轨道，ki c 为第k 个杂化轨道中的第i 个参加杂化轨道的组合系数.在杂化过程中，轨道数是守恒的，并且杂化轨道理论有三条基本原则：〈1〉杂化轨道的归一性杂化轨道(1,2,)k k n φ= 满足1k k d τφφ=⎰.〈2〉 杂化轨道的正交性0()k ld k l τφφ=≠⎰.〈3〉 单位轨道贡献每个参加杂化的单位轨道，在所有的新杂化轨道中该轨道成分之和必须为一个单位，即2222121nki i i ni k c c c c ==+++∑ =1.由杂化轨道原理，原子轨道的杂化，实际是由一组相互正交的单位基向量，通过线性变换转化成为另一组相互正交的单位基向量.在线性代数中由一组标准正交基到另一组标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵，那么原子轨道的杂化，就可以转化为求出正交矩阵，作线性替换的过程. （1）3sp 杂化轨道.以甲烷分子的结构为例，激发态碳原子的电子组态为：21111*(1)(2)(2)(2)(2)x y z c s s p p p ，这样在形成4CH 分子时，激发态碳原子的一个2s 原子轨道和3个2p 原子轨道进行杂化形成4个等同的3sp 杂化轨道.设在激发态碳原子中四个能量相近的原子轨道2s φ、2xp φ、2yp φ、2zp φ是一组相互正交的基向量，再通过线性变换将它们转化成另一组相互正交的基向量a φ、b φ、c φ、d φ，那么线性变换系数矩阵A 必为正交矩阵.211121314221222324231323334414243442x yz s a p b p c d p a a a a a a a a a a a a a a a a φφφφφφφφ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ = 2222xy zs p p p A φφφφ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A 为正交矩阵，111213142144,,,,,,a a a a a a 分别是a φ、b φ、c φ、d φ在四个坐标轴上的分量.在等性杂化中，四个基向量a φ、b φ、c φ、d φ在四个坐标轴上的分量是相等的，即由四个能量相近的原子轨道2s φ、2xp φ、2yp φ、2zp φ进行杂化时形成四个等同的3sp 杂化轨道，在四个杂化轨道上，原子轨道s 和p 成份完全相同.根据这些理论，我们来求正交矩阵A .2222111213141a a a a +++= 11121314a a a a ===11241a =∴ 11121314a a a a ====12(取正值) 因为是等性杂化轨道.222211213141a a a a === 222211121314a a a a +++=1∴ 11213141a a a a ====12（取正值）∴ 22232432333442434411112222121212a a a A a a a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭22232411111022222a a a ⨯+++= 22222223241()12a a a +++= 222324a a a ==∴ 取符合条件的 2212a =，2312a =，2412a = 32333411111022222a a a ⨯+++= 22322333243411022a a a a a a ⨯+++= 即 32333412a a a ++=-32333412a a a --=-3212a ∴=- 3334a a =-取 3312a =，3412a =-42434411111022222a a a ⨯+++= 42434411111022222a a a ⨯+--= 42434411111022222a a a ⨯-+-= 4212a ∴=- 4312a =- 4412a =-11112222111122221111222211112222A ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--⎪∴= ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪--⎪ ⎝⎭可以写出四个3sp 杂化轨道的杂化轨道式为：22221()2x y za s p p p φφφφφ=+++22221()2x y z b s p p p φφφφφ=+--22221()2x y z c s p p p φφφφφ=-+-22221()2x y z d s p p p φφφφφ=--+（2）sp 杂化轨道一个2s 和一个2p 原子轨道杂化形成两个sp 杂化轨道.同样，线性变换211112222122x s p aa a a φφφφ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的系数矩阵11122122a a A a a ⎛⎫=⎪⎝⎭是正交矩阵. 根据等性杂化理论 2211211a a += ，1121a a =1121a a ∴==221112121,a a a +=∴=（取正值）22220,a a =∴=A ⎫⎪⎪∴= sp ∴杂化轨道式为：122)x s p φφφ=+222)x s p φφφ=- (四)正交矩阵在物理中的作用任意刚体运动都对应一个正交矩阵，三维空间一条曲线经过刚体运动，其曲率和挠率是不变的，称它们为运动不变量.下面，我们来考察曲线作刚体运动时的量.设曲线}{1111()()()()r t x t y t z t →=与曲线()r t →}{()()()x t y t z t =只差一个运动，从曲线1()r t →到曲线1()r t →的变换为111213x x b y A y b z z b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（1） 其中111213212223313233a a a A a a a a a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭是三阶正交矩阵，1,23,,b b b 是常数. 对（1）两边求 n 阶导数得()()1()()1()()1n n n n n n x x y A y z z ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭从而有 111121312122233132331x x a x a y a z y A y a x a y a z a x a y a z z z ⎛⎫⎛⎫'''''''''''''''++⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪'''''''''''''''==++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪'''''''''++'''''' ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2） 因为A 是正交矩阵，所以亦有1()()r t r t ''= （3）另一方面，由一阶，二阶，三阶导数，可作成矩阵TA z y x z y x z y x z y x z y x z y x ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛''''''''''''''''''=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''''''''''''''''''111111111 两边取行列式，由det 1A =±得z y x z y x z y x A z y x z y x z y x z y x z y x z y x T ''''''''''''''''''±=''''''''''''''''''=''''''''''''''''''111111111现在取（1()r t ' 1()r t '' 1()r t '''）=（()r t ' ()r t '' ()r t ''' ） 来讨论， 而（1()r t ' 1()r t '' 1()r t '''）=-（()r t ' ()r t '' ()r t ''' ）可类似地讨论.因为111111111111111111111111y y x x z x x z z y z y z y x z y x z y x z y x '''''''''+'''''''''+'''''''''='''''''''''''''''' （4）y y x x z x x z z y z z y y x z y x z y x z y x '''''''''+'''''''''+'''''''''='''''''''''''''''' （5）（2）代入（4）的右边得111111121321222311111131333311()()()y z z x a x a y a z a x a y a z y z z x x y a x a y a z z y ''''''''''''''''''''''++++++'''''''''''''''''''++'''')()()(111133111123111113111132111122111112111131111121111111y y x x z a x x z z z a z z y y z a y y x x y a x x z z y a z z y y y a y y x x x a x x z z x a z z y y x a '''''''''+'''''''''+'''''''''+'''''''''+'''''''''+'''''''''+'''''''''+'''''''''+'''''''''= （6） 因（4）与（5）右边相等，有（5）右边与（6）式右边相等得111131111121111111y y x x a x x z z a z z y y a z z y y ''''''+''''''+''''''='''''' 111132111122111112y y x x ax z x z a z z y y a x x z z ''''''+''''''+''''''='''''' 111133111123111113y y x x a x x z z a z z y y a y y x x ''''''+''''''+''''''=''''''由正交矩阵的性质〈2〉知，ij ij a A =且由 1(,1,2,3)nji kj jk i A A j k δ===∑将上面三式左右分别平方相加222y z z x x y y z z x x y ''''''++''''''''''''=21122211121311()y z AAA y z ''++''''+21122221222311()z x AAA z x ''++''''+21122231323311()x y A A A x y ''++''''=222111111111111z x x y y z z x x y y z ''''''++''''''''''''写成矢函数，即得11()()()()r t r t r t r t →→→→''''''⨯=⨯于是我们可以推得： 111331()()()()()()r t r t r t r t K K r t r t →→→→→→''''''⨯⨯===''11112211(()()())(()()())(()())(()())r t r t r t r t r t r t r t r t r t r t ττ→→→→→→→→→→''''''''''''===''''''⨯⨯ 这里的11,;,K K ττ分别是曲线1(),()r t r t →→的曲率与挠率.参考文献[1]张凯院 徐仲等编 《矩阵论》 西北工业大学出版社 2001.3 160~164页[2]赵成大等 《物质结构》 人民教育出版社 1982.9 219~226页[3]熊金城编《点集拓扑讲义》高等教育出版社1998.5 110~111，193~195页[4]严志达等《lie群及其lie代数》高等教育出版社1985.10 11，16~17页[5]丘维声《有限群和紧群的表示论》北京大学出版社1997.12 271~273，276~277页[6]戴立辉等《正交矩阵的若干性质》华东地质学院学报2002.9 第25卷第31期267~268页[7]刘钊南《正交矩阵的作用》湘潭师范学院学报1987 11~16页[8]刘国志《欧氏空间子空间的标准正交基的全新方法—Givens变换法》抚顺石油学院学报1996.3 16卷1期78~ 81页[9]张焕玲等《一种求欧氏空间子空间的标准正交基的新方法》山东科学1996.3 9卷1期14~16页[10]陈少白《空间曲线的刚体运动基不变量》武汉科技大学学报2003.12 26卷4期424~426页致谢本论文是在我的指导教师任艳丽副教授的亲切关怀和悉心指导下完成的.从论文的选材到定稿，任老师给予我亲切的关怀和指导，从任老师那里我不仅学到了专业知识，更重要的是学到了严谨的治学态度，独立研究的工作作风和不断进取的精神，在此，我谨向我的指导教师任艳丽老师表示最衷心的感谢.我要向所有教过我的老师和帮助过我的同学致以深深的感谢，是他们的孜孜不倦的教诲和无私的帮助才使我今天的工作得以顺利进行.我特别感谢我的同学和朋友，给我关怀和鼓励.我还要感谢数学系002班大学四年共同奋斗过的所有同学.。
正交矩阵,相似矩阵与二次型的转化分析
先来看看什么是正交矩阵：
方阵A为正交矩阵的充分必要条件为A的列向量/行向量都是单位向量，且两两正交。
相似矩阵的定义：
此时若B矩阵为对角阵，则称矩阵A可对角化。
那么此时我们要求的相似变化矩阵P应该满足什么条件呢？
假设把P用其列向量表示为：那么由，两边同时左乘P得，即得：
于是得：
由该定理相应得到下面的推论：
注意：该推论表示n阶矩阵A的n个特征值互不相等，即有n个线性无关的特征向量，故A可对角化。
但是n个特征值中如果有m重根时，但对应的m重根有m个线性无关的特征向量，也可得到A可对角化。
由该定理相应得到下面的推论：
二次型的定义：
经过可逆的线性变化：
使二次型只含平方项：这种只含平方项的二次型称为二次型的标准型（或法式）。
而如果二次型的系数只在1、-1、0三个数中取值，即则称为二次型的规范形。
下面为将二次型转换为二次型的标准形需要用到合同的概念，合同的定义为：
正定、负定二次型的定义：。
对称矩阵与正交矩阵的推广及其应用
1
性质及关系
+ － + B ∈S + （ S － ） ， kA∈S + （ S － ） ； 2 ） 若 A、 B ∈S + （ S － ） ， 定理 1 1 ） 如果 A、 则（ A + B ） ∈S （ S ） ， 则 AB ∈S ； + － + n + － B ∈S － ， A n ∈S － （ S + ） ； 4 ） 若 若 A∈S ， 则 AB ∈S ； 3 ） 若 A∈S ， 则 A ∈S ； 若 A∈S ， 则当 n 为奇（ 偶） 数时， o A∈S + （ S － ） ， Sα 是 A o 的属于 λ 是 A 的特征值， α 是 A 的属于 λ 的特征向量， 则 λ （ － λ ） 也是 A 的特征值， + － －1 + － λ （ － λ ） 的特征向量； 5 ） 若可逆阵 A ∈ S （ S ） ， 则 A ∈S （ S ） ， 但不存在奇数阶的可逆 O广义反对称
o o o － T o －1 = （ Ao ） T ； 2 ） 如 A ∈ Rn 则（ A ） n， o
= （ Ao ）
－1
，
=（ A ）
T
T
－
= JAJ； 4 ） | A | = | A | ．
T
o
（ AT ） o = A － ， （ A － ） o = AT ． = （ JAJ） = JA T J = A － ； （ A － ） o = （ JA T J） o = J o （ A T ） o J o = JA － J = A T ．
o n －1 o B － 1 = S － 1 B o S； 由 A ～ B， 由 B∈ P （ S ） ， 则 B SB = S， 则存在 P ∈ R n ，使得 A = P BP ， 有A = －1
正交矩阵交换律
正交矩阵交换律正交矩阵的交换律是指两个正交矩阵的乘积的交换律。
在本文中，我们将详细讨论正交矩阵的性质和交换律的证明。
首先，我们来回顾一下正交矩阵的定义。
一个 n × n 矩阵 A 被称为正交矩阵，如果满足 A^T · A = I，其中 A^T 是 A 的转置矩阵，I 是单位矩阵。
这个等式表示正交矩阵的列向量互相正交，且彼此的模都为 1。
因此，正交矩阵实际上是描述了一个正交变换，它保持向量的长度和角度不变。
现在，我们来证明正交矩阵的交换律。
设矩阵 A 和 B 都是正交矩阵，我们要证明 A · B = B · A。
首先，我们来证明 A · B = B · A 的转置矩阵等式 (A · B)^T = (B · A)^T。
对于转置矩阵的等式，我们有 (A · B)^T =B^T · A^T 和 (B · A)^T = A^T · B^T。
因此，我们要证明的是B^T · A^T = A^T · B^T。
我们已知矩阵 A 和 B 都是正交矩阵，即 A^T · A = I 和B^T · B = I。
我们可以将这两个等式代入 B^T · A^T =A^T · B^T 中，得到 B^T · A^T = A^T · B^T = I。
现在我们来证明 A · B = B · A。
为了证明这个等式，我们需要证明两个矩阵的每个元素都相等，即对于矩阵 A 和 B 的任意位置 (i, j)，有 (A · B)ij = (B · A)ij。
首先，我们来看 (A · B)ij。
根据矩阵乘法的定义，(A · B)ij =第 i 行向量 A 的每个元素与第 j 列向量 B 的每个元素的乘积之和。
对称矩阵与次正交矩阵的性质
对称矩阵与次正交矩阵的性质作者：周涛冷震北来源：《速读·中旬》2015年第04期1基本定义在这篇论文中，[Pm×n]表示定义在数域[P]上的所有[m×n]矩阵的全体；[AT]表示矩阵[A]的转置矩阵；[E]表示单位矩阵；[Jn]表示次单位矩阵，即次对角线元素全为1，其余元素全为0的[n]阶方阵。
定义1[[1，3]] 设矩阵[A=aijm×n]，称矩阵[amnam-1n...a1namn-1am-1n-1...a1n-1⋮⋮⋮am1am-11 (11)为矩阵[A]的次转置矩阵，记为[Ast].即：设[Ast=bijn×m]，则[bij=an-j+1m-i+1].容易得出次转置有以下性质[1，2]：[A+Bst=AST+BST]；[kAST=kAST]；[ABST=BSTAST]；[AST-1=A-1ST].定义2 设矩阵[A=aijn×n]，若，称[A]为次对称矩阵；若[Ast=A]，称[A]为反次对称矩阵.定义3 设矩阵[A=aijm×n，B=bijp×q]，则[mp×nq]矩阵[a11Ba12B…a1nBa21Ba22B…a2nB⋮⋮⋮am1Bam2B…amnB]称为矩阵[A]和[B]的张量积，记为[A⊗B]。
定义4 设矩阵[A=aijm×n，B=bijm×n]，则称矩阵[C=aijbijm×n]为矩阵[A]和[B]的Hadamard 积或Schur积，记为[A∘B]。
定义5 设[A∈Pn×n]，若存在矩阵[B∈Pn×n]，使得[AB=BA=J]，我们称[A]为次可逆矩阵，[B]称为[A]的次逆，记作：[B=A-1]；易得矩阵[A]有次可逆，则[A]的次逆是唯一的。
由定义5可知若[A]次可逆，则[AST，A-1，kA][k≠0]都是次可逆矩阵，且[AST-1=A1ST，A-1-1=A-1-1，kA-1=1kA-1 k≠0]，且若[B]也次可逆，则[AB]也次可逆，[AB-1=A-1B-1J=JA-1B-1].又[A]次可逆，则[AJ=JA]。
矩阵的正交变换 -回复
矩阵的正交变换-回复矩阵的正交变换是线性代数中一个重要的概念，它涉及到矩阵的特殊性质以及如何用矩阵来进行几何变换。
在本文中，我们将一步一步地介绍正交变换的概念、性质以及应用。
首先，让我们回顾一下矩阵的基础知识。
一个矩阵可以用来表示一组向量，并且在线性代数中，矩阵也可以表示一种线性变换。
在几何学中，线性变换可以理解为对向量和点进行拉伸、旋转和平移等操作。
而正交变换是一种特殊的线性变换，它保持向量的长度和角度不变。
当我们对一个向量进行正交变换时，它的旋转角度不变，只是在空间中的位置和方向发生改变。
接下来，我们来介绍正交变换的性质。
一个矩阵是正交矩阵，当且仅当它的转置矩阵乘以它自身得到的结果等于单位矩阵，即A^T * A = I。
注意到，单位矩阵的定义是对角线上的元素为1，其余元素为0。
这个性质可以用来验证矩阵是否为正交矩阵。
对于正交矩阵，它的逆矩阵等于它的转置矩阵，即A^(-1) = A^T。
一个重要的性质是，正交矩阵对任意两个向量的内积不变。
数学上，内积可以通过向量的点积来定义，其中向量的点积等于向量的长度乘以它们的夹角的余弦值。
换句话说，如果向量u和v进行正交变换后得到u'和v'，则有u' * v' = u * v，其中*表示内积运算。
这个性质意味着正交矩阵在保持向量的长度和角度不变的同时，也保持向量之间的夹角不变。
正交变换在许多实际应用中发挥着重要作用。
其中一个例子是在计算机图形学中，正交变换可以用来实现物体的旋转和平移。
通过将物体的坐标乘以一个正交矩阵，我们可以改变物体在屏幕上的位置和方向，同时保持其形状不变。
这种方法被广泛应用于计算机动画和三维模型的设计。
另一个例子是在信号处理领域，正交变换可以用来将信号从一个域转换到另一个域。
其中一个著名的正交变换是傅里叶变换，它将信号从时域转换到频域。
傅里叶变换在许多领域中都有广泛的应用，例如音频处理和图像处理。
除了旋转和平移，正交变换还可以用来实现镜像和反射等几何变换。
正交矩阵
正交矩阵正交矩阵是实数特殊化的酉矩阵，因此总是正规矩阵。
尽管我们在这里只考虑实数矩阵，这个定义可用于其元素来自任何域的矩阵。
正交矩阵毕竟是从内积自然引出的，对于复数的矩阵这导致了归一要求。
目录定义 1n阶实矩阵 A称为正交矩阵，如果：A×A′=E（E为单位矩阵，A'表示“矩阵A的转置矩阵”。
）若A为正交阵，则下列诸条件是等价的:1) A 是正交矩阵2) A×A′=E（E为单位矩阵）3) A′是正交矩阵4) A的各行是单位向量且两两正交5) A的各列是单位向量且两两正交6) (Ax,Ay)=(x,y) x,y∈R正交矩阵通常用字母Q表示。
举例：A=[r11 r12 r13;r21 r22 r23;r31 r32 r33]下面是一些小正交矩阵的例子和可能的解释。
恒等变换。
旋转16.26°。
针对x轴反射。
旋转反演(rotoinversion): 轴 (0,-3/5,4/5)，角度90°。
置换坐标轴。
编辑本段基本构造低维度最简单的正交矩阵是1×1 矩阵 [1] 和 [−1]，它们可分别解释为恒等和实数线针对原点的反射。
如下形式的2×2 矩阵它的正交性要求满足三个方程矩阵性质实数方块矩阵是正交的，当且仅当它的列形成了带有普通欧几里得点积的欧几里得空间R的正交规范基，它为真当且仅当它的行形成R的正交基。
假设带有正交(非正交规范)列的矩阵叫正交矩阵可能是诱人的，但是这种矩阵没有特殊价值而没有特殊名字；他们只是MM = D，D是对角矩阵。
任何正交矩阵的行列式是 +1 或−1。
这可从关于行列式的如下基本事实得出:反过来不是真的；有 +1 行列式不保证正交性，即使带有正交列，可由下列反例证实。
对于置换矩阵，行列式是 +1 还是−1 匹配置换是偶还是奇的标志，行列式是行的交替函数。
比行列式限制更强的是正交矩阵总可以是在复数上可对角化来展示特征值的完全的集合，它们全都必须有(复数)绝对值 1。
线性代数——正交矩阵
将其化为标准正交基.
解答见书上187页例4。
4 , , , R 1 2 3 4 例5 设 是 的一组标准正交基， 1 1 2 , 2 2 1 3 2
求 L(1 , 2 ) 的一组标准正交基.
作业: P162 14, 16, 17, 18(2), 19~24, 25(1), 26, 27, 28
小结：设 (1 2
n ) (1 2
n ) Q
1°若 和 均是的标准正交基, 则过渡矩阵Q是正交 矩阵. 2°若 是标准正交基, Q是正交矩阵, 则 是标准正 交基. 3°若 是标准正交基, Q是正交矩阵, 则 是标准正 交基 .
例1 设 1 ,2 ,3 是 R 3 的一组标准正交基, 证明
三、正交矩阵及其性质
T 定义2 实数域 R 上的 n 阶矩阵 Q 满足 Q Q E , 则 称 Q 为正交矩阵. 1 T Q Q ; 性质 (1) n阶矩阵Q 为正交矩阵
进而, 给出等价定义: 如果 QQT E , 则Q 为正交矩阵. (2) Q 为正交矩阵, 则 Q 1 也是正交矩阵 ;
则
即 Q 为正交矩阵, 且 所以 1 , 2 , 3 是一组标准正交基 .
QQT E ,
例2 设A, B为同阶正交矩阵, 下面错误的是( ) (1) A－1为正交矩阵； (2) A* 为正交矩阵； (3) AB 为正交矩阵； 答：(4)不正确。 (4) A+B 为正交矩阵。
1 2 2 3 3 3 2 2 1 例3 设 P , 设三维向量的长度 3 3 3 1 2 2 3 3 3 || ||＝8, 则|| P ||＝？
的过渡矩阵为Q , 即 = Q , 则 QT Q E .
11第4章2正交矩阵
得特征值
1 2 1, 3 10
14
（２）求特征向量 对于 1 2 1,
1 由 I A 2 2 得一个基础解系
解方程组 I A X 0
2 1 2 2 4 4 0 0 0 0 0 0 4 4 T T 1 2,1, 0 , 2 2, 0,1 2
对于
3 8
得到特征向量
3 （2， 1， 2）
1 1，
取 3
1 1 0.5 [2，1 ] 1 2 2 1 2 0 2 [ 1，1 ] 0 2 1 0.5
I A x 0
4 2 4 x1 0 2 1 2 x2 0 4 2 4 x 0 3
，2 （， 1 0， 1 ） （， 1 2， 0） 得到两个线性无关的特征向量 1
2 问A能否对角化？请说明理由。
解
因 是矩阵A的特征向量，故存在数，使得A ，
2 1 2 1 1 即 5 a 3 1 1 , 1 b 2 1 1 1 得 2 a , 1 b
0 0 1 0 0 1
定义4.6 如果一个方阵P满足 则称矩阵P为正交矩阵。
PT P I （或 PPT I ），
2
例1 证明
6 2 3 1 是正交矩阵。 验证矩阵 A 3 6 2 7 2 3 6 因为 6 2 3 6 3 2 1 1 T AA 3 6 2 2 6 3 7 7 2 3 6 3 2 6 49 0 0 1 0 49 0 I 49 0 0 49
实方阵的次特征值
引理 ３ 当 Ａ ＝Ｊ Ｊ Ａ时 ， Ａ为次正 交阵 铮 为 正交 阵． 证 明 因 Ａ Ａ ＝， 盯 ∞ Ｊ ： Ａ （ Ａ ： ， （ ） Ａ ）Ｊ § ＝ 为正交 阵
２ 一般实方 阵的次特征值性质
维普资讯
第２ ４卷第 ５期
Ｖ Ｉ２ Ｎ ． ｏ．４ ｏ５
重 庆工商 大学 学报 （自然科 学版 ）
Ｊ ｈｎｑ ｇ ｅ ｈｏ Ｂ ｓ ｅｓ ｎ ． Ｎ ｔ ｃ Ｅ ） ｏ ｇｉ ｃｎ ｌ ｕｉ ｓ Ｕ ｉ （ ａ Ｓｉ ｄ Ｃ ｎＴ ｎ ｖ
式 （ ）是关 于 Ａ的 ，次多项 式． １ １ 显然 Ａ）中含 Ａ的 ，次 与 ，—１次 的项 只能 出现在式 （ ）的（ 一 １ ｌ １ 口
Ａ （ 一 ） 口 Ａ 项 中， ）口 Ａ …（ 一 ） 且其中Ａ 的系数为（ １ “Ａ 的系数为（ １ 。口 ＋ … ＋ ） “ 一 ） ， 。 一 ） （ 。 口 一＋ 口 ．
摘
要 ： 出了一般 实方 阵 次特 征值 的一些 主 要性 质 ， 对 （ ） 给 并 反 对称 阵 、 反 ） （ 次对 称 阵 、 次
正 交矩 阵 ， 以及 对 合 矩 阵与幂 等矩 阵的 次特征 值 的取 值情 况进 行 了研 究 ， 到 了一些 新 结果． 得
关键 词 ： 次转 置 矩 阵 ； 次特征 值 ； 反 ） （ 次对称 矩 阵 ； 次正 交矩 阵
１ 定义与 引理
用Ａ 。 田表示实矩阵 Ａ的次转置矩阵… ， ． 用 ， 表示次对角线上元素全为 １其余元素全为Ｏ的方阵 ， ， 则容
易 证 明下述性 质 成立． 引理 ｌ （ ）Ｊ １ ＝． Ｊ ， ＝，Ｊ ＝． 了＝． Ｊ ＝． 了 ＝Ｊ （ ）（ ） ＝Ａ，Ａ＋Ｂ） ＝Ａ 盯， ， ，～ ， ， ， 盯 ， 盯 ， ， ；２ Ａ 盯 （ 盯 盯＋ （ Ｂ）ｒ：Ｂ 盯 当 Ａ可逆 时 ，Ａ ） ＝ （ ） （ ）设 Ａ为 ｒ阶方 阵 ， Ａ ｓ ． （ 盯 Ａ 一；３ ｇ 则 Ｊ＝Ａ 或 耵 Ｊ＝Ａ ．
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矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。