隐函数的求导方法

解法2 利用隐函数求导.
确定的隐函数,
1
2
(1)式两边关于x求导
F1
得
( x
z x
x) z
F2 Fx1(yz1z)
F1
x z2
F2
y z2
0即
x
F1
z
( z
F1
x z2
z x
F1 y F2
)
F2
(
z
y
2
z ) x
0
(1)式两边关于y求导
F1
y
得
(
x z
)
F2
J Gx
Fv Gv
1 J
(F,G) ( x, v )
( x, v ) (F,G)
Gx Fu
Gv Fv
(u, v )
Gu Gv
(F,G)
Fx Fv
v 1 Fu Fx 1 (F,G) ( x, v ) Gx Gv
x J Gu Gx J ( u, x ) (F,G)
解法2 利用公式
设 F(x, y, z) x2 y2 z2 4z 则 Fx 2x , Fz 2z 4
z Fx x x x Fz z 2 2 z
两边对 x 求偏导
2z x2
x
( 2
x
) z
(2
z)2 (2 z)3
x
2
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例４. 设
定理证明从略，仅就求导公式推导如下：
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则 两边对 x 求导
在
dy Fx dx Fy
的某邻域内 Fy 0
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若F( x , y ) 的二阶偏导数也都连续, 则还有 Fx
二阶导数 :
Fy
d2y dx2
( Fx ) ( Fx ) d y x Fy y Fy dx
函数 F(x, y) 在
讨论.
导数的另一求法 — 利用隐函数求导
sin y ex x y 1, y y (x)
两边对 x 求导
两边再对 x 求导
y x 0
ex cos
y y
x
(0,0)
sin y ( y)2 cos y y
令 x = 0 , 注意此时 y 0 , y 1
d2y dx2
ydz)
0
xF1 yF2 z2
dz
F1dx F2 dy z
dz
x
F1
z
y
F2
(F1dx
F2d y)
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例7 设
求
• 法一(隐函数法)
z x
f1
1
z x
f 2
yz xy z
x
得
z x
f1 yz f2 1 f1 xy f2
•
1
f1
x z
1
f2
yz x z
xy
有隐函数组
则
两边对 x 求导得
x
x
Fx Gx
Fu Gu
u
x u
x
Fv Gv
v x v
x
0 0
F
y u v
y
这是关于 u , v 的线性方程组 , 在点P 的某邻域内 x x
系数行列式 J Fu Fv 0, 故由克莱姆得 Gu Gv
公式 目录 上页 下页 返回 结束
(F,G)
Fx Fv
x x(y, z) 设 F(x, y, z) z ln x
xy
Fx'
(x,
y,
z)
z x2
1 x
1 y
zx x2
y
Fy' (x, y, z)
1 x
( x ) 1 y2 y
y
Fz' (x,
y,
z)
1 x
x Fz' x
故
z Fx' x z x Fy' x2
y Fx' xy yz
解: 法一(隐函数求导)方程确定函数
u u(x, y),v v(x, y)
方程组两边对 x 求
x u y v u x x
导，并移项得
y u x v v x x
由题设 J x y x2 y2 0 yx
练习: 求 u , v y y
答案:
u y
yu xv x2 y2
故有
u 1 x J
的某一邻域内具有连续偏
② F(x0 , y0,u0,v0 ) 0, G(x0 , y0,u0, v0 ) 0;
③ J (F,G) 0 P (u, v) P
则方程组 F(x, y, u, v) 0, G (x, y, u,v) 0 在点(x0 , y0 )
的某一邻域内可唯一确定一组满足条件 u0 u(x0 , y0 ), v0 v(x0 , y0 )的单值连续函数 u u(x, y), v v(x, y),
z x
0
同样可得
z Fx x Fz z Fy y Fz
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例３. 设 x2 y2 z2 4z
解法1 利用隐函数求导
0求,
2 x
z
2
.
2x 2z z 4 z 0 x x
z x x 2 z
再对 x 求导
2
4
2z x2
0
1 (z)2 x
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得
x z
1 f1 xy f2 f1 yz f2
•
0
f1
x y
1
f
2
y
z
x y
xz
得
x y
f1 xz f2 f1 yz f2
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解法2. 利用全微分形式不变性同时求出各偏导数.
z f (x y z, xyz)
d z f1 dx dy dz f2 yz dx xzdy xyd z
F(x, y,u,v) 0 G(x, y,u,v) 0
u u(x, y) v v(x, y)
由 F、G 的偏导数组成的行列式
J
(F,G) (u, v)
Fu Gu
Fv Gv
称为F、G 的雅可比( Jacobi )行列式.
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定理3. 设函数
满足:
① 在点 导数；
(2)
x 2zF ' c
(1)两边关于y求导
b c z F ' y
(2y 2z z ) y
得
z b 2 yF ' y 2zF ' c (3)
(2) (cy bz) (3)(az cx) 得
(cy bz) z (az cx) z bx ay
x
y
例６.设F( x , y)具有连续偏导数, 已知方程
d2y dx2
x
0
d dx
(
ex cos
y y
) x
( ex y)(cos y x) (ex y)(sin y y 1)
( cos y x )2
x0 y0
3
y 1
注:探讨方程 f (x, y) g(x, y) 能否在
确定函数,首先
将方程化为 f (x, y) g(x, y) 0,令 F(x, y) f (x, y) g(x, y) 对
xy x
Fxx
Fy Fyx Fy2
Fx
Fxy Fy Fy y Fx Fy2
(
Fx Fy
)
Fxx Fy 2
2Fxy Fx Fy Fy3
Fy y Fx2
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例1. 验证方程 可确定一个单值可导隐函数
在点(0,0)某邻域 并求
dy dx
x0
,
d2y dx2
x0
解: 令 F(x, y) sin y ex xy 1, 则
解出 dx :
dx f1 xz f2 dy 1 f1 xy f2 dz
f1 yz f2 由d y, d z 的系数即可得 x , x .
y z
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二、方程组所确定的隐函数组及其导数
隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形. 以两个方程确定两个隐函数的情况为例 , 即
解法1 利用偏导数公式.
确定的隐函数, 则
z x
F1
1 z
F1
(
x z2
)
F2
(
y z2
)
z F1 x F1 y F2
z
F2
1 z
y
F1
(
x z2
)
F2
(
y z2
)
z F2 x F1 y F2
故
dz
z dx x
z y
dy
x
z F1
y
F2
(F1dxzx
F2dFFyxz )
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x 0 3
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例2. 验证方程
在点(0,1)和(1,0)某邻域
是否可以分别确定一个单值可导隐函数 解: 令 F(x, y) x2 y2 1, 则
并求
① Fx 2x Fy 2 y 连续 ,
② F(0,1) 0; F(1, 0) 0,
③ Fy (0,1) 2 0 ; Fy (1, 0) 0
① Fx ex y, Fy cos y x 连续 , ② F(0,0) 0,
③ Fy (0,0) 1 0
由 定理1 可知, 在 x = 0 的某邻域内方程存在单值可
导的隐函数
且
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dy dx
Fx x 0 Fy
x
0
ex y cos y x
x 0, y 0
z ln x , 求 x . x x y y z
解法1 利用隐函数求导 由题可知确定的隐函数为
x x(y, z)
两边关于y求导
x y x
z x 1
x2
y
x
y y2
故
y
x x2
y xy yz
两边关于z求导
x z x
x
z 1 z
故
x2
xy
y
x x z x z
解法２ 利用公式。 由题可知确定的隐函数为
第七节
第八章
隐函数的求导方法
一、一个方程所确定的隐函数 及其导数
二、方程组所确定的隐函数组 及其导数
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本节讨论 : 1) 方程在什么条件下才能确定隐函数 .
例如, 方程 当 C < 0 时, 能确定隐函数; 当 C > 0 时, 不能确定隐函数;
2) 在方程能确定隐函数时, 研究其连续性、可微性 及求导方法问题 .
例５. 证明由 ax by cz F(x2 y2 z2 ) (1)
确定的隐函数满足 (cy bz) z (az cx) z bx ay
x
y
证明：由题可知确定的隐函数为 z z(x, y)
(1)两边关于x求导
a c z F ' (2x 2z z )
x
x
得
z a 2xF '
且有偏导数公式 :
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(F, G) Fx Fv
(F, G) Fu Fx
u x
( x, v ) (F , G)
Gx Fu
Gv Fv
v x
(u, x ) (F , G)
Gu Fu
Gx Fv
(u, v )
Gu Gv
(u, v )
Gu Gv
(F,G) Fy
u ( y, v ) Gy
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一、一个方程所确定的隐函数及其导数
定理1. 设函数
在点
① 具有连续的偏导数;
的某一邻域内满足
则方程
② F(x0 , y0 ) 0; ③ Fy (x0 , y0 ) 0
的某邻域内可唯一确定一个
单值连续函数 y = f (x) , 满足条件
并有连续
导数
dy Fx (隐函数求导公式) dx Fy
u v
y x
xu x2
yv y2
v 1 x J
xv x2
yu y2
v y
xu x2
yv y2
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法二(公式法) 令 F(x, y,u,v) x u y v
G(x, y,u,v) yu x v 1
由 定理1 可知, 在 x = 0 的某邻域内方程存在单值可 导的隐函数
由 定理1 可知, 在 x = 1 的某邻域内方程不能唯一确定
单值可导的隐函数 思考: 在点(1,0)某邻域是否可以确定一个单值 可导隐函数
定理2 . 若函数 F(x, y, z)满足:
① 在点
的某邻域内具有连续偏导数 ,
② F(x0 , y0, z0 ) 0 ③ Fz (x0 , y0, z0 ) 0
则方程
在点
某一邻域内可唯一确
定一个单值连续函数 z = f (x , y) , 满足
并有连续偏导数
z Fx , z Fy x Fz y Fz
定理证明从略, 仅就求导公式推导如下:
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则
F(x, y , f (x, y ) ) 0
两边对 x 求偏导
Fx Fz
Fu Fv
(u, v )
Gu Gv
同样可得 u 1 (F,G) y J ( y , v )
v 1 (F,G) y J (u , y )
Fu
u x
Fv
v x
Fx
Gu u Gv v Gx
J Fu Fv Gu Gv
例8. 设
xu yv 0,
y u x v 1,
求
u , u , v , v . x y x y
y (F,G)
Fu
(u, v )
Gu
Fv Gv
Fv Gv
(F,G) Fu
v ( u, y ) Gu
y (F,G)
Fu
(u, v )
Gu
Fy Gy
Fv Gv
定理证明略.
仅推导偏导
数公式如下：
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设方程组
F( G(
x, x,
y,u, y,u,
v) v)
0 0
F1
x z2
0 即 F1
1
z
F2
y z2
(
x z2
z y
)
F2
z F2
x F1 y F2
(z
y z2
z y
)
0
故
dz
z dx z dy x y
z x F
y F (F1dx F2dy)
解法３ 微分法.对方程两边求微分:
F1
d(
x) z
F2
d(
y) z
0
F1
(
zd
x z2
xdz)
F2
(
zd
y z2